Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1Ч.4 5 нуль. Это означает, что у входа напряжение равно нулю, а колебательная скорость максимальна, т. е. у входа имеется пучность скорости и узел напряжения. У нагруженного конца зти величины имеют промежуточное значение между максимумом и минимумом (рис. 1Ч.4.6,а). Для нахождения резонансных частот надо найти решение уравнения (1Ч.4.38): ! — 18 Ы= О, Рго5в'о или 1 в = 1д — 1, ре„5 вез е, 1 18 а = сг(ео —. а' (1Ч.4.39) (1Ч.4.40) 121 Как и в предыдущих случаях, входное сопротивление чисто реактивно и при резонансе обращается в нуль. Это значит, что напряжение у входа равно нулю (рнс. 1Ч.4.4, б), т.
е. образуется узел механического напряжения, а скорость образует пучность (рис. 1Ч.4.4, е). Резонансные частоты определяют из уран. пения а) вт+рго5 1й 41 =0, Здесь с!=ох(=!)(ЕЗ) — гибкость стержня длиной 1; а=ы!!сх. Решение этого уравнения можно провести аналитическим или графичесиим методом. В случае графического метода испочьзуют графики функций у=16 а и у= — ! — (рис. !Ч.4.6,б), с а На графике видно, что упругая нагрузка смещает собственные частоты стер. жия в сторону их увеличения.
5. Стержень, нагруженный но активное сопротивление. Если стержень своим рабочим концом погружен в очень вязкую среду, то он практически нагружен на чисто активное сопротивление. Обозначим его как г' = г)(ргтрк). и! Тогда входное слпротивление стержня имеет вид Г гхх = , (1Ч 4 4!) ! +!г'1йй!' й --- Гв Освобождаясь от комплексно. сти знаменателя, получаем !4 -~-'-- ",, (!+1~ й!)+,(~й! П, ) У: Уг 1+ г'Вй' Д! 1. (!Ч.4.42) 1 При резонансе реактивная г г часть сопротивления равна нулю.
Поэтому (1Ч.4.42) дает 16 И (1 — г') =О. (1Ч.4.43) а т~~ гг ф2гГ, утг а, Выражение (!Ч.4.43) распада! ется на два уравнения: ! — г'э = О при 1и й! ~ О, 16 41=0 прн 1 — г'-ь О, (!Ч,4,44) Первое уравнение имеет решение в виде г = рсх5. (1Ч.4.45) В этом случае сопротивление нагрузки рвано волновому сопротивлению стер- жня. Как видно из (!Ч.4,42), приведенное входное сопротивление гхх равно еди- нице, а входное сопротивление стержня равно его водновому сопротивлению: гхх = Рсх3. (1Ч.4.46) Рис.
!Ч.4.6 Здесь имеется полвое согласование колебательной системы о нагрузкой, что отвечает режиму бегущих волн, так как на нагруженном конце иет отражений Второе уравнение соответствует случаю, когда в стержне- укладывается палое число полуволн — система находится в режиме стоячих волн. Однако это не эквивалентно лучаю отсутствия нагрузки, где тоже образуются стоячие волны. При нагрузке на произвольное активное сопротивление импеданс нагрузки г„ равен активному сопротивле. !гй х,Л Р . !Н.4.2 122 нию г, а, стало быть, входной импеданс г, равен также этому сопротивлению.
Это соответствует распределению амплитуд напряжения, представленному на рис. !Н.4.7. Колебания концов стержня, нагруженного на активное сопротивление, равны по амплитуде, но противоположны по фазе, если стержень содержит нечетное число полуволн. Если в длине стержня укла. дывается четное число полуволн, фазы колебаний концов совпадают (рис !Ч.47) а х Х х О Х Ф Х ыа х„ йх х 'о' Хо Х Е~ х х О « хх з Зс Х Ф Ф Х х » О х й з Ф М а »» о о О Ф ййх Д,Х Ф ФФО ййБ ы йй х х, Х ФХ йхй Ф ФЕ ай а ах ыз <р з ж + + З. :)ъ ',~ !'ъ Ф а Р о + О о». + + ъ~ъ ъ!ъ С» Д !! „!,, ъ!ъ Х ! + + И ,з )'Х х.
Х ъъ ъ!ъ ! + + ф М !! Ф '4ФФ + Е з з '~!'ъ аъ !ъ ! з т з !! 'ъ 4!ъ ! х х о Р. й х о !зз й 3 Ф О Ф Х Х Ю х о й Ф О Ф й о Ф ы !Е Эх и!," х й з й ы з х « ° Ф й х о Ф Ь х Х "1 Ф О О .'»' х ! Ф з а а х Ф й й й Ф ;'8 3 о й Х з «' д ~ х а а з аз о й Ф й % йа О »ойдо !, йй х х йх Х Ф Ф Ф х ахх х = ОФ йй $ хы Ф 2 й о о а й В предыдущем параграфе было показано, что л'.ежду продольными колеба.
виями стержней и колебаниями тока и напряжения в длинных линиях электропередач существует прямая аналогия, В связи с этим принцип аналогий с длин. ными линиями электропередач можно использовать для анализа колебательного движения одномерных линейных сметем, записав для них систему обобщенных телеграфных уравнений относительно функций х (х, г), у (х, 1), определяющих процесс колебаний в одномерной системе: дХ дУ дУ дХ вЂ” — =а, — +ЬУ, — — =Ьл — +рлХ дх дГ ' дх д( с Граничными Х (х 1), х-о=Хо(0 (х 0' х-а=) о (Г) (1Ч.4.
48) и начальными Х(х (): о-о=!(х), у(х, Г), а=ср(х) (! Ч.4 49) условиями. Если граничные условия выражаются гармоническими функциями времени хо (1) = х,едм и Уо (г) = У аетм', (1Ч.4. 50) то уравнении (1Ч.4.48) приводятся к уравнениям 'относительно комплексной функции действительного аргумента: дХ (х) дг (х) — = ()мал+ Ьл) у (х), — — = (/ысл+ал)Х (х).
(1Н.4.5!) дх дх Кроме продольных колебаний стержней телеграфным уравнениям подчиняются колебания струны, воздушных и жидких столбов в жестких и нетеплопроводных прямых трубах достаточно малого сечения, крутильные колебания стерисней, продольные колебания частиц в плоской волне и т. д. Читателю предлагается провести вывод дифференциальных уравгеннй для этих колебаний и убедиться, что эти уравнения аналогичны дифференциальным уравнениям для линии электропередач. В табл, !Ч.4.! показана система аналогий с длинными электрическими линиями.
$1Ч.5. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА В УЗКИХ ТРУБАХ !24 Процессы распространения колебания частиц жидкости или газа в трубе осложняются влиянием ее стенок. Косые отражения волн от стенок трубы создают условия для образования радиальных колебаний. Поставив задачу исследования аксиальных колебаний частиц жидкости или газа в узких трубах, мы должны учесть ряд условий, при которых можно пренебречь радиальными колебаниями.
Прежде всего условие, раскрывающее понятие узкой трубы. В специальных исследованиях теории колебаний в трубах любого профиля и сечения показано, что колебания частиц газа (или жидкости) будут аксиальными, если выполняется определенное соотношение между линейными размерами сечений и длиной волны, а именно: для цилиндрической трубы а( 0,61 Л (а — радиус трубы, Х вЂ” длина волны).
Если труба имеет прямоугольное сечение со стороной 1„то при 1.()к2 ЕЕ МОЖНО РаССЧИтЫВатЬ КаК УЗКУЮ тРУбУ. ОДНаКО ИМЕЮТСЯ еще дополнительные условия, связанные с поглощением у стенок. Касательная составляющая скорости частиц у стенки равна нулю, а по мере удаления от нее она возрастает до максимального значе- Рис. 1Хе.в.! р (х Г) — (аегх 1 Ье-Гк) еаи (!Ч.5.1) где à — постоянная распространения (Г = — )а — б, й = ы ) е птс„ б=г,)/ —,' ). На основании соотношения Х = 5~ = 5 — — Е получаем для волн ! др мр дх объемной скорости Х = — (аеги Ье — ги) ееие 1 га, (1Ч.5.2) где г„= —.
мр Рс /хг 5' Определим постоянные на основании граничных условий: р(О, !)+Х (О, !) ги=О, р (1, !) + Х (О, 1) г, = р„ееии. (1У.5.3) Используя (1У.5.!) и (!Ч.5.2), получаем систему уравнений а(1+ е) еге + Ь (1 е ~ е ее = ро а(! — — "~1+Ь11+ — ") =О. гав! ( гм) (1Ч.5.4) ния в центре сечения трубы. Наличие поперечного градиента ско. рости приводит к дополнительному поглощению энергии волны, которое и вызывает искажение волнового фронта и связанное с ним появление радиальных колебаний.
Но так как поглощение тем больше, чем больше вязкость газа и теплопроводность стенок трубы, то приближенная теория аксиальных колебаний в тонких трубах будет выполняться лучше, если стенки трубы очень гладкие и выполнены из жесткого материала, обладающего малой теплопроводностью. Кроме того, вязкость газа, заполняющего трубку, должна быть мала. Если все перечисленные условия выполнены, то колебания газовых столбов в трубах можно рассматривать как колебания в длинных линиях. Распространение звука в трубе конечной длины.
На рис. 17.5.! представлен отрезок трубы с координатами концов О, !. К концу трубы с координатой х = ! присоединен поршень с акустическим Р импедансом г, и действует извне бе' ' сила давления р,е'"'. На другом конце (х=О) имеется поршень с акустическим импедансом гь Под действием внешней силы в трубе устанавливается стационарное звуковое поле, которое является результатом наложения волн, многократно отраженных от импедансов г, и гь Звуковое давление в общем случае выражается функцией Решая уравнение (!Н.5.4), находим постоянные а и Ь: г'„+ ! е'„— ! а= — "Р„Ь= — "ро, а ' а (1Н.5.5) где (1+ г[) ег! (1 — г[) е г! ~, г, Таким образом, давление и объемную скорость выражают формулами: (1Н.5.6) еры Р'е [(а' ! 1) егк 1 (з' !) е-г»1 ! р е(тл Х(Х, () = — ро [(Ен+ !)ЕГк ! (З» !)Š— Гк~ а, (!Н.5.7) р (1 () = Р' [(зн + ! ) еГ'+ (з' — 1) е — Г'1 еР'а, Х ((, () = Ро-[(он+1) ЕГ! (гн — 1) Š— Г'! Е("', аа а у конца, присоединенного к нагрузке, Р (О () Роне Х (О, () = Хоне(ео е(ак еа,а Путем простых преобразований можно получить следующие соотношения: Р,=АР»+ВХ, Х,=СР,-(-()Х„, (1Н.5.
8) где А =с)!(П), В=г,,й (Г(), С= —, а)=й (П), оь (ГО Еаа Детерминант системы уравнений (1Н.5.8) имеет значение, равное единице: с)! (П), г, 3)! (Г() — с)! (П) оа, = с)!а (П) — йо(Г() = 1. (!Н.5.9) Решая систему (1Н.5.8) относительно р„, и Х,н, получаем: Рр! — ВХа Х АХа — Ср, Ро»=.О СВ (ГЧ.5.10) или Рон с)! (П) Р! знай (П) Хи Хон Ра+ с)! (Г1) Хп (!Н,5.1 1) а, С помощью (1Н.5.6) и (!Н.5.7) можно найти звуковое поле в любом сечении трубы. У конца трубы (х=(), где действует возбуждающая сила, комплексные амплитуды давления и объемной скорости имеют вид: Если нагрузку и источник силы поменять местами, что эквивалентно замене ! на — 1, так как зп ( — Г1) = — зй (Г(), то из (!Ч.5.8) получим (ГЧ.5.11).
Следовательно, для отрезка трубы выполняется условие обратимости по отношению к давлению и объемной скорости. Соотношения (!Ч.5.8), (1Ч.5.9) и (1Ч.5.1!) выполняются для электрических пассивных четырехполюсников, если заменить давле иия р„, и р, электрическими напряжениями У, и Уо объемные скорости Х„, и Х,— токами сУ„и Уо акустические параметры трубы и акустические импедансы — параметрами отрезка электрической линии и электрическими импедансами. Поэтому в системе электроакустической аналогии отрезок трубы эквивалентен пассивному четырехполюснику, выполненному в виде отрезка линии электропередачи. Заметим, что первый член (1Ч.5.6) представляет собой падающую, а второй — отраженную волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
