Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 15
Текст из файла (страница 15)
системы существуют соотношения: г,= —. = — = —; т,= —; с =с 5'. (111.1,2) Р75 Я7$ г т а ° За у а а и Рассмотрим формулы, определяющие указанные параметры для некоторых частных случаев низкочастотных акустических систем. $ П1.2. АКУСТИЧЕСКИЕ МАССА И ПРОВОДИМОСТЬ Акустические масса н проводимость участка трубы. Допустим, что в трубе постоянного сечения распространяется плоская волна. Если рассматривать участок трубы длиной во много раз меньшей, 73 чем длина волны, то на нем жидкость движется как одно целое, т. е. она несжимаема.
Кинетическая энергия жидкости, заполняющей этот участок трубы, равна РИВз12. Введем вместо линейной скорости $ объемную Х и получим 1 р 1 к в ~~д в а э гдет,= —, —,. р1 кг (П1.2.2) По аналогии с обычной формулой кинетической энергии величину и, называют акустической массой отрезка 1 трубы, имеющей сечение 8,. Соотношение (П1.2.2) по своему виду напоминает формулу сопротивления постоянному току участка проводника площадью поперечного сечения 3 и длиной К Проводимослгь участка цепи аналогична величине, обратной акустической массе: 1 Я~ф ма Р (111.2.3) Отношение плотности р жидкости к акустической массе т, называют акустической проводимостью элемента звукопровода. В частности, как это видно из (Ш.2.3), акустическая проводимость участка трубы (111.2.4) Е„=р ~ — сЬ', где интегрирование проводят по объему внешних частей пространства, для которых скорость ч определяют формулами поля дипольного источника.
Для трубы эллиптического сечения с фланцем (труба вставлена в отверстие безграничного экрана) кинетическую энергию движения жидкости, прилегающей к отверстию трубы, вычисляют по формуле !!31 Е„- — 1/ — (1+ -+ +...) Х, где с — эксцентриситет эллипса. Учет краевых эффектов. Если поместить в плоское акустическое поле короткий отрезок трубы с открытыми концами, то возникает искажение звуковой волны. Звуковая волна возбудит колебательное движение жидкости так, что сама труба будет действовать как акустический диполь.
Полная акустическая масса в этом случае состоит из акустической массы (11!.2.2) и присоединенной массы излучения. Для низких частот присоединенную массу можно рассчитать, пользуясь методами гидродинамики несжимаемой жидкости. С этой целью найдем кинетическую энергию поля вблизи краев отрезка трубы: Таким образом, присоединенная акустическая масса конца трубы с эллиптическим отверстием равна л4,(эл) 2- р' 5 ( + 64 + а 4 + ' ") , (111.2.5) а акустическая проводимость — =К,„= 2 ~ ~ (1+64+ й4+ ''').
(111.2.6) В частности, акустическая проводимость круглого отверстия (е = 0) (111.2.7) К,=2 ~/ — — =и. о ~/ 4а Следовательно, акустическая масса конца круглой трубы Л4а, — к Акустическая масса отрезка трубы, вставленной в экран, состоит из суммы акустической массы внутренней часта жидкости т„и акустической массы отверстия п4,: - =р(к+к)=к где К вЂ” полная акустическая проводимость отрезка трубы с учетом краевых эффектов: КгКо яР!4 К~+Ка !+ п44' (П 1.2,8) Из сравнения (!!1.2.8) и (111.2.4) вндно, что если в формуле акустической проводимости участка трубы длиной ! учесть краевые эффекты, то достаточно к ! добавить отрезок, равный четверти периметра трубы. В общем виде формулы проводимости неоднородного участка звукопровода можно получить, выполнив следующие операции.
Используя граничные условия для области, лежащей вблизи неоднородности, необходимо найти потенциал скорости для той части потока, которая может считаться несжимаемой (линейные размеры этой области меньше, чем длина волны). Определив градиент потенциала, записываем формулу кинетической энергии: Зная распределение скоростей в области, занимаемой неоднородностью звукопровода, можно найти среднюю объемную скорость для характерного сечения неоднородности: (111.2.9) и г~ Представив кинетическую энергию посредством формулы Е, = = — сп,Х' = — — Х, найдем общую формулу для вычисления проводимости, соответствующей той или иной неоднородности звукового поля: к РХ кэг В частности, для проводимости круглого отверстия, расположенного в прямой трубе, получена 1!3) формула (л 1 (111.2.10) где 7(с(7!)) — функция Фока, имеющая следующий вид: 7 ( — ) = ( 1 — 1,4093 ( — ) + 0,3382 ( — ) + 0,0379 ( — ) +...~ ~! — 1,41 — + 0,39 (р Ц, (!П.2.11) Нестеровым 113) проведена экспериментальная проверка теории Фока.
Эта проверка дала хорошее согласование выводов теории с экспериментальными результатами. э )П.З. АКУСТИЧЕСКАЯ ПОДАТЛИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ЗВУКОПРОВОДА Входной импеданс трубы, закрытой жесткой стенкой, равен рс5 1 (е (сс()с) ' Сравнивая полученный результат с формулой емкостного сопро- тивления г = 17()ссс), получаем ! ( вх )мс )м г )(рс 52) Следовательно, отрезок трубы, закрытой на одном конце жесткой стенкой, при низких частотах действует как механическая податливость: (111.3.1) 76 Для случая, когда длина трубы 1 значительно меньше длины волны Л, тангенс можно заменить его аргументом: рс5 1м1(с 1сс(с1(рсс5с) где с, = 1г((роз) (1 П .3.2) 1 61/ бо— где 1)з — коэффициент адиабатической сжимаемости среды, который связан со скоростью звука соотношением рз= !1(рся).
Подставляя выражение коэффициента адиабатической сжимаемости формулу для приращения давления, получаем др = — с'р —. 6'г' 'г' ' (1П.3.3) Согласно системе электроакустнческих аналогий, электрическим аналогом формулы (Н1.3.3) является выражение 1 60= — — бд, С (1!1.3.4) где Я/ — напряжение — аналог давления бр; заряд дд на конденсаторе— аналог объема 6)г; С вЂ” электрическая емкость проводника — аналог акустической податливости с,: гз (П 1.3.5) х па ет вход- ) — — ю п = —. а В качестве примера рассмотрим расч ного акустического импеданса резонатора Гельмголь.
ца. Обозначим акустическое сопротивление в горле Рис. П!,3.1 резонатора г;, плотность газа в резонаторе р; объем резонатора !', диаметр горла резонатора г1; акустическую проводимость горла К; площадь отверстия в резонаторе 5; длину горла 1. Электрическая схема, соответствующая этому устройству, представлена на рис. Ш.3.1. Параметры схемы следующие: р !г 5 г;щ= —; с= —; К= а! з К а р„-а 1! Оопг! Пользуясь ими находим комплексный импеданс резонатора: 1 р роз г =г +!ыа + —. г + !св — + —. а а а „а К !г (Ш.3.6) — акустическая податливость. Таким образом, простейшим устройством, имеющим только механическую гибкость, является малый отрезок трубы с жестким дном.
Разумеется, в данном случае мы отвлекаемся от присоединенной массы, возникающей за счет краевого эффекта н активного сопротивления потерь и излучения. Покажем, что формула (1П.З.!) выполняется не только для короткого цилиндра, но и для объема произвольной формы, если его линейные размеры значительно меньше длины звуковой волны. Известно, что если замкнутый объем жидкости или газа уменьшается на б)г1)г, то стенки, ограничивающие этот объем, испытывают изменение давления 4 Ш.4. ЭЛЕМЕНТЫ ПОТЕРЬ НА ВЯЗКОСТНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Затухание волн звукового диапазона частот, распространяющихся в свободном пространстве, незначительно.
Однако если волны рас. пространяются вблизи твердой границы раздела, то даже при низких частотах наблюдаются заметные потери, которые определяются большими градиентами скорости и температуры в пристеночном слое и зависят от теплопроводности стенок и вязкости среды. Известно, что сила вязкого трения определяется уравнением Ньютона и»» д — Ч дд дЕ' д5 д'$ дг ~ дзГ' (111.4.1) Если внутри жидкости частицы совершают гармоническое колебание $(г, 7) =з,е7"', то следует ожидать, что вблизи поверхности скорость частиц является гармонической функцией времени вида г» (з 7) = ьо (з) е' причем на границе г= О скорость частиц равна нулю, а функция $,(г) должна удовлетворять уравнению (111.4.2) Решением (1!1.4.2), удовлетворяющим условиям $ш, г а = О и $ш»=л=и„, является реальная часть комплексной функции ~, = =ли" р»=à — (»7» А- -~".
Пр 4 47 Уз = )/е — 7'! =е — ! 7»=~сох —" — )з1п — ~1==-(1 — 1), получаем комплексное волновое число й-1(1 — )), где () =')l вр/(2т~). Таким образом, колебательная скорость жидкости вблизи плоской поверхности выражается функцией й = и»еа "— ">е7~~'+ а М (111.4.3.) где й — расстояние от поверхности, соответствующее значению ско- рости $(й) =и,. 78 где г — координата, совпадающая с направлением нормали к границе поверхности с жидкостью; 5 — тангенциальная составляющая скорости движения частиц жидкости.
Функция ~ может быть определена, как решение уравнения Навье — Стокса: Формула (111.4.3) описывает квазиволновой процесс с амплитудой, уменьшающейся в е = 2,713 раза на расстоянии 6 = 17р. Фазовая скорость этого волнового процесса равна с' — 1 (111.4.4) Она зависит от частоты', ее числовое значение меньше, чем у ско- рости объемных волн. Направление колебаний частиц в рассматривае- мой волне перпендикулярно направлению распространения.
Эти волны впервые изучены Стоксом, поэтому их часто называют вязкими волнами Стокса. Вязкие волны затухают очень сильно. На расстоянии 116,28 волны 117р =)'7(2п)! амплитуда уменьшается в е раз. Например, при частоте 500 Гц длина стоксовской волны составляет в воздухе )' = 0,6 мм и затухание в е раз осуществляется в слое толщиной Ц)~ -0,1 мм. Найдем механический импеданс единицы площади поперечного сечения трубы. Допустим, что длина волны больше, чем длина трубы. В этом случае жидкость в трубе под действием градиента давления движется как одно целое без деформации. Механический импеданс единицы площади поперечного сечения трубы в данном случае есть отношение разности давлений в начале и конце трубы к амплитуде скорости о, усредненной по сечению: И 2 (о) ' где Π— отрицательный градиент давления; (о) — скорость, усреднен- ная по площади поперечного сечения, Скорость движения несжимаемой вязкой жидкости в круглой трубе подчиняется уравнению Навье †Сток в цилиндрической системе координат: др Ч 7 д2с ! дс ) + = ~ + ) дг р дг р ~~дР г дг)' которое для установившихся колебаний (о = о,е~") при градиенте давления др!да= — Ие-г ' преобразуется к виду + „+к оо= — — ° д "О 1 аоо д Н (111.4.5) дгз г аг о — Ч' Решение (111.4.5) должно удовлетворять граничному условию на стенке трубы: о(г) ), „О, (!1!.4.6) где к=~ — (гэр!Ч=(1 — /) 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
