Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 20
Текст из файла (страница 20)
о Постоянные Вт и Ст в общем решении (1Ч.!.29) определим из начальных условий: у(х, 1)П о=/(х), дт ~ г-о ду(х, 1) ! (1Ч.1.28') Здесь /(х) и ф(х) — заданные функции координаты х, непрерывные и имеющие в области О ~ х (1 кусочно-непрерывную производную. Чтобы воспользоваться вторым из начальных условий, пользуясь общим решением (1Н.!.29), найдем выражение для скорости движения частиц струны: ду ч~! тле ( тле, тле — --- фт (х) Стсаа — — 1 — Вт а!п — — 1 (1Ч.1.30) т=! и подставим в (1Н.!.29) и (!ЧЛ.30) вместо текущего времени !его начальное зна. чение 1=9. Тогда согласно начальным условиям (1Ч.1.28') получим: /(х) = ~~„Втфт (х), ф (х) = ~ 1 Стфт (х), (! Н1.31) Умножим правые и левые части равенств (!Ч.1.3!) на ф (х) дх и выполним операцию интегрирования в пределах от О до 1: ) / (х) !(>т (х) !(х= ~ Ва! ~!(7т (х) фл (х) их, о т=! р! !!. !|1* — ~ —,С„~ т„а!Ь! !~ .
о т=! Согласно свойству ортогональности, все слагаемые сумм правых частей ра. венств с т~л равны нул!о, а слагаемые, имеющие т=л, получат значения Вт//2 и Сттпс/2: /(х) !Рт(х)ух = — Вт, ~ ф(х)фт (х) дх=Ст —" л о Отсюда следуют общие формулы для вычисления коэффициентов Вт и Ст. Вт= — Д /(х)ф„(х)дх, Ст= — ~ !р(х)фт(х)дх, (1Ч.132) 2 2 !" о о тле причем з(!т(х)=а!п — х; т=1, 2, 3„ Амплитуда колебаний, соответствующая частоте ы =тле)1, выражается формулой !2 1 (в1цз А = )/В" +С = — ~ ) (х) фт (х) дх + — ~ (р (х) ф„(х) с(х о о где 1(х) н ф(х) — кусочно-непрерывные и дважды дифференцируемые функции. В зависимости от вида начальных функций 1(х) и ф(х) в струне будет реализовываться определенное распределение значений Вт и С .
Так, например, если струна возбуждается посередине шинком, то скорость в начальный момент времени для всех точек струны равна нулю, т. е. ф(х)=0. Если подставить и (!Ч,!.32) это значение начальной скорости, то получим Ст=О. а) Рис. !Ч.!.2 Таким образом, согласно (!Ч.!.32) колебания струны определяются членами, содержащими только четные периодические функции времени: тл тле у= г зш — ' — х сов — '1Вт, 1 т=! причем будут реализоваться только те частоты, которые отвечают нечетным значениям номера частоты (рис.
!Ч,!.2, а). Если начальные условия соответствуют удару посередине струны, то начальные смещения частиц струны будут равны нулю, поэтому все коэффициенты Вт обращаются в нули. В решении останутся только члены с коэффициентами Ст: цч, тл, тле р= ~ Б!и — хСт 3!п — 1, т т причем реализоваться будут только такие частоты, которые соответствуют четным значениям т (рис.
!Ч.!.2, б). П р и м е р. Пусть струна возбуждается шинком в средней части, В этом слу. чае начальными условиями будут ~ 2йх11 при О(х(112, 9(х,г)г о=)(х) =1 ! 2Ь(1 — х)11 при 112 (к ~1, У( )~г — о Этот случай соответствует тому, что коэффициенты Ст ряда Фурье равны нулю, Для вычисления коэффициентов Вт разобьем предел интегрирования на !О! две части — от 0 до!(2 и от !(2 до и г!2 с 2 Г 2Н . тл 2 Г2Н, тл Вт = — ~ — х Ип —" л дх + — 1 — (! — «) в(п — х дх = Тд! ! о ггз 88 .
тл 2 = — Ип — "; т=1,2,3, 88 8Н В В 0 и в В 0 8Н в,= —, Овлв ' т, е, четные гармоники исчезают, а амплитуды нечетных гармоник уменьшаются обратно пропорционально квадрату нечетных чисел. Энергия колебаний струны состоит из кинетической и потенциальной. Для вычисления кинетической энергии допустим, что линейная плотность струны р. Тогда масса элемента длиной с(! равна с(т=рс(!.
Если скорость этого элемента длины ду(д(, то его кинетическая энергия (1Ъ'.1.33) Полная кинетическая энергия 1 ! НФ М(в) (!Ч.!.34) Подставляя в (1Ъ'.1.35) значение промежуточного смещения у' = = уу, получаем Элементарная работа при изменении смещения на бу' =убу г((с(уттв)=с(гсвбв = — Т, у бус(х, а работа при полном смещении г ! ПЯ7=~ Т уубу г(х= — Т вЂ” — с(х. д'(тр) 1 дзр р длв ~ дх' 2 102 Потенциальная энергия элемента струны составляет ту работу, которую надо затратить для придания элементу с(! данной формы в том месте, где находится эламент. Для вычисления этой работы введем безразмерную величину у, так что промежуточное смещение элемента равно у'=Ту, где у — коэффициент формы, изменяющейся от 0 до 1.
Сила, против которой производится работа при изменении формы струны в данном месте, равна проекции сил натяжения иа ось У: (1тг.1.35) Так как работа равна изменению энергии, то потенциальная энергия всей струны (1Ч.1.36) Интегрируя (1Ч.1.36) по частям, получаем Т Г Гдр',о 2 31дх; (! Ч. 1. 37) Полная энергия струны, равная сумме кинетической и потенци альной энергий, выразится в виде Подставляя в (ГЧ.1,38) выражения для у в виде ряда тпх Гтяс у= ~> А Йп — 'соз( — 1 — ~рг) полу чаем где В' = р1оо' А' — энергия колебаний осциллятора, имеющего массу р(72 и колеблющегося с частотой го и амплитудой А„; гп= 1,2, 3, ...; го =плср. Формула (1Н.!.39) дает следующий закон энергии колебания струны: энергия колебаний струны равна сумме энергий осцилляторов с массами, равными половине массы струны, и частотами, равными собственным частотам струны.
Энергия )о', приходящаяся на каждую гармоническую составляющую колебаний, пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды. Так как с ростом номера гармоники амплитуда уменьшается, как 1дпх, а частота растет, как т, то энергия, приходящаяся на яг-й обертон, обратно пропорциональна номеру гармоники в квадрате. Колебания струны с учетом сил трения.
Если силами сопротивления движению струны пренебречь нельзя, то в волновом уравнении необходимо учитывать член, пропорциональный скорости ду7д1. В этом случае волновое уравнение имеет вид д'р г ду Т о"у — + — — — — — =О. ди р дГ рдхо Граничные и начальные условия останутся прежними. Решение данного уравнения будем искать в виде произведения двух функций: Х(х) и Т(1). Путем прямой подстановки легко показать, чта функ- ция Х (х) удовлетворяет уравнению гармонических колебаний, а функция Т(!) — уравнению затухающих колебаний с коэффициентом затухания 6=г!(2р). В результате использования начальных и граничных услойий можно получить общее решение в виде у= ~> з!п — х(В,„созв„,(+С з(п!э !), (1Ч.1.40) е=1 где В и С,„— амплитуды затухающих колебаний: В = В е Энергия колебаний струны с учетом сопротивления потерь определяется формулой (!7.1.39), где в качестве амплитуды А„следует иметь в виду амплитуду затухающих колебаний, т.
е. энергия колебаний струны с учетом сил трения убывает со временем по экспоненциальному закону. Формы колебаний струны и способ возбуждения свободных колебаний. В заключение остановимся на физическом истолковании полученных результатов. Функция у (х, 1) может быть записана в виде у =А ейп — '"хсоз(а ! — (р ). (17.1. 41) Отсюда следует, что каждая 'точка струны совершает затухающие колебания (1У.! 41) с амплитудами А е 1' "в)'~з!и — -х~ и часто- .=У','.— !!=м= !.
Волновой процесс, описываемый функцией (!"!!.1.41), называют стоячей волной. Вся струна при наличии стоячих волн т-го порядка разделена на отрезки равной длины неподвижными точками (узлами). Координаты узлов определяются корнями уравнения ИЛ з!п — х=О и имеют значения х „= — "1; п=1,2,3,...т — 1 (т — 1 — число узловых точек). Между узлами расположены точки с наибольшей амплитудой колебаний — пучности. Координаты пучностей соответствуют числам х „ = ~ 1; и' = 1, 2, 3, ..., т !2л' — 1 !, о~л' — ~ 2т (т — число пучностей).
Каждой собственной частоте в! отвечает своя форма колебаний. При этом звучание струны воспринимается как чистый тон. Высота тона тем больше, чем больше частота. !Ол Струна, возбуждаемая тем или иным способом, колеблется, имея определенный набор собственных частот. Наибольшая энергия колебаний струны соответствует основной частоте. Энергия высших частот тем меньше, чем больше номер частоты. В соответствии с этим струна излучает звук, характеризуемый основным тоном и обертонами.
Одновременное наложение близких частот воспринимается как биение звука. Обертоны создают тональную окраску основного тона— ггаембр, характерный для звучания того или иного струнного музыкального инструмента. Способ возбуждения струны сообщает струнному музыкальному инструменту специфику звучания. Так, например, при возбуждении струны щипком энергия т-й гармоники обратно пропорциональна квадрату номера гармоники. Если струна возбуждается ударом в точке 1, с импульсом К, то смещение определится формулой (без учета затухания) 2К ча 1 . тл1,, тлх, тлс у(х, () = — ~~ — эш — з)п — з)п — 1, л1ар а~а т а энергия, приходящаяся на отдельную гармонику, выразится соот- ношением а Ка .
а 1п~л1~ 1, У = — $(па 11 — 1, Ш вЂ” —,— „ т. е. энергии различных гармоник, для которых интервал длины струны ударом меньше, чем расстояние между узлами, будут незначительно различаться между собой. В результате этого тон струны будет насьпцен обертонами. В этом легко убедиться, если струну монохорда возбудить ударом лезвия ножа. Если струна возбуждается ударом в точке х= 1, плоским жестким молоточком шириной 2Ь, то колебания определятся функцией 4па1 ~1 1, тл1, . тла . тлс у(х, 1) = х — з(п — 'э(п — з(п — 1, ла1 ~а та а энергия отдельной гармоники — формулой 4р1п,' . а /тл1а', . 4,1тль~ тала 1 1 1' ' 1 Ж' = — "з1п ~з(п ' При ударе струны выпуклым молоточком шириной 2Ь в центре интервала х, — Ь(х(х,+Ь удар сообщает струне ббльшую скорость, чем в крайних точках этого интервала; начальная скорость может быть представлена функцией в Ђ”(х, 0)= 1х — 1, л~ пасса х х при х — 1а(Ь (1Ч.!.42) 0 при х — (а)Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
