Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Будем характеризовать процесс продольных колебаний функцией $(х, 1), представляющей в момент времени 1 смещение частиц стержня, имевших в положении равновесия координату х. Выбранная здесь геометрическая переменная называется переменной Лагранжа. Выделим поперечными сечениями А„и В,.гз, (рис. 1Ч.3.1) малый участок длины стержня и найдем относительноЕ удлинение элемента х, х+Ах в момент времени ! в переменных Лагранжа, Координаты концов этого элемента в момент 1 имеют значения х+$(х, 1), х+Ах+$(х+бх, 1), а относительное удлинение равно (~-)((*.)( ° ') — )(* ')) — ** я~-~~ ~г Ах дх при 0(9(1.
Рассмотрим условие равновесия сил, действующих на элемент стержня х, х+Ах при его продольных колебаниях. Этими силами могут быть: !) силы продольной внешней нагрузки. Если обозначить предел отношения внешней силы к элементу длины 1(х), то продольная внешняя сила, действующая на элемент стержня длиной Лх, равна ЛЕт=у(х, 1) Лх; (1Ч.3.1) 2) результирующая сил упругости со стороны частей стержня, расположенных левее сечения А, равная ЛЕ (х, 1) = — Е (х) 5 (х) и со стороны частей стержня, расположенных правее сечения В, ЛЕ(х+Лх, 1) = Е(х) 5(х) ф, (!Ч.З.З) где - ' — относительная деформация за счет смещения сечения дй(к, 1) дк,г с координатой х; — — то же, но для сечения с координатой дй дх,'х+ ах х+ Лх.
Таким образом, результирующая сил упругости равна ЛЕ' = ( Е (х) 5 (х) — 1 — ~Е (х) 5 (х) д ) 1 (1Ч.3.4) 3) силы трения, пропорциональные скорости й: ЛЕм= — г(х) $Лх, (!Ч.З.5) где г(х) — механическое сопротивление единицы длины стержня. Результирующая внешней силы, сил упругости и силы трения приложена к центру инерции отрезка стержня длиной Лх, и согласно второму закону динамики эти силы вызовут ускоренное движение массы участка т, Лх, так что выполняется уравнение ттЛх д~~ =1 (х, 1) Лх+~(Е5 д ) — (Е5 д — ) ~ — г (х) Лхд —.
(1Ч.3.6) В результате перехода к пределу Лх-ьО получаем дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня: т, (х) д, + г (х) — д- — д ( Е (х) 5 (х) — ~ = ((х, 1), (1Ч. 3,7) дй где Е и 5 могут быть функциями от х. К этому уравнению необходимо добавить граничные и начальные условия: ~(х, ~)~ =о=~о(1) $(х()1 =1=)г(1) (!Ч 38) $(х, 1) г=о — ((х), =гр(х). (1Ч.3,9) Уравнение (1У.3.7) аналогично волновому уравяению струны. Позтому методы его решения могут быть применимы к данному случаю, а если окажется, что и граничные условия аналогичны граничным условиям задачи о нолебаниях струны, то решение соответствующей задачи о колебаниях струны может быть полностью использовано как решение задачи о колебаниях стержня.
112 В акустике наряду с обычными приемами решения краевых задач о вынужденных колебаниях (см. З 1Ч.2) широко используют импедансные методы, особенно удобные, когда на колебательную систему действуют внешние периодические силы, сосредоточенные в заданном сечении, в частности на краях системы. В этом случае задача о вынужденных колебаниях стержня в установившемся режиме сводится к решению однородного дифференциального уравнения, т.
е. волнового уравнения (1Ч.3.7) без правой части, когда на одной нз границ заданы скорость $ и сила Р, как функции от времени: д~, = Во (Г) Е (х 1) ы = а = Ео (1) (1Ч.3. ! О) Кроме того, заданы начальные условия: Е(х, !),,= Р,(х), $(к, 1),,=э =$,(х). (1Ч.З,!0') Часто вместо силы Е,(1) на границе задают механический импе- данс на конце стержня в виде комплексной функции отношения силы Р„(Г) к скорости $,(х), т, е, вместо второго граничного условия (1Ч.З.!О) в задаче задан механический нмпеданс на конце стержня г (1) = —. (1Ч .3 .
! 1) 1а(0 В этом случае вместо волнового уравнения а~ д) д т, --' — + гД вЂ” -й — ЕБ — ~ $ (т) г(т = 0 (1Ч.З.!2) о при граничных условиях (1Ч.3.10) удобнее решать два дифференциальных уравнения относительно двух функций: скорости смещения $(х, 1) и силы Р(х, 1). Для получения этпх уравнений обозначим выражение, содержащееся в квадратных скобках (1Ч.3.12), как — Е (х, 1) = Е (х) 5 (х) д'- (1Ч.3. 13) и заметим, что эта функция представляет собой силу упругости, действующую в плоскости сечения с координатой х, х+г(х. Тогда (!Ч.3,12) можно записать в виде дифференциального уравнения в частных производных относительно функций Р(х, !) и $(х, 1): — — — т, (х) з' + г, (х) ь (х, !).
(ГЧ.З.!4) Для составления второго уравнения системы используем (1Ч.З.! 3), определив нз него д$1дх, представляющее собой относительное продольное перемещение частиц стержня: — = — — Е (х, !). д$ 1 Е5 113 Очевидно, что уравнение, представленное в данном виде, выражает закон Гука без учета остаточной деформации. Однако при определенных условиях необходимо учитывать небольшие отступления от закона Гука, которые проявляются в гистерезисных свойствах материала: при уменьшении силы г" (х, () до нуля деформация дЧ!дх не исчезает, а стремится к некоторому знае41'ох чению (дв1дх)„называемому остаточной деформацией (рис. 1Ч.3.2).
(йгУйх)~ Для многих материалов остаточная деформация является интегральной функцией действия силы Е(х, т) йт и может быть 0 вычислена по формулам (д$!дх)о = Чз 1 Р (х, т) йт, о (дЦ(дх)о = д,Р (х, 1), сф, = д, (х) йх, где д, (х) йх — механическая проводимость элемента длины стержня. С учетом возможной остаточной деформации уравнение для полного относительного удлинения стержня примет вид — — г" (х, 1) — а,(х) ~ Р(х, т) йт.
о Проднфференцируем это уравнение по времени 1 и получим второе уравнение колебаний относительно функций $(х, 1) и Р(х, 1): — — — + д, (х) Р (х, 1). (17.3.15) Вместе с граничными и начальными условиями задачи в форме (1Ч.3.10), (1Ъ'.3.10') уравнения (1Ч.3.14) и (1Ч.3.15) достаточны для нахождения силы и скорости в любой момент времени и в каждом сечении стержня. Заметим, что система уравнений (1Ч.3.14) и (1Ч.З.!5) аналогична системе уравнений относительно напряжения У и тока ! длинной линии передачи электрических колебаний: — — =1.(х) +Й(х) 7(х, (), дУ дт(х, 1) (1Ч.3.16) — —,„=С( ),„"+О( ) и(, 1). Отсюда следует, что если есть уверенность, что эта аналогия сохраняется (а она сохраняется всегда для линейных колебаний), то можно для расчета колебании стержня с подходящими граничными условиями пользоваться методами расчета электрических колебаний в линиях передачи.
114 Выше было показано, что для линейных систем электромеханические аналогии полностью сохраняются. При этом если принять прямую аналогию «напряжение — силан, то можно считать, что существует прямая аналогия между величинами, показанными в табл. 1Ч.З.1. Табл-и ца 1Ч.З.! Стержни Электрическая линяя Механическая сила Е Колебательная скорость $ Масса единицы длины тд Гибкость единицы длины стержня сг Электрическое напряжение 0 Электрический ток 1 Самоиндукция единицы длины (.т Электрическая емкость единицы длины линии Ст Электрическое сопротивление единицы длины линии Гст Проводимость изоляции единицы длины линии бт Механическое сопротивление единицы длины стержня тт Механическая проводимость единицы длины стержня, возникающая за счет внутреннего трения Чт 115 На,основании указанной системы аналогий можно составить экви. валентную схему даниной линии, используя в ией обозначения механических величин вместо соответствующих электрических (рис.
1Ч,З,З). В частном случае, ког- Г Еббх оеох да на один из концов стержня действует сила, изменяющаяся по гармони- Рис. 1Ч.З.З ческому закону от времени, в стержне установятся колебания, также подчиняющиеся гармоническому закону от времени, а именно: сила и скорость могут быть выражены функциями: г'(х, 1) = г (х) ег"т, $ (х, 1) = $ (х) еl"", где г'(х) и $ (х) — комплексные функции координаты. В этом случае система уравнений в частных производных преобразуется к системе обычных линейных дифференциальных уравнений с переменными комплексными коэффициентами относительно комплексных функций действительного аргумента: ЗР пх () '+ "„„=(1-,+„) Г.
с($ 1 Здесь тп,=5(х)Р; сх е 1 ах=с)х(х); г (х) и $(х) —.комплекс- Е (х) 5 (х) ' ные функции, обозначающие амплитуды и фазы силы Р(х) и скорости смещения частиц $(х): Р(Х)~л=о ро $(х),и=о=Во 4 1У.4. КОЛЕНАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ Пусть на однородный стержень постоянного сечения действует сила, определяемая гармоническим законом, Требуется найти силу Е(х, 1) и скорость $(х, 1) в каждый момент времени для каждой точки стержня, имеющей в положении равновесия координату х, х+ дх. Как было показано выше, искомые функции будут гармоническими функциями времени с комплексными амплитудами Р(х) и с(х). Из второго уравнения системы (1Ч.3.15) найдем (1Ч.4.1) Подставляя это выражение в уравнение системы (!Ч.3,14), получим — „, — 1ас, (г, + )ат,Д = О, ллем (1Ч,4.2) где с, = с„(1+ дг((ас,))).
В частности, когда нет необходимости Учи- тывать остаточную деформацию ( у, =" 0), с, —. с,. Решение однородного дифференциального уравнения (1Ч.4.2) ищем в форме а = Аегл -1- Ве-гк (1Ч.4.3) где А и  — постоянные интегрирования; à — постоянная распро- странения, равная ' --$ тл;(,х(.",) (1Ч.4.4) Формулу (1Ч.4.4) можно упростить последовательным преобразо- ванием: Г='+~/ — алт,с,(1+ —." 11ж+(а~ тлсл(1+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
