Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В этом случае сферическая волна может быть приближенно принята за плоскую. Увеличение произведения йг можно провести при удалении от источника или увеличении волнового числа, т. е. при переходе к высоким частотам. Так как йг=2пг1)о является величиной относительной, то мерой удаления от источника может быть отношение г1г.. Сферическая волна приобретает свойство плоской при большом отношении г1)..
6 ЧЧ.З. ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН Поток энергии. Найдем скорость изменения полной энергии потока жидкости в замкнутом объеме при нестационарном процессе: —, ~ р(и+" — ) с)У=- ~,— (ри+~2-) с)У. 167 С этой целью преобразуем производную, стоящую под знаком интеграла, используя уравнение гидродинамики и уравнение энергии для адиабатического процесса: др д дь! дь! 1 др (Ро!) ' = — оь —— д) дх! ' д) ь дхл Р дх!' д = Тл! + —;д — йп= Тао+ — йр. (Ч1.3.1) 1 дь! дь! д !о-'' д И'! Заметим, что Й = и+ — Р, оо~ д— ' = о~о; д '- =- о~ д— ( 2 —— од — ( 2 ) . Тогда д! ~~ ( + 2)] д! ~ + 2)+! (дг+ 'ду) д Гь' дй дг = РТ -- — ( — +Ь) - — (Ро!) — оо, — - ( — + Й) — РТо, — — РТ вЂ” = д) ~2 )дх! ' ' дх!~2 ) дх! д! (дх дг Для потока с постоянной энтропией ( +о; — =О) получим ' дх! Отсюда следует д('-'-'+")-=-1 Л" (-"-+ )]" Используя теорему Остроградского — Гаусса, находим ~ д — ~ро!(-;+Ри)] а'г'= ф ~Ро;(;-+й) и а1 (Ч1.3 2) Следовательно, ;„, 5 (32-'+Ри) йу= — $(2-'+Рй) о,пд.
(И.З,З) Из формулы (И.З.З) видно, что изменение в единицу времени полной энергии текуи(ей жидкости в объеме г' равно полному потоку мощности через поверхность, замыкающую объел!. Энергию, протекающую в направлении нормали к элементу поверхности с(Г' в единицу времени, называют потоком мощности через площадку с(): й!' =!'— , + Р'и')( ) йг. 1 2 (И.3.4) Отношение потока сУ к элементу площади аг сов(пч) называют плотностью потока энергии или вектором Умова — Пойнтинга: )х = ("2 + ой ! ч = (Р— ' + Ри + р) ч. (Ч1,3.5) 168 Этот вектор совпадает по направлению с вектором скорости течения жидкости.
Интенсивность упругих волн, Найдем выражение вектора Умова — Пойнтинга для случая упругих волн. Пусть плотность р и тепловая функция единицы массы й отклоняются от своих средних значений на р' и й'. При этом р',~р, и й'7й,— малые величины первого порядка. Допустим, что скорость т удовлетворяет условию ~ о('с((1. Кроме того, предположим, что процесс распространения упругой волны подчиняется закону постоянства энтропии (г(з=О). Подставим в выражение (Ч1.3.5) значение функции, соответствующей линейному приближению: р=ро+р й = й, + Й = йь+ Т г(з+ о г(р = й„+ Т й+ — г(р. 1 Р Заменяя дифференциал давления на конечное приращение и учитывая, что, по условию, г(з = О, найдем для тепловой функции единицы массы выражение й=йо+ — Р ° После подстановки в формулу (И.3.5) этих выражений получим У; = ( ~'"— + р,й~ + р' ) оо (И.3.6) или в векторных обозначениях — + рьйь+Р ) к (Ч1.3.7) Интенсивностью упругой волны называют среднюю по времени вектора плотности потока энергии (Ч1.3.7).
Допустим, что волновой процесс определен частотой ы и скоростью с распространения волны и что между колебаниями давления р и скоростью о имеется сдвиг фаз а. Пусть эта гармоническая волна плоская и распространяется в направлении оси Х. Тогда колебательная скорость направлена по оси Х и выражается формулой о„= о, соз (гь1 — йх). В данном случае вектор потока энергии имеет только компоненту на осн Х и выражается нелинейной функцией общей фазы = ы1 — йх: у = ~ — ' о,' созз (ы1 — йх) +р,йь+ р, соз (гь( — йх — о)~ о, соз (гь1 — йх) .= 0 = -'- о,' соз' (Ы вЂ” йх) + р,й,о, соз (гь1 — йх) + + р,о, соз (м1 — йх — сс) соз (и1 — йх). (П.3.8) Для получения общей формулы интенсивности гармонической волны с частотой ы = 2я~Т усреднение вектора т' надо проводить по времени 1, кратному периоду Т.
С этой целью необходимо вычислить интеграл по времени от выражения плотности потока энергии (Ъг1.3.8) в пределах от 0 до 1Т и результат разделить на (Т (1 — целое число): ят ~т= —,', ~ у(1=,'(~,+~,+1,), о где ят 1~= — гяо ) соз ( — 1 —,лх) о(1; Ро я я о12я' 2 Ъ ст !о = родово ~ соз ~ —" 1 — йх) Й; о (т !2п /2я 1о= рооо ( соз ( — '1 — яях — а) соз ~ — 1 — йх) Й, (,т (,т Ъ причем /я и 1„как интегралы от нечетных функций, равны О, а интеграл 1о имеет четную функцию и равен 1 Р !Т 5 2 (И.3.10) В результате интенсивность гармонической бегущей волны Ф= — сова.
Ряоя 2 (Л .3.11) В частности, для плоских волн, распространяющихся без затухания, а=О и оУ=рооо/2. Если воспользоваться связью между давлением р, и колебательной скоростью о, для плоской волны оо=ро1(рос), то оУ = — = — — с. Ря Рос'„ 2Ряс 2 (ЪЯ1.3.12) Для цилиндрической волны получаем следующую формулу при расчете интенсивности: (И.3.13) Заметим, что согласно этим формулам интенсивность цилиндри. ческой волны убывает обратно пропорционально расстоянию, а интенсивность сферической обратно пропорциональна квадрату расстояния. Интенсивность стоячей волны можно получить как частный случай (ЪЯ1.3.11). В стоячей волне между давлением и колебательной по Аналогично можно получить формулу для интенсивности сферической волны: (Ч1.3. 14) скоростью сдвиг фаз п)2, откуда следует, что ее интенсивность равна нулю.
Если давление и колебательная скорость волны выражакпся комплексными функциями действительного аргумента, то для вычисления интенсивности (см. гл. 1) достаточно взять реальную часть половины произведения взаимосопряженных комплексных функций скорости и давления. Например, для цилиндрической волны комп-..
лексные выражения скорости и давления имеют вид: б = — ' )'й ) ! — / — ) едои-о', р = —" )оороел""-о"1. ЗГИ ~ 2Ь/ Р"г При замене 1 на — 1 образуем комплексно-сопряженное выражение для функции давления. Половина произведения бр* имеет вид 4о комплексной функции — — ' Ьор, ) 1 — / — ).
Отсюда интенсивность равна -Ке[ — 'Ьор ~1 — / — Д = — — 'Ьор = — 'р с. 2 1 г о~ 2аг)1 2 г Если бегущая волна периодическая и состоит из нескольких гармонических составляющих, то для вычисления интенсивности необходимо просуммировать интенсивности всех гармонических составляющих. Иногда интенсивность периодической, но не синусоидальной, волны определяют как среднюю по времени, кратному периоду, плотность потока энергии. Для стационарной статистической зависимости звукового поля от времени усреднение проводят за промежуток времени, больший по сравнейию со временем, соответствующим радиусу корреляции волны.
Интенсивность упругих волн является одной из энергетических характеристик звукового поля. Преимущественно ее используют для поля бегущих волн. Плотность звуковой энергии. Другой энергетической характеристикой упругих волн является энергия волны, приходящаяся на единицу объема и усредненная по времени. Для вычисления этой величины найдем энергию волны в элементе объема: ~[Р ~ 2 + и) ~ — Роио) й) ~[(ро+ Р ) ( 2 + ио + и )~ Роио) й)7 =( 2 +Ров +иоро+ 2 +Р ио+Р" ) и)'.
!Роо' Р'о'1 Здесь ~ — + †) Л'г' — кинетическая энергия жидкости в элементе ~ 2 2 объема Л)7; (рои'+р'ио) Л)7 — внутренняя энергия объема ЛУ поля упругой волны; о,и,б)7 — внутренняя энергия этого элемента объема покоящейся среды. Приращение внутренней энергии и' при адиабатическом изменении плотности от среднего значения р, до р,+р' равно работе изменения объема единицы массы. В течение небольшого промежутка времени удельный объем жидкости изменится на небольшое значение 171 1 о(У.
При этом изменится и плотность на о(р= — —, Ю= — Роо(У. Приращение внутренней энергии определится интегралом: г -ьг 1 го+о' р,, оо=( — р, ) рог)оо-( ) оо)оо. ~о~зло~ о. Подставляя р=р,+р' и заменяя переменную р на р=с'(о — Р,)+ + р„ получим /сор '+ ро Ро = — о1(ср'+Ро)')~ЛУ=~(2 — Р'+ яр1ЛУ.
(У!.3.!6) Из этого следует, что в момент времени 1 полная энергия элемента объема равна пор а)г =~Р~ 2+Р 2 +2 Р'+ — +пор)М' (У)317) Ео Пусть о и р' — гармонические функции времени: о=-А сох(го(— — йх), р' = В соз (Ы вЂ” йх — а). Тогда среднее по периоду от энергии возны в объеме ЛУ получается в результате сложения средних значений функции, пропорциональной Р', и функции, пропорциональной сохо(оо( — йх — а), сохо(оо1 — а).
Известно, что средние по периоду от сохо(оо( — а), сох (оо1 — а) равны нулю, а для сох(Ы вЂ” а) имеет значение 1!2. Из этого следует, что средняя энергия упругой волны в объеме ЛУ, если учесть, что о'= р'(со=ров/с, равна ( ) (2 2 +2 2'Ро) Г Г роо1 го (Ъ'1.3.18) 2ро 2 о! Из (У1.3.18) получаем формулу для вычисления плотности энергии плоской гармонической волны: (И .3.19) В плоской звуковой волне средняя плотность потока энергии (У) = (ро) = р о (2. Используя связь между амплитудами давления и скорости: р„=рсо„получаем ор = (У) = Рос — и = (ЧГ) сп, где и — единичный вектор нормали к фронту волны; (К) — средняя плотность звуковой энероии.
Соотношение (Ч1.3.20) показывает, что интенсивность бегущей волны есть вектор, совпадающий с направлением распространения и численно равный произведению плотности энергии Ю' на скорость звука. Таким образом, энергия волны распространяется со скоростью звука. П2 Формуле интенсивности звука (ч'1,3.20) можно сопоставить закон Джоуля — Ленца для электрической цепи: Ю' = — ". 2 Здесь существует прямая аналогия между мощностью тепловых потерь (У в электрической цепи и интенсивностью звука еУ; между амплитудой колебательной скорости о, и амплитудой силы переменного тока 7,; между электрическим сопротивлением цепи Й и удельным волновым сопротивлением р,с.
4 ЧЕ4. ЗАТУХАНИЕ УПРУГИХ ВОЛН После перехода к пределу при Лх-эО получаем ы,.т — = — а йх. ~7 (И.4.1) Интегрируя в пределах х„ х, найдем у = 70е э*. (Л.4.2) Здесь 7,— интенсивность упругой волны в плоскости с координатой х=х,=О; еУ вЂ” интенсивность, соответствующая координате х; а,— энергетический кцэффициент поглощения упругой волны. Коэффициент затухания. Согласно (Ч1.3.21), интенсивность плоской волны связана с амплитудой давления упругих волн соотно- шением ~2 = —" 21чс' (Ч1.4.3) Сопоставляя (Ч!.4.2) и (Н!.4.3), получаем закон убывания амплитуды давления: р=р,е ' = р,е ( т'1.4.4) где а — коэффициент поглощения упругих волн.
173 Коэффициент поглощения энергии упругих волн. В реальных жидкостях и газах волновой процесс сопровождается рассеянием энергии упругой волны, так что по мере удаления от источника интенсивность плоской волны убывает. Это происходит как за счет необратимого превращения механической энергии в энергию молекулярного движения среды, так и за счет рассеяния энергии волны на различных неоднородностях. Процесс уменьшения интенсивности упругих волн, как это подтверждаетса опытом, подчиняется закону, согласно которому уменьшение интенсивности плоской волны на пути распространения Лх пропорционально интенсивности ч7 и длине отрезка Лх: ЛУ=' — а, 7Лх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
