Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(УП.2. !') После дифференцирования (И!.2.1) и подстановки в (И1.2.!') найдем А, соз 8,е — ми""' = А,соз О,е — гге ип' . (Ъ'П.2.2) Условие (И1.2.2) удовлетворяется только в случае, когда з(п 01 = з!и 8„ (И 1.2.3) откуда 8,=8,, т. е. А,соза,=А,сов 8„А, =А,. Таким образом, при отражении плоской волны от жесткой плоскости угол падения равен у).лу отражения, а амплитуды падающей и отраженной волн равны друг ~11,/г другу Чтобы получить представление о характере волнового поля, составим 8 сумму потенциалов скоростей и учтем '1' 81 в,с соотношение (УП.2.3), т. е. равенство и углов и амплитуд: Е +гр 4 Е!'гсог — Вссосг — ВУВ)пг) + 01 В 1 А Е) гсог-г-Вссос со — Вснп г) = 2А, сох (йх соз 0) е) еи — ВВ "" и).
Рис. тг!1.2.2 (И1.2о4) Волновое поле перед абсолютно отражающей плоскостью определяют волновым числом й' = В)/с' = й з!п8, которое характеризует волну, распространяющуюся в сторону возрастающих значений у с фазовой скоростью (1/11.2.5) с' =-с/з!и 0, так как /г'=В)/с'=(В)/с) з!и 0. Амплитуда этих волн (такие волны называют волновым следом) зависит от х.
Она изменяется по закону 2А,соз(йхсоз 0). Очевидно, что 2А,соя(/гхсоз 0) при йхсоз 0 = — хсоз 0=(2п+1) 2, где п=О, 1, 2, 3, ...— любое целое число. Таким образом, нулевые значения амплитуды имеют координаты х„=. (2)г+1) 4 (Ъ'1!.2.6) 184 и находятся на расстояниях друг от друга Л!(2 сов 0). Только при угле падения 0=0, т.
е. при нормальном падении, расстояние между узлами в точности равно Л)2. Между двумя узловыми значениями амплитуды следа располагаются максимумы амплитуд. Координаты максимумов амплитуд имеют значения Л хл — — 2п 4 соо В (И1.2.7) (Ч11.2.8) и граничным условиям дф1 ) дфо Рх до 1х=о Ро д) )х=О' дф,~ дф, дх ~х=о дх (х=о' (Ъ'11.2.9) поэтому потенциал поля в первой среде будет состоять из потенциала падающей волны, заданного функцией ф = А,ем"' — ~" ">1, и потенциала ф' отраженной волны, а поле во второй среде в из потенциала скорости ф, во второй среде.
Функции поля отраженной и преломленной волн необходимо определить, Очевидно, что расстояние между двумя соседними максимумами также равно Л~2 соя 0. При уменьшении угла падения до нуля, места нулевых амплитуд обращаются в узлы, а места максимумов — в пучности стоячей волны. Это обстоятельство имеет большое значение при определении длины волны с помощью измерения расстояния между пучностямн или узлами в стоячей волне.
Это расстояние равно Л)2 только при строгом падении луча по нормали к поверхности раздела. При отклонении угла 0 от нуля за счет неправильности установки отражателя возникает ошибка в определении длины волны, что вызывает ошибку в измерении скорости звука. Исходя из этого, в приборах — ультразвуковых интерферометрах — рефлекторы и источники плоских волн устанавливают так, чтобы угол падения был точно равен нулю.
Распространение плоских волн при наклонном падении на границу раздела. Пусть плоская граница разделяет две несмешивающиеся жидкости 1 и 2 с плотностями р,, р, и сжимаемостями (1„, р,о. Допустим, что в первой среде по направлению 0, в сторону к границе раздела распространяется плоская волна ф,. Требуется определить волновое поле в обеих жидкостях, которое возникает в результате преломления и отражения падающей волны ф, от границы раздела сред. Расположим ось х декартовой системы координат по направлению нормали к границе раздела, а плоскость ХОУ— параллельно волновому вектору й, падающей волны (см.
рис. ЧП.2.1). Поля упругих волн в обеих жидкостях должны удовлетворять волновым уравнениям Предположим, что решения уравнений (НП.2.7) и (И1.2.8) таковы; гр = гр+ гР' =А ен г — а,к — ь с!+ А'~ег ( ~с+а(к — ь(с) ф, = А ее/ гаг — а,к — ь,м (НП.2.10) где а,=й,созО,; а,=й,соззь; а! =й'созОг1 Ь;=К 0!п91., Ь, = = й, 0(п Об Ь, = й, 0!и О,; й, = го/с;, й~ — — го/с,; /с~ = го/сь Путем подстановки (НП.2.10) в (Ъ'П.2.8) получим тождества, г - г ~к ---.--;=к=ьзгь,ьс",=г'ийь,с Решения (И!.2.10) должны удовлетворять граничным условиям (НП.2.9), откуда следует: р (А е гь,а ! А',е — гь',ь) Р А е — гь,с А а е — !ь,а А гаге — Гь,'ь А,е — гь,с (И1 2 ! 1) Уравнения (Н11.2.11) справедливы для произвольных значений у, поэтому все экспоненциальные множители, содержащие в показателях степени переменную у, должны сокращаться„т, е.
быть равными друг другу (Ь,=Ь;=Ь,). Подставляя сюда Ь,=/с,е!пО„Ь| = = /с, 01п Ог, Ь, =/с, з!и О„получим соотношение, называемое законом преломления: 01п О,/с, =0!п Ог/с, =ейп Оь/сь. (Ъ'П.2.12) Сокращая в системе уравнений (НП.2.11) общие множители, получим р, (А, + А 1) = Р,А „( (И1.2.! 3) а,А,— а,А! = аьАь. / Эта система имеет следующее решение: А([ Рь/Рг — аь/аг ль 2 Аг Рг/Рг+а,/аг ' Аь Рь/Рг+ ак/аг ' Учитывая выражения для а, и а, и преобразовывая Аг/А, и А,/А„ получаем: Аг/Аг=(ее — !)/(ее+1), А,/А,=р,/р, [2ее/(ее+1)1, (НП 2 14) где ее=— Рксь/ соь 0ь — приведенное волновое сопротивление для косого р,с,/ соь ег падения плоской волны.
Так как р=/горф; $= — дф/дЯ=/йф, то /гьРА, 'А', /мрьАь Р, А, /мР,Аг Аг ' /мР,Аг Р, Аг ' (НП.2.15) /ььАь с, Аь /л,А; А( ! /ФгАг сь Аг ' 1 /ЛьА1 Ае ' или с учетом (Ъ'П.2.14) и (Ъ'П.2.15): ее — 1 1 — ее г= —, г =.—, ев+1 ' 0 !+ее ' ее+ 1' 0 сы еь ее+1' (И1.2.16) 196 Когда числитель в формуле (П1. 2.14) равен нулю,гто ее=1 и отраженной волны не будет. Совмещая это условие с законом пре= ломления зйп 8,/з(п 6,=с,/с„можно найти формулу для угла падения, при котором волны не отражаются от границы раздела: с1д8,= (Ч11.2.17) Ура/01 (са/с2)2 ' Этот угол существует только для жидкостей, у которых — ) 1а Р1 ) — ') 1.
Например, у этилового спирта рг=0,79 г/см', с,=1,18х х10' см/с, у хлороформа р,=1,49 г/см', с,=!,00 1О' см/с, поэтому для границы раздела этиловый спирт — хлороформ уго.т, при котором не существует отраженной волны, определяется с(й8,=0,43, откуда 6 =87'. $ Ъ'П.З. ПОЛНОЕ ВНУТРЕННЕЕ ОТРАЖЕНИЕ Исследуем особый случай явлений на границе раздела двух сред, когда волны полностью отражаются в первую среду. Из закона преломления следует, что зйп 6,=(с„'с,) з(п8, и, если с,/с ) 1, то угол преломления 8, больше угла падения 6,.
При угле 8, ) 0„= агсей и (с,/с,) (ЧП.З.1) волна полностью отражается от границы раздела. Это явление называют полньсм внутренним отражением, а угол 0„— критическим. Для углов 0,) 8„косинус угла преломления — мнимый: соз 8, = 1 '1 — з(п' 8, = + / Я(с,/с,) з (п 8,]' — 1. Нормальная компонента волнового вектора преломленной волны й,„=аа=й,соз0 — также мнимое число. Обозначим его в виде а,-+ /а=+ й,)Г[(с,/с,) з)пэвк' — 1. Тогда косинус мнимого угла сов 0, = аа/йа = — ' /и/й,. Относительные амплитуды отраженной и преломленной волн при закритических углах определяются формулами: А; рй/р~ .+- /а/а А, р,/р, .+.
ра/аа 4~ 2 2 ~е А, р,/р, » /а/а1 У(рз/р~)'+ (а/аа)а где 1и 16 = ар,/(а,р,). В первой среде суммарная волна состоит из падающей и отраженной: Я ге/км — а,х-ь,м 1 е~ 1а!+а,к-ь1э+ зе>) Ч'1 = 1( 167 Волна во второй среде Чс = 2А Е+ асс1 1ся - Ьт + 81 (Ъ'П.З.З) )Г(р,/р,)'+ (а/а01с 2п -~/ (Л,)з Когда агсз(п (с,/с ) ( бд(п/2, то сс лежит в пределах между 0 и сс,. Допустим, что плоская волна падает из воздуха в воду под углом, равным. критическому. В этом случае с,/с, = 0,23; и, = (2п/Л) (1 — 0,027) — 2п/Л.
Это значит, что на глубине Л/2п амплитуда колебаний давления в воде в с раз меньше, чем на границе раздела. Скорость распространения во второй среде определяется из условия постоянства фазы волны (Л/П.З.З): сс1 — Ьу = сопз1, в — Ь вЂ” = ы — Ьс„= О, Щ и'с — (о( — Ьу) = О, ! сс ~ — — — — — — 8» ( бд ~ —, а а сс с, и Ь Й,с1пз, Мпз, с1п0,' "Р 2' при / сс 10 с, Сохраняя в показателе только знак 0 — », имеем (И1.3.3) — уравнение бегущей волны вдоль возрастающих значений у, Амплитуда этой волны изменяется по закону е- ', Степень убывания амплитуды определяется величиной а, которую можно преобразовать к виду — —,'" Р Пут:(х,'с,~'. (Л/П.3.4) При критическом угле (01пб,р — — с,/с,) а=О. Иначе говоря, амплитуда вдоль фронта волны затухать не будет, возникает плоская волна, бегущая вдоль границы раздела.
Если угол будет больше критического, т. е. 0(об~с,/с„то а- )0 и амплитуда быстро уменьшается с увеличением расстояния от границы раздела. При 8, = я/2 значение а достигает максимума, равного Таким образом, если угол падения б,р, то коэффициент ослабления пограничной волны равен нулю, а скорость распространения волнового следа вдоль границы раздела с, = с,/з(п б,р. Если угол падения близок к 90', то вдоль границы раздела будет распространяться волна со скоростью, близкой к скорости в первой среде, при этом коэффициент ослабления по фронту волны наибольший и равен й, Гс1 — (с,/с,)'.
Зная потенциал скорости во второй среде при углах падения, ббльших критического, можно вычислить давление и компоненты 188 Применяя к этим решениям граничные условия и решая систему уравнений, находят коэффициенты отражения и прозрачности слоя: А, '6-' — 6 А1 Г'(6 '+6)а+4 с(9'асн' Аз 2 (1(П.4.4) (ЧП.4.5) А1 'Г'4ссь'а,д+(6 '+6)спаса,с( где а,р, рс!с(я 0с 6= — = а,=(с1 соз 9м пс=аасоз9, а,р, р,/с(а г, ' Формулы прозрачности и отражения позволяют сделать следующие выводы: 1. Коэффициент отражения равен нулю в двух случаях: а) 6-' — 6=0 или р,!Р,=с(дз,)с(на„что преобразуется к виду -. Г ()(а)с — ) з(п 91 = ~~ ',, а = р,с,((о,с,), (Р~lрс)' ( т'11.4.6) б) с1наас(-~оо, при этом коэффициент отражения также равен нулю.
Это произойдет, если асс(=пас, т. е. при толщинах слоя с(л=Ыс/2соз9, (и=1, 2, 3, ...). (П1.4.7) Если 9с=0, то слой совершенно не отражает, когда его толщина кратна половине волны. Однако при другом угле преломления и другой толщине слой оказывается прозрачным. Например, если 9, = 30', то ха с(,== = =, 2 1' 3!2 г' 3 можно пользоваться следующей формулой: (ЧП.4.8) 2са Этот результат показывает, что коэффициент отражения от тонкого слоя с(7)(,<' 1 пропорционален частоте звуковой волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
