Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Граничные условия определяются характером связей, существующих на концах стержня. В простейших случаях конец стержня может быть свободным, зажатым и опертым. В случае, когда конец стержня свободен, скалывающая сила г" и изгибающий момент М равны нулю, т. е. согласно уравнениям (1Ч.6.8) и (1Ч.6.5) имеем: дзн дзу дзу г" =о= — д --Е1 —, =О или —, =О; д = дз до д» |»=о " ~»=о хзГ» о М = — Е! — = О, или —, =О. дзу дзу )к=о дх',к о = ' Для решения конкретных задач об изгибных колебаниях стержней удобно пользоваться функциям!! Крылова: 1 1 Б (х) = — (с)! х+ соя х), Т (х) = — (з)! х+ зтп х), (1Ч,6.16) () (х) = — (с)! х — соз х), У (х) = — (з)! х — з(п х). 2 2 Первые четыре производные функции Крылова и значения этих производных при х=О представлены в табл.
1Ч.6.1. Табл иц а 1Ч.О.! Праизиадные функции Праизиадные функции Функции Функции 1У 1и В (х) и (х) Т (х) ~ У (х) 5 (х) Т (х) У (х) 5 (х) и (х) У (х) Т (х) и (х) Т (х) и (х) 5 (х) Т (х) у (х) и (х) 5 (х) У (х) Непосредственной проверкой можно показать, что В(О)=Т (О)=(уи(О)=Уи(О)=1, а все другие значения функций и их производных при х=О равны нулю. Посредством функций Крылова решение (1Ч.6.15) для распределения амплитуд изгибных колебаний представим так: 1р (х) = АВ (йх)+ ВТ ()гх) + С() ()гх) + 0 У ()гх).
(17,6,17) Рассмотрим стержень со свободными концами как пример расчета колебаний стержней с различными типами закрепления. Граничные условия для свободного конца стержня при х = О имеют вид гр" = гры = О. Взяв вторую и третью производные от (111.6.17), положив х=О и воспользовавшись граничными условиями при х=О, получим С=0=0. Таким образом, решение будет иметь вид гр(х) =АВ(х)+ВТ(х). (1 11.6.17') Для определения постоянныд А и В следует воспользоваться граничными условиями для коуща о х=!.
Полагая, что этот конец также свободен, получим ф (й!)-ф - (й!1=0. 13З Постоянные А, В, С и 0 определяют на основании граничных условий, Наиболее простым из них соответствуют случаи, когда стержень: а) свободен на краях; б) зажат с одной стороны, свободен с другой; в) зажат с обоих концов; г) опирается с обоих концов; д) опирается с одной стороны и зажат с другой.
Например, если стержень с одной стороны зажат, а с другой свободен, то !р= '=0 при х=О и ф" (!) =!р" (!) при х=!. $ б сли он зажат с обоих концов, то на концах осуществляется равенство нулю как смещения, так и угла прогиба: ф=ф'~0 при х,=О, !р(!)=ф'(!)=О при х=!. Воспользовавшись (1Н,6.17) и граничными условиями для х=1, получим систему однородных уравнений относительно козффициентов А и В; Аи(ы)+вр (ы)=0, Ат(ы)+ви(ы)=о, (1Н.6.
18) Эти уравнения имеют отличные от нуля и независимые решения при условии, что детерминант системы Л= и(ы) н(ы) = !и(ый — р (ы) т (и) =о. т(ы) и(ы) Выражение (1Н.6.19) представляет собой характеристическое уравнение для определения собственных чисел й и частот ы. Его решение имеет множество корней Ггог)=[3„, (т=1, 2, ...). Первые три корня имеют значения; [)г=4,73; [)з = = 7,85; [)з=)1,00. Зная значения корней Р„„можно найти значения допустимых собственных частот. 1!ля (1Н.
614) надо найти в=лак [г — =лесом (со — стержневая ГВо Ро скорость звука для продольных волн, х — радиус инерции площади поперечного- сечения, й — волновое число для изгибных волн). Таким образом, собственные частоты колебаний стержня со свободными концами определяют формулой ш„,=ймсох =сох )з, или )„,= —, с,х. ([Н.6.20) Используя значения корней 6, находим: ~т= (4,73)' — -„-хсо ~в=(7 85) „,з хсо ([Ч б 2!) Формулы ([Н.6.21) показывают, что частоты высших обертонов не кратны основной частоте: 1з (4 78) Гт Гз=(4 78) Гз ° ° ° Гт =) 4 78) гз (!7622) Зная собственные частоты колебаний, можно найти функцию, отвечающую возможным формам колебаний стержня.
Из первого уравнения ([Н.6.18) находим В = — А и ",, так что форма коле- )Г (Ргз) и([)„)' баний и-го обертона определится уравнением грм (х) = А ~3 ~ — х1 — '" Т( — '" к~~, (!Ч.б,23) где т = 1, 2, 3, ... Приравнивая нулю гр(х) и решая полученные уравнения относительно 6 х)1, находим координаты узлов колебаний. Приравнивая нулю гр(х) и решая полученные уравнения, найдем координаты пучностей изгибных колебаний стержня. Так, например, для первых двух мод координаты узлов имеют значения: пт=!; х„=0,2241; х„=(1 — 0,224) 1; т=2; х„=0,1321; х„=0,5001; х„=(1 — О,!32)!.
На рис. [Ч.6.2 схематично показаны распределения узлов и пучностей для первой (т=[) и второй (лт=2) мод. 134 Аналогично рассчитывают и другие частные случаи поперечных колебаний стержней и находят форму этих колебаний. Фазовая скорость о распространения поперечных колебаний вдоль стержня может быть вычислена с помощью формулы (]Ч.6.14): ос 4 Ех' ГЕ о'= —,=й' —, о=й у — х=хс,й. Ра Ро Здесь число й зависит от частоты: Отсюда следует„что о = хс, 1/ —" = )~'с,~с р'о>. ,Вс,„— (]Ч.6. 24) Если принять во внимание влияние вращения, т. е. не отбрасывать в уравнении колебаний стержней член, пропорциональный моменту инерции единицы длины стержня 1„ и, кроме того, учесть 10 0,0 О,б 0,4 0,2 0 04 ОЮ 12 ]б 20 аЯ Рис.
1Н.б.з Рис. 1Н.б.2 155 влияние сдвиговых деформаций, то получим точное выражение для скорости изгибных волн: о2 (]Ч.6.26) 'и' 1+ ]]]и'а/(2аа]]' — 040 где б — поправка на сдвиг, равная р,'уа')(бЕ); у — поправка на равномерность распределения напряжений по всему поперечному сечению; для круглого стержня у=1,1; 6 — модуль сдвига. При низких частотах поправками можно пренебречь, и мы получим приблизительную формулу для вычисления скорости изгибных воли (17.6.24). На рис. 17.6.3 показан график отношения скорости поперечных волн $' в стержне к скорости продольных волн с, в зависимости от отношения радиуса а стержня к длине Л изгибной волны 1Л аУа 2х Ус,х / Кривая 1 построена по приближенной формуле ()У.6.24), кривая 2 — по формуле ((У.6.25) без учета сдвига (6- 0) и кривая 3— по точной формуле ((У.6.25).
На этих графиках ясно выражено то, что при высоких частотах приближенная формула дает завышенные значения скорости изгибных волн. Удовлетворительные результаты получаются только при частотах, соответствующих а1А==- !18. ГЛАВА У ДВУХМЕРНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ $ Хгд. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН Вывод дифференциального уравнения. Мембраной называют материальную поверхность, не имеющую упругости формы. Хорошим примером мембраны является лист бух маги, натянутый на жесткий каркас. Для того чтобы натяжение было равногйг„мерным, перед монтажом необходимо бумагу слегка увлажнить.
После высыхания бумаги получится растянутая во газ х 1 все стороны поверхность, свойства которой очень близки к свойствам идеализированной мембраны. Для вывода дифференциального уравнения мембраны представим себе гн зг ау немного деформированный элемент поверхности по (с поверхностной плотноРис. У.!.! стью р) со сторонами йо и ЙЯ„в состоянии смещения от положения равновесия (рис. У.!.!). На рисунке обозначим силы натяжения Т йо„=Т йх, Тй8„- Тйу.
Проекции этих сил натяжения на ось Я состоят из суммы проекций сил, действующих в плоскости, параллельной г'07, и суммы проекций сил, действующих в плоскости, параллельной ХОЛ. Из геометрических соображений и на основании того, что проекцию каждой силы вычисляют так же, как это было сделано для струны, получим результирующую силу.
На рис. !1.!.! показаны сечения 1 — 1 и 2 — 2. Проекции сил, действующих в сечении 1 — 1, — Тйуз(пя,=йг'„Тйуз(па,=РР„ а в сечении 2 — 2 — Т йх з (и я, = г(Р „Т йх з (и а, = с(г",. В сумме проекций сил йТ„!!Р„йР„с(Т, из-за малости углов синусы можно заменить производными смещений по составляющим координатам, !36 Таким образом, общая сила упругости натяжения, действующая параллельно оси Я, имеет значение На основании законов динамики эта сила создает ускорение, равное д~ч иг" г гдхч д'Ч ~ (7.1.2) дн рихну р ( дх~ дф )' В результате получаем дифференциальное уравнение мембраны в прямоугольной декартовой системе координат: (Ч.1.3) Пользуясь правилами преобразования частных производных функций двух переменных от одной ортогональной системы координат к другой, можно найти выражение (Ч.!.3) в полярной системе координат г = "1 'х'-~.
у', г гр = агс1н (у!х). Однако полезно провести вывод уравнения в по- га1г 'лярной системе координат непосредственно, пользуясь законами механики. Расположим начало полярной системы координат в центре мембраны с круглым краем и допустим, что смещение зависит только от расстояния г до полюса О. Результирующее натяжение, по окружности направленное перпендикулярно плоскости мембраны, находящейся в положении равновесия, равно 2игТ з(п я 2пг 1д а = 2пг зч (7.1.4) Разность напряжений на границах кольца шириной йг составляет — (2пг — -) Тпг и дает результирующую силу упругости, перпендиаг ар~ дг(, Зг ) кулярную плоскости положения равновесия мембраны и действующую на кольцо с площадью 2пгдг и массой рог 2пг (рис.
7.1.2, а). Ускорение, которое получит это кольцо, --(2аг — т~ лг -д(г — 1) ди 2пг Лгр р г или (Ъ'.1.5) 137 Выражение (Ч.1.5) представляет собой уравнение свободных колебаний мембраны в полярных координатах для случая, когда смещение не зависит от полярного угла гр. Если смещение Ч зависит, кроме того, от полярного угла, то необходимо рассматривать действие сил на квазипрямоугольный участок мембраны, ограниченнгяй двумя окружностями и двумя радиусами.
Стороны этого элемента поверхности равны г(г и гдгр=г(о (рис. Ч.!.2, б). Напряжения на криволинейных сторонах дают результирующую силу, параллельную Я в (Тг(Я ~ ) = ~ ~((Тгдгг) — "]Й. Результирующая сила, действующая на прямолинейные стороны, — ( Т Йг — ) Н грг — — ( Т Й вЂ” ~ г(гр. Сумма этих сил создает ускорение элемента поверхности (Ч.1.6) Выражения (Ч.1.3) и (Ч.1.6) представляют собой волновые урав- нения мембраны, записанные в прямоугольной ХОУ' и полярной ггог системах координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
