Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Известно, что волновое уравнение йринадлежит к уравнениям гиперболического типа и может быть решено как методом Даламбера, так и методом Фурье. Обэ метода приводят к одинаковьи результатам. Однако одни задачи проще решать первым методом, другие — вторым. Поэтому полезно ознакомиться как с тем, так и с другим методом. К дифференциальному уравнению струны приводятся многие задачи математической физики.
В таких случаях можно пользоваться методом аналогий — зная решение одной задачи, можно записать решение задачи, относящейся к другой области, но соответствующей одним и тем же дифференциальным уравнениям, аналогичным граничным и начальныч условия», К подобному типу относят задачи о распространении упругого импульса в трубах и стержнях, электрического напряжения в двухпроводной длинной линии, плоских волн в свободном про.
странстве. Решение волнового уравнения методом Даламбера. Найти функцию у= (х, Г), непрерывную и имеющую непрерывные производные в области О ( Г ( со, — со < ~х(+оэ и удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1Ч.!.10) при следующих начальных и граничных условиях: и (б х) Н = о =1(х), У У х) Н = а = ф (х), и(Г х)~ =о=рву) р(! х),.=т=~ю(!). (17.1. 14) Для решения волнового уравнения введем новые переменные: в=к — сй Ч=х-1-сд В этом случае операции дифференцирования выражают формулами В результате преобразований получим уравнение в виде — =О, сму д$дч 96 Эта форма записи граничных условий особенно удобна для действия периодической силы г =гэе' ', приложенной к одной из границ струны.
Интегрирование по переменной т) дает ду — =А (с). д$ После повторного интегрирования по переменной $ найдем искомую функцию: у= ~ Ат(й д()+Аз (0). й Обозначим первое слагаемое как тг)й), а второе как 7з(т)) и, возвращаясь к исходным переменным, запишем решение волнового уравнения в виде у=)г (х — с!)+(з (х+ст). (!Н.1.
!8) Для определения функций /, и 7э воспользуемся начальными условиями (!Н.).14). Применяя нк к решению (!Н.!.!5), получим систему уравнений 7т(х)+)з(.)=У(х), — +— дг, д)з гр (х) оь,г=о дЧы=о Интегрируя второе из уравнений (!Н.1.18), получим 1 )з (х) - (г (х) = — 1 ю (г) да+ Р.
с д е Положив х=0, найдем выражение для постоянвой Еи 7) =7, (0)-7, (0). ПУсть 77=0. Тогда )а(0) — 7т(0)=-О. В итоге сУмма и Разность фУнкций ), и )з связаны с начальными условиями >равнениями: 1 )э (х) + (т (х) = ) (х), )з (х) — 7, (х) = — ~ ф (з) дз.
о Решения этой системы )т(х) = — )(х) — — ) ф (х) дз 2~ с в )з (х) = — 7(х)+ — ~р (з) дг с о Подставим эти решения в формулу (!Н.1,15) и приведем к виду с+ы 1 ! у(х, т)= 2 (7 (Х вЂ” С!)+г (к+С!))+2 — ~ 'р (з) дз. (1НА, 17) х — ы Рассмотрим физический смысл первого из слагаемых (!Н.!,18). Если считать, что у, х, т — координаты прямоугольной системы, то у=у(х, т) — уравнение поверхности в пространстве.
Ордината этой поверхности представляет смещение точки струны с координатой х в момент времени д Форма стртны определяется 4 Л. Ф. Лепевлви 97 Допустим, что в начальный момент времени скорость гр(х)=0, а смещение у (х) =7' (х). Тогда решение (!Н.1.17) следующее: 1 у (х, !) = — (7 (х — с!)+7 (х+с!)). 2 (!Н.1.! 8) полностью для момента Г=(о уравнением у у(х, !о). Геометрически это кривая, полученная в результате пересечения плоскости !=то и поверхности у=у(х, Г). Для установления закона движения точки струны (х=х,) необходил~о пере. сечь поверхность у(х, Г) плоскостью х=хо. Допустим, что х=А В плоскости ХОг построим йрямую х — с(=а.
Очевидно, у ((х — ст)г2=)(Л)/2, т, е, поверх- ность у=у(х, Г) имеет одну и ту же ординату у для всех точек, лежащих в плоскости ХГ на прямой х ст+г(, а именно такую, какую она имела для зна. чения времени Г О. Зто значит, что если в начальный момент времени для точки 1 струны с координатой х=а смещение у= — ) (г(), то и в последующие моменты 2 времени (Г~ 0) такое же смещение будет для тех точек струны, координаты кото.
рых удовлетворяют уравнению х=с(+г(. Смещение точек струны не остается на месте, а распространяется со скоростью с=у'Т7р в сторону +Х. Точна так же можно показать, что второе слагаемое у(х, Г)=)о(х+ст))2 представляет собой смещение точек, распространяющихся в сторону — Х со ско- ростью с= !' Т)р, Подобный знализ можно провести значительно проще. Допустим, что в пеко- торыд начальный момент времени г=О возникло возмущение, форма которого задана функцией у= а при — 6/2 < х < 6(2, ( — со < х < — 6!2, у=О при — 6!2 < х <+ причсм в интервале — 6/2<к="6Г2 у=а=)ы+)оо 7ло — — )л(х — ст) = )л (хо) )оо=уо(х+с() = го(хо).
г=а !=а к=к, к=к, Что произойдет с этим возмущением к моменту времени то Очевидно, величина и форма импульса не изменятся. Они заданы начальными условиями, т. е, в момент времени Г=О. Поэтому в силу однозначности функций )л(х — с() и (к(х+ст) их аргументы окажутся также неизменными, равными начальным значениям: х -л- СГ( г о — — хо. Отсюда следует, что к моменту времени т координаты х, и х,, для которых функции !л и )о имеют значения )ло и )оо, определятся уравнениями хл — от=хо т. е. х,=ах+хо,' х,+от=хо т.
е. х,=хо — сс Это значит, что импульс )ло переместится на расстояние ст в сторону положительных значений координаты Х, а импульс )оо — на то же расстояние, но в противоположную сторону. Скорости перемещения этих импульсов одинаковы и равны с г' Т)р. Решение волнового уравнении методом Фурье. Предположим, что решение волнового уравнения состоит из произведения двух функций Х(х) и Т(г): у =х (х) т (1).
(!Н. 1 . 1 9) Подставим это решение в волновое уравнение (!Ч.!.10) и получим бох (х) 1 гРТ (Г) Т (Г) — — — Х (х) — = О, г(хо со г(то где со= т!р. Разделив полученное выражение на произведение Х (х) Т (Г), преобразуем его к виду ~Х ( Р 1 ! Дкт(Г) Х (т) ахо со т(Г) Ио Так как левая часть этого равенства зависит только от координаты х, а правая — от времени д то их можно приравнять к некоторой постоянной — «з: 1 пзХ (х) 1 сзТ (!) — — = — «з, — = — «', Х (х) ЫХэ ' Т (Г) ст бтз т.
е. — + «зХ (х) = О, — + «гсзТ (1) = О. сэХ (х) УТ (Г) дхз бгз (1Н.1.20) Иначе говоря, функции Х (х) и Т(1) удовлетворяют линейным однородным уравнениям второго порядка. Частные решения второго и первого уравнений имеют вид: Т (1) = А' соз (м1 — ар!), (!Н.1.2!) Х (х) = В' соз («х — ~рх), (1Ч. ! .22) где «=ю/с — волновое число, ю=«с — круговая частота.
Наконец, частное решение волнового уравнения определяется произведением; р = Х (х) Т (1) = А'В' оса («х — ф,) соз (ыг — фА соз («х — фх) (В соз шт+ С з!п мг). (1Н. 1,23) Для определения четырех постоянных интегрирования «, ~рх, А и В воспользуемся граничными (1Ч.1.12) и начальными (1Н.1.1!) условиями. Пусть струна закреплена на концах. Тогда первое граничное условие у(х, 1),„ =О, примененное к решению (!Н.1.23), приводит для произвольного времени 1 к уравнению соз( — ~рх)=0. Отсюда следует, что <р =(2т+!) п)2, н решение принимает вид у = ап «х (В соз шт+ С мп мт). (! Ч.1.24) Применяя к (!Н.!.24) второе граничное условие р(х, 1),х ! —— О, получим для любого времени Г уравнение аш «1=0, из которого следуют допустимые значения волновых чисел «т=т —, (1Ч.1.25) где т=1, 2, 3, „, Так кан «=ы(с, то из (1Ч.!.25) находим допустимые значения круговыз частот: мы = плмЛ.
(1Ч, !.26) Таким образом, частные решения волнового уравнения струны с закрепленнымя концами имеют вид Рт (х, Г) = а!п (птх!1) (Вм сов (кто!Я+С в!п (птс17!)), (1Ч.!.27) где т= 1, 2, 3, ... Этот результат показывает, что струна с закрепленными концами может иметь только те частоты колебаний которые кратны основной частом, и только те волновые числа, которые кратны основному волновому числу: езт = те>т, «т = т«т, (1Ч.1.28) тп / тпс тпс у = ~ ип — х(В соз — '1+С яп — 1) = — т т=| тпс . тпс фт (х) (Вм соэ 1 '1+Ст и!п ! 1), т ! (1 Н.1.29! где ыт=пс/1; «,=и/1; т=1, 2, 3, ...
Общим решением волнового уравнения струны является сумма всех его частных решений (!Ч.1.27): где фт (х) обозначает четное множество функций: ф,(х)=ап — х т=1, 2, 3, 1 (фундаментальнь!к функций колебаний струны). Отметим что они обладают свой- ством ортогональности: тл . лл 1 О при т~л! !Рт (х) фл (х) дх = з!п — х з!п — х ух=! 1 (1/2 при т=л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
