Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отношение комплексных отраженной и падающей волн есть коэффициент отражения г'„— ! г =," = ге/кл. В данном случае эта величина комплексная, поскольку приведенный импеданс нагрузки г„' в общем случае определяется комплексным числом. Используя выражения (1Ч.5.6) и (1Ч.5.!2), преобразуем формулу (ГЧ.5.1): р(х !) е7ака(егк ! ге7м — гк) (1Ч.5. 13) Прибавим и вычтем из (1Ч.5.13) ге"'. р ассам [Етк — ГЕГк+ ГЕГк ! ГЕ!Гас — Гк) — ае7ел[егк(1 «) ( гем(е';(гк — гн ! е — <гк — !Ф)) = аЕувя [Еск (! — Г) + 2ГЕМ С)! (ГХ вЂ” !6)1, или р = — (г'„+ 1) егьа [(1 — г) е""+ 2гегв с)! (Гх — 15)), (!Ч.5.14) гк~ где Г= ! — + —" с рс' Точно так же для объемной скорости Х (х, 1) = — (г,' — 1) ег"'[(1 — г) ег" — 2геlа с)! (Гх — !5)1.
(1Ч.5.15) Если потерями в трубе полностью пренебречь (г, =О, Г=/ы)с=рс), то волновое акустическое сопротивление трубы г„= Г7()ысЯк) равно действительной величине рс(о и выражения (1Ч.5.!4) и (1Ч.5.15) упрощаются: р = — (г,', + 1) еткч [(1 — г) Ф' + 2гегс соз (Ах — б)1, (!Ч.5.16) Х = —" (г„' — 1) е7"к [(1 — г) ес"" — 2ге~с сох (йх — 6)1, нсв !27 (1У.5.
17) Наряду с пучностями давления в трубе имеются области, где амплитуда давления минимальна (узлы давления). Узлы давления образуются в тех сечениях, для которых амплитуда стоячей волны равна нулю. Из (1У.5.16) видно, что условие минимума давления йх — 6=(2~+1) ', = ~+-; и, откуда 1~,Л б х =, ог+ -2 ! -2- +— Ближайший к концу трубы минимум давления расположен в плоскости с координатой (1У.5. 18) Если 6= — и/2, то х,=О; если 6=+ п)2, то х,=Л!2. Таким образом, при изменении фазы от — п!2 до + п72 положение первого минимума изменяется от 0 до х,=-Л)2. Наибольшая амплитуда давления р.,„.,=А1(! — «)+2«1=А(1+«), а наименьшая р„„„=А(1 — «).
Если нагрузка полностью поглощает звуковую энергию, то в трубе существует только бегущая волна р„,„7р„„, = 1. Наоборот, если волна полностью отражается от нагрузки, то р„„„/р„,„,=О. Чем значительнее отношение р.„„)р„,„„тем большую долю в трубе составляет бегущая волна. Аналогично тому, как это принято в электротехнике, отношение давления в узле к давлению в пучности называют коэффпциентом бегущей волны: Рт,~а — = т. Рм1кс !+» (1У.5. 19) Формулы (1У.5.18) показывают, что в трубе имеются, бегущая волна с амплитудой давления -'-- (г,', + 1) (1 — «) и стоячая волна с амплитудой давления -'- (г„'+!) 2». При )гх — 6 =щп (т=-г~ О, Н Л»о Л 2п 2 2п -+. 1, -+-2, ь 3) получим х =(тп+6) — = — Л+6 — — максимумы давления стоячей волны.
В случае абсолютно жесткой стенки первый максимум лежит на конце трубы (х=О). Сдвиг фазы между отра- Л женной и падающей волнами равен нулю: 0=6 —, 6=0, поэтому 2л ' коэффициент отражения (1Л«,5.12) принимает значение, равное единице. Если к трубе присоединен комплексный импеданс, то первый максимум давления лежит в плоскости с координатой х„=бЛ/(2л).
При этом угол сдвига фаз 6 меняется в пределах — л)2 <6~+я,~2, в связи с чем координата максимума давления может находиться как вне, так и внутри трубы. Если первый максимум лежит вне трубы, то ближайший к концу максимум давления, находящийся внутри трубы, соответствует ог = +. 1 и его координата имеет значение Л б Л х =--+ — —. 2 ' и 2' Величина, обратная т, характеризует долю стоячей волны, или степень рассогласования трубы с нагрузкой: (!Ч.5.20) Реса Иногда эту величину называют коэффициентом стоячей волны (КСВ). Зная ттг, можно найти модуль коэффициента отраясения: г= (1Ч.5. 21) Для создания материалов, хорошо поглощающих звук, необходимо обеспечить условия, при которых звуковая энергия полностью поглощается в каналах материала вследствие наличия вязкости воздуха и внутреннего трения само~о материала.
Для характеристики звуко- поглощения материала служит коэффициент зеукопоглогцения, который определяют как отношение: ~пал ~атр а= (1Ч.5. 22) Между коэффициентами звукопоглощения по энергии и отражения по амплитуде давления существует простая связь: а = 1 — г'. (1Ч.5.
23) Отсюда Н 1)Н (1Ч.5. 24) В акустических измерениях большое значение имеет реализация возможности получения плоских волн. Если измерение нужно проводить на низких частотах, т. е. в области частот слышимого звука, то для получения плоской волны обычно используют трубу как акустическую линию. Трубу, закрытую с одной стороны, обычно применяют для измерения коэффициента отражения материала г = г ель. Для этого-возбуждают колебания в трубе, перемещая малый микрофон вдоль оси трубы, находят зависимость давления от расстояния до конца трубы, где установлена пробка из исследуемого материала.
Допустим, что на расстоянии хе обнаружен первый минимум давления. Тогда фаза коэффициента отражения согласно (11г.5.18) 6=(хе 4~ т ' (11г.5.25) Расстояние между двумя соседними минимумами равно лг2. Отношение р„,„,!р„„„=йГ. Определив ЛГ, по формуле г=(1 — У)1(1+У) найдем модуль коэффициента отражения и по формуле (1'11.5.24)— коэффициент поглощения материала. На основании (17.5.13) по известным г, и 6 можно вычислить отношение акустического импе- данса матерйала к волновому сопротивлению трубы: г„1 — грет'е 1 — г„сое 26 — )г яп 26 Рс 1 1 г стае 1! г сор 26+1г яп 26 — Х'+)Г.
6 Л. Ф. Лееенлее 129 Для облегчения вычислений пользуются следующими преобразованиями. Модуль г представим в виде г =е '" . В этом случае — =е" (ф= (16). г' — 1 г'+! (1Ч.5. 2 б) Тогда, решая (1в).5.25), находим 2' = Х'+ !У' = + = с()! (е — 16), е 0 — е-Э откуда Х в)в 2в у, Мп 26 г(в,г 5 27) сь2в — сов26 ' сь2е — сов26 ' или 2)у, (Ув — 1) ап 26 1вг 5 8 (6!в+1) — (Мв — 1) сов 26 ' (Ив+ Ц вЂ” (6(в — 1) сов 26' По формулам (!'в!.5.27) или (1вг.5.28) нетрудно вычислить приведенные активное и реактивное сопротивления Х' и У', если измерены значения величин й! и 6. в твг.а. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ Вывод дифференциального уравнения.
Допустим, что ось абсцисс совпадает с осью недеформированного стержня. Рассмотрим только малые колебания, прн которых смещения точек оси стержня перпендикулярны оси координат Х, а восстагв(х) навливающие силы находятся в пределах действия закона Гука. 0 Пусть т, — масса единицы длины стержня, Š— модуль Юнга, У вЂ” момент инерции площади поперечного сечения б(х,л„) относительно нейтРальной оси сечениЯ, перпендикулярной плоскости колебаний. Рпс.
!)Г.б.! Выделим элемент стержня длиной Лх, его масса равна т,Лх, момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости колебаний, проходящей через центр тяжести О, равен )вЛх ()в — момент инерции единицы длины стержня). На этот элемент действуют: сила г",; пара снл с моментом М, )со стороны части стержня, расположенной справа от этого элемента; сила гв и пара сил с моментом М, со стороны части стержня, расположенного слева (рис. 1в!.6.1). Кроме того, на него действуег внешняя нагрузка 7(х, () Лх.
В этом случае смещение точек оси стержня будет являться однозначной функцией координаты х и времени й По законам механики получаем уравнение сил т,Лх —, = — Гв+ Гв+ ) (х, 1) Лх и уравнение моментов (17.5.1) 130 Разделив оба уравнения на Лх и переходя к пределу, находим; д +~( д~у дУ (1Ч.6.3) 1х = — — — Е, д'у дМ х дпдх дх (1Ч.6.4) где М= — Е3+. (1Ч.6.6) Исключая из (1Ъ'.6.3) и (1у'.6.4) М и Е, находим: д~у д4у д~у 1 () — = а' — + — — — )'(х, у), дх'дм дх4 дн т, (1Ч.б.б) где й= 7,йп,; а'=Еу)т,=Ехтр; я — радиус момента инерции площади поперечного сечения стержня относительно оси, лежащей в этом сечении и перпендикулярной плоскости колебаний )хОХ. Для оценки вклада каждого слагаемого в уравнении (1Ч.6.6) подставим функцию у=Уое ~ ~ ) где о — скорость распространения поперечных волн стержня В результате получим () ( — ~ гэ'= '~ — )— или Момент инерции единицы стержня 7, т,Р!12, поэтому 7,(т, =(х!12, Пусть 1'112(((си~о)'х', т.
е. (с1о)х))(1(х)'. Тогда в (117.б.б) слагаемым, связанным с инерцией вращения, можно пренебречь и привести уравнение к виду (1Ч.6.7) Опыт показывает, что (с,!о)х 1/гэ, поэтому (1Ъ'.6.7) выполняется для низких частот. В этом приближении уравнение (1Ч.6.4) имеет вид Е= — —.
дМ (1Ч.6.8) Оно должно быть дополнено граничными и начальными условиями. Вследствие того что зто уравнение содержит производные второго порядка по времени и четвертого порядка по координате х, возникает необходимость задать два начальных и, кроме того, для каждого конца стержня по два граничных условия. Таким образом, граничнсяе условия для свободноза конца стержня дзу дзу (1Ч.6.9) дх',к=о дхз ~ к=о Если конец стержня жестко зажат, то угол поворота в месте закрепления и смещения равен нулю, т. е. должны выполняться следующие условия: = о = — = О, у (х, 1), = о = О.
ду дх Для опертого стержня смещение и изгибающий момент .равны нулю, что соответствует следующим граничным условиям: у~„=,=о, —,",", =О. (1Ч.6.11) ~»=о Собственные частоты и функции поперечных колебаний стержня. Простым решением уравнения (1Ч.6.7) для случая, когда внешняя сила равна нулю, являетея гармоническая функция вида у (х, () = ф (х) ет<~зо). (1Ч.6.12) Чтобы получить уравнения для собственных функций гр(х), подставим (1Ч.6,12) в (1Ч.6.7). После сокращения на е~'"ио' получим — "~ -Азф=О, (!Ч.6.13) где и' уозз аз= — =— аз сззз ' (1Ч.6.14) Уравнение (!Ч.6.13) имеет. четыре независимых частных решения: соз йх, з(п йх, с)з йх и зп йх. Общее решение представляет собой линейную комбинацию этих частных решений: гу (х) = Аз соз йх+ В, з(п йх + Сз сй йх+ 0» й йх, (1Ч,6.15) 132 Начальные условия задаются соотношениями у (х, 0) = и (х); у (х, ()м = о = и (х), где и(х) и и(х) — некоторые функции х, задающие распределение смещений и скоростей вдоль стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
