Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если Ь; составить цепочки, в которых последовательный импеданс Л, представляет собой Т,С-контур, а шунтирующий состоит из комбинации индуктивности и емкости, то получаем электрический фильтр, способный задерживать некоторую полосу частот. Такие фильтры называют режекторными. На рис. П1.6.5 представлены схемы режекторных электрических (а) и акустических (б) фильтров, составленных из однородных элементов. На рис. 1П.6.5, в показан общий вид акустического фильтра.
В акустическом фильтре с,, и т,,— акустические гибкость мембраны и масса трубки, соединенные в узел; с,, и т,, — акустические гибкость объема и масса ответвления, соединенные в цепочку. Предельные частоты определяются уравнениями г, (ва) ' га (в,) (П 1.6.6) В этом случае последовательный г„и шунтирующий акустические импедансы г,, выражаются формулами !вт всаа Первое из уравнений (111.6.6) с учетом (111.6.7) дает оо'то с, =О, (ооот с — 1) (! — осот с ) откуда оо, = О, т4 — — со. а) Рис. 111.6.5 Второе из уравнений (Ш.6.6) приводит к (оо/ооо)о с, т, оо' 1(оо/ооо)о — 1)о О о о~ О 4 О (1Н.6.8) оса Рис.
П1.6.6 Решая (111.6.8), получаем выражения для граничных частот режекторного фильтра: 4т, со а, а, )/ то с, +1бт с +~/т с то со На рис. !11.6.6 изображена типичная частотная характеристика коэффициентов передачи этих фильтров. ГЛАВА ГЧ КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В предыдущих главах были рассмотрены системы, в которых параметры масса и упругость разделены. При достаточно высоких частотах каждый элемент объема упругого тела проявляет как инерционные, так и упругие свойства и во время колебаний обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. В этом случае масса и упругость распределены по объему колебательной системы. Поэтому ее называют сисжалой с раслределеннмин параметрами.
В каких же случаях можно допускать идеализацию о сосредоточенных параметрах, а в каких она недопустима? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к известным из курса физики представлениям о распространении упругих. возмущений, Если на какой- либо участок поверхности упругого тела воздействовать гармонической силой, то вызванная деформация будет распространяться в теле с некоторой конечной скоростью, определяемой формулой с= 1/" — э где Е,— эффективный коэффициент упругости; р — плотность среды. Очевидно, что состояние упругого возмущения распространится на расстояние 1 за время т= — =1~~г ~' Е,. Допустим, что время т значительно меньше, чем период колебания Т=2лгю. Это значит, что за время т фаза колебаний практически не изменится. Пусть свойства среды таковы, что фаза ускорения частиц совпадает с фазой вынуждающей силы, тогда систел~а ведет себя в колебаниях как масса, а упругими свойствами ее можно пренебречь.
Если онажется, что смещение совпадает по фазе с вынуждающей силой, то система ведет себя как идеальная упругость, влияние массы на харантер вынужденных колебаний незначительно. В связи с этим для изучения поведения системы на низких частотах ее можно условно разделить по характеру колебаний на отдельные части. В одних частях колебания управляются массой, а в других †упругост. Главным условием возможности такого разделения является то, что линейные размеры отдельных частей системы во много раз меньше длины упругой волны. Если линейные размеры тела сравнимы или больше длины волны, то время распространения в нем упругих волн сравнимо с периодом колебаний или больше него. В результате отражений волн от границ и их суперпозиции в теле установятся сложные колебания с определенным распределением фаз.
В этом случае упругое тело можно рассматривать как колебательную систему с распределен. ными параметрами. В зависимости от отношения к длине волны линейных размеров колебательных систем их условно можно разделить на одномерные струны, стержни, тонкие трубы, двухмерные тонкие пластины и оболочки, мембраны и трехмерные замкнутые достаточно протяженные объемы. В одномерных системах размеры по длине значительно больше поперечных размеров и в то же время сравнимы с длиной волны или больше нее. й 1эг.1. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ Вывод уравнения струны. Наиболее простым примером одномерной системы с распределенными параметрами является гибкая струна, т.
е. нить, сильно натянутая между неподвижными точками. Натяжение предполагается настолько большим, что силы, вызывающие изгиб струны, значительно меньше сил растяжения. Сила натяжения струны может быть вычислена на основании закона Гука для одно- родных деформаций растяжения: Т=Е—' ,!Я, О х~ Х К1 кэ Т„(х,)+Т„(х,) — ~ г(х) Нх+ ~ 1(х) бх= ~ р(х), их; (1!!.1.1) Т (х,)+Т,(х ) =О.
Здесь х и у обозначают направления проекции. Величины этих проекций, как это следует из рис. 1Ч.1.1, определяют следующими формулами: Т„ (х,) = ~ Т (х,) ~ з(п (Т, х) — Т (х,) з!па„ Т„ (х,) = ~ Т (х,) ~ з)п (Т, х) = Т (хэ) з(па„ ~,(,,)=~т(*!~ ..г,= — ~(*,) ~- — ~(*,)Уà — ИЧ„ (1Ъ'.1.2) Т„(х,) = ) Т (хэ) ~ соз аз — — Т (хз) сов аз — — Т(хз) 'У' 1 — з(п'аз. где Š— модуль Юнга; И вЂ” удлинение нити; 1 — длина; Я вЂ” площадь поперечного сечения нити.
Предполагается, что Т' 5!1 ~;;1. Исследуем малые поперечные колебания струны около положения статического равновесия. Расположим систему координат так, чтобы ось ОХ совместилась с положением равновесия струны. Тогда каждую точку струны будем характеризовать координатой Х, а состояние ее движения в момент времени ! — смещением от положения равновесия п(х, !). Для поперечт(„,з„) ных колебаний вектор и (х, !) пер- пендикулярен оси ОХ и может быть иг т,(!,) представлен двумя проекциями: и„(х, 1) и и,(х, !).
Допустим, что на струну действуют поперечные силы, лежащие в плоскости ХОУ. гх~г У Тогда и, (х, !) = О и движение ха струны будет осуществляться толь- ко в плоскости ХОУ. рис. !ч.!л Обозначим компоненту вектора смещения в плоскости ХОУ через у(х, !). Эта функция определяет профиль струны в каждый момент времени. Выделим участок профиля х, е=х(х, (рис. 1Ч.1.1). Пусть на этот участок струны действуют внешние силы, результирующая которых ~ 1(х) с(х, а сила трения, пропорциональная скорости дви- х, жения, ~ г (х) ' с(х.
Кроме того, к концам участка струны ду (х, !) к, приложены силы натяжения, направленные по касательным к профилю струны в точках х, и х„Т(х,) и Т(хэ). Составим уравнение динамического равновесия проекций сил по осям Хи У: Для упрощения дальнейших выкладок введем следующее ограничение. Допустим, что любой из возможных профилей струны достаточно гладок, т.
е. углы и(х), образованные между направлениями касательной в любой точке профиля и оси ОХ, настолько малы, что с определенной степенью точности можно считать з)п !сс (х)] - 1д (а (х)1 = ~ (1Ч.1.3) Тогда Т„(хк) — Тк (хк) = Т (хк) —" — Т (хк) д — . (1Ч.1.4) к дк ~к=х, При хк — ~х, правая часть (1Ч.1.4) стремится к выражению для поперечной составляющей силы натяжения, действующей на точку струны с координатой х: !ип )Т(х)д"- — Т(х) д— " ) = д— (Т(х) — "] Их. (1Ч.1.5) Для конечного отрезка х,«х«хк составляющая силы натяже- ния по оси У выразится интегралом к, Т„(х,)+Т„(х,) = — ~ — ~Т(х) ~1г(х.
(1Ч.1.6) В рамках приближения (1Ч.1.3) система уравнений (1Ч.1.1) имеет вид ) !р (х) ~, + г (х) д— " — — '(Т(х) — "~ — ! (х, !)~ дх = О; (1Ч.1.7) к, кв ~ (Т(хк) $/ 1 — ( — ) — Т(хк) ф' 1 — ( — ) ~с(х=О. х, Если смещения частиц настолько малы, что (ду7дх)к ~, '1, то из второго уравнения (1Ч.1.7) следует, что натяжение струны постоянно для всех точек: Т (хк) = Т (хк) = Т. (!Ч.1.8) Подыитегральная функция в первом уравнении должна быть тождественно равна нулю, в противном случае найдутся такие значения х, и х„для которых равенство (!Ч.!,7) будет невозможным. Приравнивая к нулю (1Ч.1.7), получим дифференциальное уравнение малых колебаний струны: р —, + г — — Т д —, = 7 (х, !).
дк» ду дку (1Ч.1.9) Для свободных колебаний [)'(х, !) =О при г=О) дифференциальное уравнение струны имеет вид волнового уравнения: дквп т дка -- — — — = О. дук р дк' Уравнение (17.1.9) содержит вторые производные по координате х и времени (. Поэтому для решения задачи о движении струны необходимо иметь два начальных и два граничных условия. В качестве начальных условий задают профиль струны и скорость его движения в начальный момент времени: у(х, !), г г, =! (х), —" = гр(х). (17.1.11) Граничные условия определяют законом движения концов струны: у(х, (), =в=уз(!)' у(х, () „!=у,((). (1Ч.1.12) Они могут быть заданы также в форме импедансов границ струны: Решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения уравнения и частного решения уравнения с правой частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
