Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Подставляя вместо У и (г, ср) фундаментальные функции (Ч.2.15) н (Ч.2.16), найдем частные решения: т)тл1с)(г 'Р 1) = Атп [едет (~4тп ) ут(яй и) ' г ')1 — 7т ( пртл — ) ) СОз гптр СОз (фтл1 — сстл), т)тп 1Ю (Г, Ср, 1) = А, ~Р (П~ . —;)— — '" " 1 1пр „— )1з(питерсов(со „1 — а и) Гп (я() ) т тп, для симметричных н несимметричных колебаний, где Оз „= — х ял Зр(1 — о) й "' Введем в частное решение фундаментальную функцию зр и н получим т)т» = Атпфпп (~фтпг', ср) сох (от .1 — рт.) = = зйтл (ПРтпг'~ сР) [Втп СОЗ сот п1+ Стп з(п озтл(зт (Ч 2. 18) где А „= )'В„'„+С;„и; 1нсртп= — "; тл (Н.2. 19) т)(г, (Р, 1)= ~ ~~, 'тута(натяг')[ВтлСОзоттл1+Стлз(псотл().
(ЧА.20) т =О о=о Лля нахождения иозффипиентов и п и С „воспользуемся начальными условиями Ч(г, р, 1)м=.=и(г, р), — 1'= (г, ~р) дч д1 и=о (Н.2.21) и условием ортогональности (Н.2.17). В результате получим ~ В (» ' 'р) Ртл (дптл~ )г ~~ дср 2 [[- т (" ))тл)1 +[ т (ягтп)1 ) Втп~ о о 1о2 пр „— корни характеристического уравнения (Ч.2.11), г'=г/а; а— радиус пластины. Общее решение имеет вид двойного ряда откуда 1 2п [) и("р) ф( р л") "к" лф 2 оо ° [ ~'(.рм.)] +Г..
( р.л)]' (Ч.2.22) Кроме того, на основании вто ого граничного условия получаем 1 2л ] ] о(г', Ф)ф,пл(пВм г') г'ггг'11'р=~о С вЂ” ([аум(пр )] +[ум(п() )]~) о о Огс1ода следует интегральная формула для С „: 1 2л ) ) о(»', 1Р) ф „(ЯР лг', ~Р) г' лг'гЬР с (Ч.2.23) [-Ут (ЯР л)]2 + ['т ('Ф .)]' )а = 4- ~, ~„АплМпл (Ч.2.24) т=о л=о равна сумме энергий осцилляторов с частотами от „, амплитудами А „=]» Вл„+С-''„И МаССОй, СОСтаВЛяЮщЕй 1/а МаССЫ ПЛаСтИНЫ. ГЛАВА Ч1 РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ и Чт.1.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В предыдущих главах были рассмотрены колебания ограниченных упругих тел с распределенными параметрами. На примере струны, закрепленной на концах, было показано, что смещение частиц струны, возникшее в начальный момент времени в каком-либо месте, распространяется вдоль струны в обоих противоположных направлениях в виде поперечных упругих волн, которые, многократно отражаясь от противоположных концов, в результате сложения образуют поперечные колебания с определенным набором частот, амплитуд и начальных фаз. В этой главе будут исследованы основные законы распространения упругих волн в пространстве, когда среду можно считать безграничной, Для начала в качестве упругой среды примем жидкости и газы.
В отличие от упругих твердых тел жидкости не способны сдерживать напряжения сдвига, В результате жидкости не имеют своей 153 Энергия колебаний пластины. Можно показать, что независимо от контура полная энергия колебаний пластины, определяемая фор- мулой формы, а принимают форму сосуда.
Если к жидкости приложить напряжение сдвига, то слои жидкости начинают перемещаться, первоначальная форма поверхности будет изменяться до тех пор, пока действуют эти сдвиговые напряжения. Количественно свойство сопротивления жидкости сдвиговым напряжениям характеризуют вязкостью Ч. Если вязкость равна нулю, то сдвиговые напряжения в жидкости не возникают. Если внутри невязкой жидкости провести поверхность 5 и выделить элемент поверхности Ь5 с нормалью п, а затем отнять от этого элемента ту часть жидкости, которая расположена со стороны положительного направления нормали, то, чтобы удержать оставшуюся часть жидко- сти, следует приложить к элемен- — — ту поверхности Л5 силу, равную В::„-::::::::=3 рб5 (рис. Ч1.1.1).
Для невязких р жидкостей, находящихся как в со— — — стоянии покоя, так и в состоянии — движения, эта сила всегда перпендикулярна площадке Л5. Физическую величину р, равную пределу рис. лил отношения числового значения ЛЕ„ нормальной силы, действующей на участок поверхности площадью Л5, к величине Л5 при М, стремящейся к нулю, называют давлением: д~» р= !пп — "= — ". ьз од~ В основу теории распространения упругих волн в жидкостях и газах положены уравнения состояния жидкости, уравнения движения Эйлера, уравнение непрерывности для плотности жидкости и уравнение, выражающее закон сохранения энергии, — всего шесть уравнений относительно давления р, плотности р, скорости ч и температуры Т. Все перечисленные величины характеризуют свойства и состояние движения жидкости в том смысле, что они являются численными выражениями свойств элемента объема ЛГ вещества, настолько малого по своим линейным размерам, что в пределах этого объема они не зависят от изменения координат точек пространства, ограниченного этим объемом.
Состояние движения жидкости определено полностью, если известны как функции времени и координат следующие физические величины: плотность р, давление р, компоненты скорости о„о„, о, и температура Т. Для их нахождения необходимо иметь шесть независимых уравнений, содержащих эти функции и их производные. Остановимся на составлении этих уравнений. Уравнение состояния выражает зависимость давления от плотности вещества и температуры. В общем виде оно может быть получено, если известен один из термодинамических потенциалов.
Выберем в качестве независимых переменных плотность р или удельный объем о=1)р и температуру Т. Тогда уравнение состояния выражают через свободную энергию единицы массы ) (о, Т) в виде ее производной по удельному объему при постоянной температуре: =-('-')' Обычно функция )(и, Т) в явном виде неизвестна. Поэтому ее выражают с помощью разложения в степенной ряд по отклонениям независимых переменных от тех значений р, и Т„которые они имели в покоящейся жидкости: 1(п Т)=Р(пи+и Ти+Т)=Уз+( — ) о +( — ) Т + Воспользовавшись выражением (Ч1.1.1), получаем уравнение состояния в виде степенного ряда: гд( ~ 1, а'~' р = — ( — ) = Р, + — р'+ — Т'+..., (Ч1.1.2) гърг рг где а' ' — коэффициент объемного расширения, рг — изотермическая сжимаемость.
Для адиабатических процессов уравнение состояния удобно выразить в виде функции давления от объема и энтропии з единицы массы; lди ~ р = ( — ), где и — внутренняя энергия единицы массы. В этом слуди 5 чае для получения уравнения состояния в переменных э и о следует внутреннюю энергшо и(з, о) представить в виде степенного ряда Тогда уравнение состояния будет иметь вид =-(.—.) ='+ — +(.—.) +- " ') Таким образом, в зависимости от характера процесса можно пользоваться как одной формой 'уравнения состояния, так и другой, Например, если процесс протекает при постоянной температуре, то удобно применять уравнение (Ч1.1.2). Если же во время процесса остается постоянной энтропия, то используют уравнение состояния в форме (Ч1.1.3).
Уравнение энергии запишем в форме первого закона термодинамики для обратимых процессов: г(и = Т г(з — р гЬ. В переменных и и Т приращение внутренней энергии имеет вид г(и=Тг(з — РгЬ=Т)(дт) ЙТ+(д и) гЬ1 — РЙ'. (Ч1.1.4) Согласно термодинамическим тождествам, (у), — = ~(д ~~ = Роа~~~ = — (Ч! 1 б) / до1 ГдЕ а1Ф вЂ” тЕрМИЧЕСКИй КОЭффнцнсит даВЛЕНИя; (д— ) =Со!ТО (Со— теплоемкость единицы массы прн постоянном объеме). Исходя из этого, получаем а(о( ((и = с, ЙТ+ — сЬ вЂ” р ((о. Рт (Ъ'1.1.б) 1 Выразив сЬ через плотность (сЬ = — —;с(Р), получим Р1 а(о( ((и = с т! Т вЂ” —, ((р — р (!о, или с(и — Т сЬ+ р ((о = с, т(Т вЂ” —, с(р — р сЬ + р сЬ вЂ” Т т(з = с„((Т— Ртро — — „с!р — Т ((з = О, РтРо а'о' с, йТ вЂ” —, т(р = Т т(з.
(Ъ'1.1,7) тРо Для адиабатических процессов уравнения состояния и энергии имеют вид 1 ( а(о( р'= — Р'+..., с,((Т = —,с(р. (П.1.8) Родо " ' ' Ртро Для изотермнческих процессов имеют место иные уравнения, а именно: 1 а'о' Р = — Р+" ° ™= ("Р. (Ч1.1.9) Рорт Ртро Уравнение непрерывности является математической формулировкой закона сохранения массы вещества. Пусть некоторый объем пространства 8 ограничен поверхностью 7' (рис. Ч Ч1.1.2), проницаемой для жидкости.
Элемент объема Лп содержит массу жидкости Лт = = РЛп. Масса жидкости, ограниченная поверхностью 1, равна интегралу т=)р(Ь. Изменение массы и жидкости в единицу времени д д дР дд (Ч1.1.10) Риа 1т1.1.2 156 Согласно закону неуничтожаемости массы, изменение массы в данном объеме должно компенсироваться массой жидкости, проникающей через поверхность. Обозначим элемент поверхности Л1, единичный вектор п нормали к этому элементу, плотность жидкости р, Уравнения Эйлера. Выделим из пространства, занятого текущей жидкостью, объем У, ограниченный поверхностью 7. Внешнее давление р на поверхность 1 по закону Паскаля направлено по внутренней нормали к поверхности.
Сила давления е(Т на элемент поверхности е(7' с единичным вектором нормали и равна г(Р = — рп и(". Компонента силы по оси ! (! = 1, 2, 3 — номера координатных осей) йу, = — ри, й(". Полная сила, действующая на все элементы поверхности в направлении координатной оси !, составляет $ рл,е(7'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
