Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1ОВ Решение волнового уравнения струны, удовлетворяющее начальному условию (['51.[.42), имеет вид тлЬ . тл1, ОО5 — 5(П вЂ” ' о В этом случае энергия колебаний струны состоит из суммы энергий, соответствующих отдельным гармоническим составляющим колебаний струны: [Г= 2; Я7, причем 1ао,'Ьхр 1 51тлЬ'1 . 5 lтл1,~ (ло 1 — (2тЬЬ85 ( 1 ), 1 Если струна возбуждается ие идеально жестким молоточком, то колебания определяются не начальной скоростью, а силой, изменяющейся во времени. Это соответствует тому, что задано волновое уравнение с правой частью Росоз( — 2 ) 5(п — '1 при — „< [, 0((=-т, /х — 1, л', . л х — 1, 1(,1)= ' О при — '> [, 1>т. Ь Решение этого уравнения представляется в виде тлЬ 5отт .
тл15 16ГотЬ 1 1 2 1 . тлх . / т ' ОЮ вЂ” Соо — 51П— лор( х~~! т [1 — (2тЬ11)5[ [1 — (т(рв т/1)5[ 1 т ( 2 ) ' т ! Приведенные примеры показывают, что характер удара оказывает значительное влияние на энергию высоких тонов струны.
Присутствие множителя з[п (лгл(511) показывает, что ш-я гармоника не возбуждается, если центр удара приходится на один из ее узлов. Характер звучания имеет неприятный оттенок, если наряду с основным тоном возбуждаются обертоны высоких частот. При этом возникают низкочастотные резонансные тоны, вызывающие биения звука. Число этих биений в единицу времени достаточно велико, и одновременное сочетание звуков создает ощущение неполной согласованности. Другими словами, наступает диссонанс; обычно это возникает, когда возбуждаются 7-я, 8-я гармоники и более высокие.
Наличие нижних обертонов вызывает ощущение приятной полноты звучания. Поэтому чтобы уменьшить, например, в рояле влияние высоких обертонов, располагают молоточки так, чтобы их удары приходились в районе 7-го и 8-го обертонов, а чтобы увеличить энергию нижних обертонов, подбирают соответствующим образом ширину и жесткость каждого молоточка. Ф ГР.В. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕВАНИЯ СТРУНЫ Пусть на струну действует вынуждающая поперечная сила Т(х, !). Тогда на элемент струны Ах действует сила ог (х, !) =/т(х, /)Ах, где /,(х, !)= Колебания струны под действием гармонической силы. Рассмотрим сначала решение неоднородного дифференциального уравнения, описывающего колебание струны (!У.!.9), когда функция /,(х, /) имеет гармоническую зависимость от времени: / (» /) = а — = /(х) е'"'.
дх дх В этом случае уравнение (1Ъ'.1,9) преобразуется: аи+26Б — с а з =/(х) еl (1У.2.1) где 6 = г/(2р) — коэффициент затухания колебаний струны; с, = и' 'Т/р— фазовая скорость распространения изгибных волн в струне; /(х) = =/,(х)/р — ускорение, получаемое массой элемента струны длиной дх/дт=рйх, когда на нее действует сила йг (х) =/(х) дх. Допустим, что струна закреплена на концах.
Это спответствует граяичным условиям у(О, !) =у (1, /) = О. (1У.2.2) Решение уравнения (1Н.2.1) будем искать в виде суммы: у(х, /) = у, (х, /)+у, (х, /), (1Ъ'.2.3) где у (х, /) — общее решение однородного уравнения а, +26а —,— с!а ° О, (!Ъ'.2.4) а у,(х, /) — частное решение уравнения (1У.2.1). Общее решение этого уравнения имеет характер затухающих колебаний: у,(х, /) = ч~ е 'ф„(х) А сов(в„! — ~р ), (1Ъ',2.5) где 6 = г /(2р) — коэффициент затухания колебаний с частотой ы 'гипс/!; ф„(х) — фундаментальные функции струны; А — амплитуда колебаний; <р„ †фа этих колебаний.
Установившиеся колебания. Если время действия внешней силы значительно больше, чем время затухания основного тона /)) т = 1/б, то к моменту времени / собственные колебания прекратятся и останутся только вынужденные. Частота вынужденных колебаний при этом равна частоте вынуждающей силы, а амплитуда колебаний от- щт дельных точек струны зависит от амплитуды силы. Эту зависимость можно найти, решив уравнение струны с правой частью (1Ч.2.1). Для получения этого решения заметим, что смещение должно зависеть от времени по гармоническому закону с частотой вьп!уждающей силы у,(х, () =у(х) ет '. (1Ч.2.6) После подстановки функции у,(х, !) из (1Ч.2.6) в дифференциальное уравнение с правой частью получим уравнение для определения функции ( — о!о+ 26о!) у (х) — с,' о, — ) (х) = О. (1Ч,2,7) Решение уравнения (1Ч.2.7) будем искать в виде ряда Фурье по фундаментальным функциям колебаний струны.
С этой целью подставим в это уравнение у(х) и г(х) в форме рядов Фурье: у (х) = ~, у ф (х), ! (х) = ~ч„ ! ф (х), (1Н.2.8) о!= ! где !Р (х) = зш — ' х; 7' — коэффициенты ряда Фурье, равные тл 1„= — ~ ! ($) з!п — я !(о. о (1Ч,2.9) В результате несложных преобразований получим ~> ~~ — о!о+/26оо+со( — ) ~ут — 7„,~ з!и — =О. (1Ч.2.10) т= ! (тол'сУ!' — о!!) +/26о! ' !т (1Ч.2.12) Таким образом, искомая функция у (х) представляется в виде ряда: гп =! !ов Уравнение (!Ч.2.10) может выполняться для любых значений координаты 0(х( 1, для которых з!п(п!пх/1) ~0. Отсюда следует, что для любого целого !и выполняется равенство нулю выражений, заключенных в фигурные скобки, т. е.
г ':( ) , гтл!о — о!'+с,'( — ) +)26о!)у — г' =О, О( ! ) (1Ч.2.! 1) где т = 1, 2, 3, В этих уравнениях ) определены, если задана в явном виде си- ловая функция 7(х). Поэтому их можно рассматривать как уравне- ния для коэффициентов разложения у(х) по фундаментальным функ- циям: 2 Р . тл толом где ~,.= —, 1 ~(з) з1п — $41, =т' — квадрат круговой частоты о т-й моды колебаний. Смещение участка струны с координатой х при установившихся колебаниях определяют гармонической функцией частоты оо вынуждающей силы. Амплитуда смещения зависит от соотношения частот оо„ и оо величины 7 и координаты х: Если частота вынуждающей силы совпадает с частотой одного нз обертонов (оо = т„), то нз всех слагаемых суммы (1о'.2.14) наибольшее значение амплитуды имеет слагаемое с т=л: у (х, 1) = —." з(п — х соз оо(+ слагаемые второго порядка.
(11г.2.15) 126оо Скорость смещения при вынужденных колебаниях струны выражается рядом СО о(х, 1)= — "'= ~ г — з)п — 'х)созо(, (1Ч.2.16) т= ) где г — комплексное механическое сопротивление, приходящееся на и-юют форму колебаний: г =26(1+Я у ), (1Ъ'.2. 17) оот тло Г а т,1 йо/ толо1 Здесь Я = — = — — добротность; у =~ — — -' — ") = — (1 — — )- 26т 216 т Го частотная постоянная моды колебаний струны; )т определяется действующей силой — = 1" (х): . А(х) Р (т = — ') 7 (х) з!п — Йх = — ') )~ (х) з1п тлх о(х = о о 1 тлх = — 1 ), (х) з(п — дх; М вЂ” половина массы струны. о Допустим, сила ),(х) задана в точке ),(х) =)об(х — х,), причем 0 при х~х„ 6(х — хо) = 1 при х=х,.
Тогда интеграл силовой функции отличен от нуля в окрестности точки приложения силы: х.-Ь о» тлх Г тлх тахо ),(х) ып — Пх=)о ~ 6(х — х,) з(п — о(х=(оз)п —. Частные случаи. !. Периодическая сила действует в окрестности точки с координатой хз. 1 ! ! (х) = — )! (х) = — )еб (х — хе) р р причем 6 (х — хе) — импульсная б-функция, Заметим, что для б-функции выполняется соотношезтйе в О ) 1 (С) 6 ($ — х) Я = 1121 (х) ! (х) В атом случае ! 2!'1 тпб 2 1я — ~ — Гзб 6 — хе) Б!п — 4Я = — Ге !3р 1 =)р е при х<а, при х=а, при а(х~б. тпз 2 .
тпхе яП вЂ” !55= — )з 5зП вЂ”. =1р е Подставляя это выражение в (1Ч.2.!6), получаем: о(х, !)=яп — ззп— тпхе . тпх 215/(р1) 26(1+1() у ) созя 1, аз„тисе Р тпсеР зз1 тисе О - — =— 26 1 г г1 ' ~ тисе ы! (2!р1) )5 яп (тих!1), тпх 2 . !!лихе ! . !низ "(х Врез 26 1 г! Бзп со5551= — 1О яп ~ / Бзп созы1. 2. Сила действует на участок струны х, ~х(аз+Ля! 1! (Х) = 15 при х, ( х ( хз+ Лх, Гз(х) О при х~х! и х)хз-(-ЛХ. Тогда х,+ах 1 2 (' . тпб 215 1 1 тп$ 1 !Хе+аз )я = — 15 — Оз Бзп — !($ = — — ! — соз — 1! х, — ( оса — — соз ~ — (хз+ Ьх)~) 2)е тп 1 Ьх) . тпбх 4)е . Гтп1 ах!1 — 2яп —" ! Хз+ — ! яп ' — Лх яп ~ — ! Хз+ — !)!. рзпп 1 (, 2! 1 р! '11 ')! 2Д' Подставляя эту формулу в выражение для скорости колебаний, получаем 5зП )Ля!+ — ) — 1 о(х, 1)= — 'Лх ды р1 (г)р) (1+% Ъ ) яп — х соз ыд е!= ! Если частота се совпадает с частотой ыя, то у =ы)ыт — ыт)ы=О и находим выражение для колебательной скорости йри частоте резонанса: 415 .
Гтп ! Ьх11, знп о (х, !) — — ахяп~ — (хз+ — !!з!5!п — хсозы ! Рез бз! ~ ! ( 2 Д ! и 110 Скорость на резонансной частоте максимальна по амплитуде и совпадает по фазе с действующей силой: $1Ч.З. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ Наряду со струной в акустике широко используют и другие одномерные колебательные системы.
К ним относят стержни, т. е. упругие тела удлиненной цилиндрической формы. Концы стержня обычно ограничены плоскостями, перпендикулярными образующей; центры инерции поперечных сечений расположены иа прямой линии, называемой осью стержня. Колебания стержней бывают трех видов: продольные, крутильные и поперечные. Исследуем продольные колебания, т. е, колебания стержней, когда ось неподвижна, а поперечные сечения, оставаясь плоскими,'колеблются вдоль оси. Необходимо заметить, что при растяже- ~() ~("д.) нии стержня происходит уменьшение д его поперечных линейных размеров и точки поперечных сечений фактически перемещаются не только вдоль оси, но и радиально.
Однако если Х линейные размеры поперечных сечений значительно меньше общеи длины стержня и стержень целиком подвергается растяжению, то продольное перемещение сечений.стерн(ня значительно больше, чем поперечно-радиальное перемещение частиц. Таким образом, при низкочастотных продольных колебаниях длинных стержней поперечные движения частиц можно не учитывать. Вывод дифференцяального уравнения. Предположим, что приложенные к стержню силы направлены вдоль его оси. Обозначим т,(х) — погонную плотность стержня, Š— модуль Юнга и 5(х)— площадь поперечного сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
