Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 30
Текст из файла (страница 30)
На основании теоремы Остроградского — Гаусса этот интеграл преобразуется в объемный: (И .1.16) Величина, стоящая под знаком интеграла, представляет собой компоненту силы, действующей на жидкость, заключенную в элементе объема е(У. Если ускорение частиц жидкости в пределах элемента объема иР есть йп!!й(, то согласно закону динамики Ньютона др! (др!дхД Л~ 1 др д! рЛ' р дх! ' Отсюда следуют дифференциальные уравнения движения — -+ — — =О, де! ! др д! р дх! (У1.1.
17) которые называют уравнениями Эйлера. Здесь йийй! — полное ускорение частицы движущейся жидкости, состоящее из мгновенного додд! и переносного р„доудх„ускорений: да~ д~)~ де! — = — + ох— д! д! дхх ' Переносное ускорение записано с использованием правила повторяющихся индексов. В развернутом виде оно представляется суммой: др! дсн де! де~ рх — = р! — + 02 — + рз— дхл дх, з дх, дхз ' С учетом выражения для полного ускорения уравнение (Ч1,1.17) принимает следующий вид: де! др; ! др — +ох — !+ — — =О.
д! дхх р дх; Последнее слагаемое уравнения Эйлера содержит произведение удельного объема 11р на компоненту градиента давления. Его можно записать с помощью термодинамических соотношений (см. приложение 1Ч) в виде ! др др дь дх — — =о — = — — Т вЂ” „ р дх~ дх~ дх! дх! " где Й и з — тепловая функция и энтропия единицы массы. !56 Используя указанную формулу, получаем (Ч1.1. 19) Если энтропия вдоль всего пространства потока постоянна, то уравнение (ЧЕ1.19) упрощается: — '+и, — + — =О. дэ; до~ дь дг дхх дх~ (Ч1.1.
20) Выражения (Ч1.1.3), (Ч1.1.7), (Ч!.1.14) и (Ч1.1.18) составляют полную систему уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Эти уравнения сведены в табл. Ч1.1,1. В общем виде все записанные уравнения нелинейные. Для их решения используют приближенные методы математической физики. Одним из них является метод возмущений, или метод последовательных приближений. Сущность этого метода состоит в следующем. Искомые функции представляют в виде рядов Маклорена, составленных относительно малых отклонений параметров состояний от тех значений, которые имеет система, когда находится в полном покое. Значения этих параметров принимаются как решения уравнений в нулевом приближении. Для отыскания решения задачи в первом приближении подставляют в уравнения выражения искомых функций в виде разложений в степенные ряды, где отброшены члены, содержащие степени переменных выше первой.
В результате получают линейные уравнения для определения малых отклонений искомых величин как функции от времени 1 и координат х, у, г. Полученное решение первого приближения используют для отыскания функций во втором приближении. С этой целью к решениям первого приближения добавляют члены, содержащие вторую степень независимых переменных. После подстановки в нелинейное уравнение находят уравнение для определения добавочной функции. Эти уравнения также являются линейными.
Их реп|ение вместе с решениями нулевого и первого приближений дает решение задачи во втором приближении. Для нахождения более точного решения процесс повторяют с привлечением членов ряда, содержащего третьи степени, и т. д. В акустике малых амплитуд ограничиваются только решениями первого порядка. Найдем уравнение первого порядка. Для этого каждую из искомых функций представим в виде ее значения для покоящейся жидкости и небольшого приращения, зависящего от малых изменений переменных относительно начальных значений. В этом случае в уравнениях состояния и энергии останутся только величины первого порядка. Что касается уравнения непрерывности, то, принимая условие, что произведение производных от скорости по координатам и малых приращений плотности — величины второго порядка малости, и отбрасывая нх, получим линейное уравнение непрерывности относительно приращения плотности и малых значений о,: — +р — =0.
др' ди, дг э дх, (Ч1.1. 21) 159 х 'О О!М со! М Сс + О. О. Р сО. О. + Ф о х со С.с а Р 1 Р. 'Ос О $ хх х \ Фх а О ЫВ Ф о, Ф й Ф о Ф а о е о х о ос 160 Ф х о о Ф Ф о а х х х х о 8 Ф Ф о Ф с о Ф о оЯ 8 х хо Яа Ф х о Ф Й х х 3. .Ы Фх Фо ФФ Ф о. Я х х х Ф Ф о Ф Ф о Ф Ф д сс с х х Ф Ф х о сс Ф сс о !! о Ф + + Э~а ь + Сс !! о )О.
!! О. + + + 4!о В уравнениях Эйлера переносное ускорение подпддхо является также величиной второго порядка, если скорость и; — малая вели- чина первого порядка и членами рхди„!д,.; п„до,!до можно пренеб- 1 др *. речь по сравнению с градиентом — —. Тогда уравнения Эйлера в р дх~' линейном приближении будут иметь вид -- + — — =.О. дпо 1 др' дГ Ро дх~ Эти уравнения также являются линейными относительно малых изменений давления р' и малых скоростей оь В векторной форме уравнения гидродинамики линейного прибли- жения имеют следующий вид: р= — р, — +ро(рч)=О, 1 др Рооп ' дГ „(ю „, (Н1.1.22) срг(Т=Т вЂ”,, г(р, — -';- — Чр=О, о йгр! ' до Ро где р, и, р, Т вЂ” величины первого порядка; р1ро~(1; ппс~~,'1; р(роч-1; Т1То ~ 1; ро, То, ро — средние зиа оеиия соответствующих величин; и — скорость распространения других волн.
Потенциал скорости. Система уравнений идеальной жидкости (см. табл. Н1.1.1) составлена в геометрических переменных Эйлера относительно скалярных (р, р, Т) полей и векторного поля к В общем виде векторное поле представляет собой наложение потен- циального и соленоидального полей: чп мп+ч,. Для потенциального поля го1ч„=О, т.
е. ливии этого поля не- замкнуты. Соленоидальное же поле — вихревое, его линии замыка- ются сами на себя, следовательно, дивергенция скорости о, равна нулю (б!чч,=О). Покажем, что векторное поле скорости, входящее в акустические уравнения (Н1.1.21) и (И.1.22), состоит только из потенциального поля. С этой целью представим уравнение Эйлера в виде интеграла по времени: о+оо Оо и ! Р Г 1 ч = — — ! 7р г(т = — 7 ! — рг(т. (Н! .1. 23) Ро Ро Оо оО Проведем доказательство от противного.
Предположим, что поле вектора скорости (Н1.1.23) состоит из потенциального и соленоида- ЛЬНОГО ПОЛЕЙ (Ч= Рп+Ч,). ПРИМЕНИМ К ЭтОМу ПОЛЮ днффсрЕНцнаЛЬ- ную операцию го1: го1 ч =го1 чп+го1 ч,. (И,1.24) Из теории поля известно, что дифференциальная операция го1 над о(гад <р равна нулю. Таким образом, в левой части (Н1.1.24) имеем нуль„а в правой го(чп+го1ч,. Но, по определению, го1 ч„=О, откуда следует, что го1 т, = О.
Следовательно, ч, = сопз1. Однако для бесконечно удаленных точек пространства ч, = О. Поэтому это <м > поле равно нулю и для произвольной точки пространства. 6 Л, Ф, Лопопппп 161 Отсюда следует, что векторное поле т, удовлетворяющее линейному уравнению (Ъ'1.1,23), имеет потенциальный характер. Интеграл, входящий в выражение (Ч1,1.23), называют потенциалом скорости: Ф(х, у, г, 1) = — 1 рс(т.
1 г Р. о (Ч1.1. 25) Используя определение потенциала скорости (Ч1.1.25) и уравнения линейного приближения (Ч1.1.22), можно показать, что все функции р, р, оь Т связаны с потенциалом скорости простыми соотношениями: Р(хл() = ро д р (хл() =рдрх д, о;(хх() = — д— Ф (х,1), дФ (хлб, дФ (хлс) д Т( 1) ТОп дФ(хм й сл д~ (хх = х, у, г) (Ч1.1,26) В Ут.в. ВОлнОВОе уРАВнение и ВГО Решение Подставим в уравнения (Ч1.1.22) выражения искомых функций через потенциал скорости (Ъ'1.1.25) и после необходимых преобразований получим вместо шести уравнений первого порядка для р, р, о„, с„, о„Т вЂ” одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно Ф (хо 1): д'Ф 1 д-'Ф вЂ” — — —, = О.
дР рй,дх'; Плоские волны. Когда потенциал скорости — функция одной координаты х и времени 1, то уравнение (Ъ'1.2.1) совпадает с волновым уравнением струны: д~Ф 1 д2Ф вЂ” — — — = О. дН рой, дх' (Ч!,2.2) Согласно этим формулам, все функции, характеризующие малые изменения указанных величин, получаются из одной скалярной функции путем ее дифференцирования. Иногда полезно вместо шести уравнений для шести функций иметь одно дифференциальное уравнение относительно какой-либо из них (часто в ее качестве используют потенциал скорости).
Полученное дифференциальное уравнение относительно потенциала скорости будет содержать производные второго порядка по времени и координатам и называется волновым уравнением для погпснциала скорости. Очевидно, что в зависимости от выбора функции, к которой сводят указанную систему, волновых уравнений будет несколько. Рассмотрим одно из них. Частным решением уравнения (И.2.2) (см. гл. П1) является функция Ф(х, 1) =-1(1 — х1с), (И.2.3) ГдЕ С = Ф'11(рсн.) Существенная особенность данного решения состоит в том, что здесь время 1 и координата х определяют численные значения функции не раздельно, а в линейном сочетании: в=1 — х1с. Каждому значению Ч соответствует одно и только одно значение потенциала скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
