Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для решения (111.4.5) введем новую переменную х = Аа и получим; дйс 1 дс Н вЂ” + — — +о — —, о(х)~ ~ =О. дх' х дх ФЧ ' А-~а— Это выражение имеет решение в виде суммы частного решения уравнения с правой частью и решения однородного уравнения Бес- селя нулевого порядка: о=Аа г(х) Н ь'ч ' Разность давлений выражают через отрицательный градиент давления соотношением Лр = Н(. В результате получается формула импеданса единицы поперечного сечения трубы длиной й Ьгп) 2 а г (гга) М гУойа) Если разделить удельный механический импеданс на площадь 5, то получим акустический импеданс участка 1 трубы: ггп) ааг 2 а г (Фа) Фа Згг (Аа) Для низких частот прн вычислении импеданса х можно пользо- ваться приближенными выражениями функций а ,(х) и ,(х): х' х' х Г х' х' 1 а ,(х) ! — — + — а (х) — 11 — — -1- — ) 4 64 ' * г 2 ~ 8 174 ) при к= а Я(2вр))Ч(! — 1); ~ х ~ =2а~' (гар))г) < 1.
Тогда (П1.4.9) сводится к приближенной формуле —,+1га 3 р(, 8Ч1 . 4 (1П.4. !1) г г где а — радиус, ! — длина участка трубы. Таким образом, нмпеданс тонких трубок имеет активную составляющую, равную коэффициенту Пуазейля (8Ч()аг), и реактивную, которая равна инерционному сопротивлению жидкости.
При этом эффективная масса жидкости, составляющая инерционное сопротивление, больше, чем масса жидкости в трубе: масса жидкости в трубе длиной ! составляет на единицу поперечного сечения р1, а эффективная масса 47(Зр1); вязкость как бы вносит в процесс колебания дополнительную массу.
При уменьшении радиуса трубы инерционное сопротивление остается неизменным, в то время как активная часть импеданса увеличивается. 80 Используя граничное условие, определяем постоянную: А= и а г (гга) Ф'Ч ' Таким образом, амплитуда скорости частиц и средняя скорость (о) по сечению трубы жидкости равны: а (о) = —, ~ о (г) п(г = — — ~1 — — -у — — ~.
(П1.4.8) о Если радиус трубы значительно меньше глубины проникновения вязких стоксовскнх волн, то реактивной частью импеданса можно пренебречь. В этом случае импеданс трубы имеет только активную составляющую, которая не зависит от частоты: е х (П1.4.12) В прикладной акустике в качестве элемента активного сопротивления применяют активное сопротивление тонкой трубки (1П.4,12). Для случая, когда модуль фактора ) йа~ удовлетворяет неравенству 1 < ! йа ! = 2а 1/ — Р < 10, (И!.4.13) ч можно получить следующее приближенное выражение импеданса трубы при условии, когда (6(а)'((1: г !вр((1+ — ) + рс'!(1+ — ~, (1П.4.14) с =-гЯ = Х+ !У, где !вр! — удельное инерционное сопротивление жидкости, заполняющей трубу; Х = рс'1(1+(26)(а)Я; У = вр((1+ 6!а)Я; с' =)/(2чв))р; 6=3 (вр)42ч) . Выражение (1П.4.14) показывает, что пристеночный слой вследствие вязкости вносит дополнительное сопротивление вр!6/а.
Поскольку формула верна для отношений 6/а, близких к 0,1, следует считать, что это сопротивление не играет существенной роли: при 6)а=0,2 приближение (6/а)'((! не имеет места и формула теряет смысл. Наряду с инерционным сопротивлением пристеночный вязкий слой создает активное сопротивление, которое приблизительно равно удельному волновому сопротивлению стоксовских волн, умноженному на длину трубы. Потери колебательной энергии, рассчитанные на полное сечение трубы, определяют как Я7= ~2) . = Рс!5~(о)~ 2 где )(о) )' — квадрат средней скорости движения частиц.
$1П.б. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ КОНТУРЫ И ИХ АКУСТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ В электротехнике принято называть корректирующим контуром дополнительную часть общей цепи, обеспечивающую сглаживание частотной характеристики выходного сигнала. Отношение напряжения на нагрузке к напряжению на входе цепи называют коэффициентом передачи напряжения: Хи (в) = —. и„ и,„ 81 Отношение силы тока в нагрузке к напряжению на входе называют коэффициентом передачи тока: К! (!о) -5!з-. Между коэффициентами передачи тока и напряжения существует связь: ! Кг = — Ки.
г„ Зная частотную зависимость коэффициентов передачи, легко найти частотные характеристики напряжения и тока на выходе: (1„(!о) = Ки (!о) (I,„; 1„(!о) = К, (ы) (/„. (П1.5.1) Существует два типа корректирующих контуров: параллельный и последовательный. В первом типе осуществляется шунтирование импеданса нагрузки цепочкой, состоящей из комбинации индуктивности, емкости и сопротивления.
Во втором совершают последовательное подключение корректирующей цепочки. Е:3 г, й а) Рис. 1!1.З.! Рис. 111.5.2 Пусть электрическая цепь состоит из генератора и двух последовательно включенных импедансов Л, и 2, (рис. П!.5.1). Первый назовем входным, а второй — выходным. Параллельный корректирующий контур Е, шунтирует импеданс нагрузки (см. рис. П1.5.2, а).
Выходной ток, протекающий через импеданс Е„ до подключения корректирующего контура равен !а= а= 2,+Уз и после подключения корректирующего контура определяется зависимостью и,х, ' = хдтт ктхк ' 82 Коэффициент передачи параллельного корректирующего контура ~в 2~ '( ) = У, = 2,7.,+2,2,+2,2, ' (П 1.5.2) При последовательном подключении корректирующего контура (рис. П.5.2, б) коэффициент передачи имеет вид Кг(") = г,+г,+г, ' (П1.5.3) Из (П1.5.2) и (П1.5.3) следует, что при последовательном соединении корректирующий импеданс влияет на характеристику коэффициента передачи тем больше, чем больше импеданс корректирующего контура по сравнению с суммой входного импеданса и импеданса нагрузки.
При У,)) 2, + Л, характеристика коэффициента передачи по току приближается к характеристике комплексной проводимости корректирующего контура. В случае параллельного подсоединения корректирующего контура действие последнего на характеристику коэффициента передачи зависит от соотношения между комплексной проводимостью корректирующего контура и суммой комплексных проводимостей входа и нагрузки.
! ! ! В частности, если -- )) — + †, то характеристика коэффици2з 8~ хз ента передачи близка к характеристике отношения импеданса корректирующего контура и произведению импедансов входа и нагрузки. При малой проводимости корректирующего контура последний не влияет на характеристику коэффициента передачи. Действие корректирующего параллельного контура на коэффициент передачи определяется 2,. Если Е, больше, чем входной и выходной импедансы, то частотная характеристика коэффициента передачи параллельным контуром не корректируется.
Лишь при условии, когда 2, ( 2, и Е, ( Лм коэффициент передачи определяется импедаисом Я,. Если, например, импеданс Я, имеет индуктивный характер, т. е. пропорционален частоте, то характеристика коэффициента передачи имеет вид плавно возрастающей кривой. Если корректирующий контур емкостный, то характеристика имеет вид кривой, убывающей с ростом частоты. При последовательном соедине! нии емкости, индуктивности и сопротивления 2,=)~ыŠ— — )+ г!' коэффициент передачи (П1.5.2) имеет частотную характеристику в виде плавной кривой с минимумом в области резонансной частоты. Пользуясь методом электроакустических аналогий, можно построить акустические устройства, эквивалентные электрическим цепям с корректирующими контурами.
Примеры последовательных и параллельных электрических корректирующих контуров и их акустических аналогов приведены в табл. П1 5.1. Имея коэффициент передачи акустической системы по давлению, легко найти и частотную зависимость амплитуды давления и объемной скорости на выходе системы по формулам: ! Рз (ы) = РзКя (ы) Хз = — Кя (ы) Рг. Если импеданс нагрузки не зависит от частоты, то частотную характеристику давления нагрузки определяют частотной характеристикой коэффициента передачи. Ниже приводим формулы для расчета корректирующих элементов с последовательным корректирующим контуром для открытой трубы. Если конец трубы снабжен фланцем, то г„=1гэр1Р.
Входной аку- 83 Т а б л и ц а 111.5.1 с и 'к Система Характеристика передачи электрическая акустическая Короткая узкая трубка в широкой трубе )(д га 1втя тг!а = й. (в)= 1 га, + га,+1вта Мембрана в широкой трубе Еаг й. (в) = 1 г +2 +— аг аг Мембрана и трубка в широкой таубе, соединенные в узел Св та а к„ АЗ 1 +)они, + —. !вся 1 Ез + Ег+ 1(И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
