Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 23
Текст из файла (страница 23)
' ~=+ ()Й+б), 1ат, ! ' '1 )2ат, 1 Для выяснения физического смысла А=а)/тгсг и б= —" ,1/ сс исследуем только частное решение, соответствующее В =0: ле л .." Пл+ал Из двух знаков сохраним тот, который отвечает 1меньшению фазы с ростом х, т. е. нижний: л — Лл -Мл х=Ае е Если учесть, что $ — амплитуда скорости гармонических колеба- ний равна $ (х, 1) =~ле'", то или (1Ч.4.5) 116 1 .— ал /1аг-лл) $(х, 1) =Ае 'сох(а1 — йх). Уравнение (1Ч.4.5) представляет собой выражение волнового процесса с убывающей амплитудой Ае — о' (6 — постоянная затухания— физическая величина, обратная расстоянию, для которого амплитуда бегущей волны уменьшается в е раз).
Величину в1 — )ох=ср называют фазой. Фаза изменяется с течением времени 1 и зависит от координаты х. Координаты постоянной фазы (фронт волны) распространяются с фазовой скоростью в со = —. я' Величину в 2я 2п й= — = — -=— со 7'со х называют волновым числом. Постоянная затухания и волновое число определяют параметрами стержня по следующим формулам: со= — = о1/ — ° р (1Ч.4.9) Постоянную затухания 6 можно выразить через фазовую скорость: где г,— сопротивление на единицу массы стержня.
Постоянные А и В можно определить из следующих краевых условий при х=О, $(0) =$„, Р„,=Го. Подставляя в решение (1Ч.4.3) х=О, получаем $о= А+В. (1Н.4. 11) (1Ч.4. 11') где Г)~((вс1) = со — волновое сопротивление стержня. Учитывая Г, с„т, и г„получаем для волнового сопротивления стержня Р~)вс, (о+/вт,) 1/ т, (1 /вс, У сс ( 2втс ' го=Вр1à — (1 1 " ~ = Ярсо (1 — 1 — "1, (1Ч,4„12) Г р 1 2втд 1 2в/'' где г, = г,1,'и — вязкое сопротивление единицы массы стержня; с, =Р Е(р — фазовая скорость звука. 117 Отсюда фазовая скорость волн растяжения Так как — Р = — —. = —. (Аег" — Ве-"'), то ~$1 Г вх гвсс 1'вс1 — Р„(х=О) = +Ро= —.(А — В), 1вс, илн, если учесть значения т, и с„, (1Ч.4.6) (1Ч.4.7) С учетом (!Ч.4.12) получаем из (1Ч.4.11) и (1Ч.4.1!') систему уравнений для определения постоянных А и В: $„=А+В, В„!го=А — В (1Ч.4.13) Решая эти уравнения, находим: А =.,'(»„+ — "н), В= —,1 (»„Р").
Окончательное выражение для амплитуды скорости имеет вид $(х) ~» +" ) егх+ ($ ) е — гх (1Ч 4 15) Воспользовавшись гиперболическими функциями сн (1'х) — ~егк+ е — Гх) 1 / 2 ~ З(З (1'Х) ( ЕГх Š— Гк) 1 ! формулу. (1Ч.4.!5) легко привести к виду $(Х) =$цСП(ГХ)+(Гн/го) ЗП(ГХ), (1Ч.4.
16) Точно так же можно получить формулу для распределения амплитуд напряжения: Г (х) = —, ~ — — г„сй (Гх)+ гДн й(з (Гх). (1Ч.4,17) Зная распределение напряжений и скоростей вдоль стержня, найдем механический импеданс в любом сечении стержня: Гц сй (Гх) + ге зЬ (Гх) »сь (Гх)+гц ! гезу (Гх) Для удобства расчетов формулу (1Ч.4.18) приведем к виду (1Н.4.19) 1+гн(Ь(гх) ' где г' (х) = г (х) / г„г„' = гц (х) / г,. Для входного сопротивления надо положить х=1: г„'+ Ш (Г!) гнх +г ш(ГВ (1Ч.4.20) (1Ч.4.14) (1Ч.4. ! 8) (1Ч.4.21) где г,'„(х) = г,„(х)/(рс„В). Примеры расчета колебаний стержней при различных нагрузках.
Стержневые системы употребляют в ультразвуковой технике в качестве волноволов, т. е. устройств, с помощью которых колебавня злектромеханическога преобразователи 118 В- стержнях без потерь 6=0; так как ГпГ(=!)1!И=)!Нй(, то формула входного сопротивления имеет вид гн+! 10 ~! гнх — 1+ Рис. 1Н.4.1 й„,г 2т —, и 2' й, = 2т —, (1Н.4.23) 2! ' Рбх илн 1 — — — т (па=! 2 3, ), йв 2 В этом случае в длине стержня укладывается целое число полуволн. Для частот согласно (1Н 4.23) выполняются следующие соотношения: вв = твх, вх пс!!.
(1Ч.4.24) Эти формулы выражают допустимые волновые числа и собственные частоты. Когда т=1, имеем основную частоту. Другие значения т дают частоты высших порядков. Формула (!Ч.4. 24) показывает, что любая частота кратна основной: вм =шв,, в, = па!1. (1Ч.4.25) В случае резонанса свободного стержня импедаисы на его концах равны нулю. Это значит, чго равны нулю силы (Ра= Раз О).
Из этого видно, что собственнйе колебания 'свободного стержня характерны тем, что напряжения на обоих краях стержня образуют узлы, а скорости — пучности. Различные моды колебаний стержня изображены на рис. !Ч.4,2, причем положительные ординаты соответствуют фазам сжатия, отрицательные — растяжения. что ненагруженный стержень имеет основной тон са и длину 1, ивам можно определить фазовую скорость звука в материале мбх 6х 96х Рбх ба ба Рис. 1Н.4.2 Если известно .то по этим велич стержня: са=— вх вх! (1Н.4.26) и В том случае, когда стержень имеет заметные потери, построив резонансную кривую стержня, можно получить значение удельных потерь в нем по формулам: га во ва 6= — = —, ха 2~2' вь' где вэ — ширина резонансной кривой на уровне )'212.
П9 передаются в технологический объект. Это необходимо, когда физические свойства среды не допускают непосредственного контакта с преобразователем. Практически трудно бывает учесть характер нагрузки, поэтому приходится принимать определенные допущения, Рассмотрим основные предельные случаи нагрузки. 1. Стержень, нагруженный на нулевое сопротивление. Это значит, что Ра(за=О, т. Е. у рабОЧЕГО КОНца НаПряжЕНИЕ раВНО НУЛЮ. ТаКОй СЛуЧай рЕаЛИ- зуется, когда конец сгержня свободен.
Конечно, в этом случае он не является передаточным звеном. Изучение колебаний свободного стержня (за=О) интересно только с точки зрения исследования свойств материала, из которого этот стержень выполнен. На основании (!Ч.4.21) при г„'=О .(рнс. !Ч 4.1) еах l !я й( (1Ч.4 22) р ва 36, В этом случае входное сопротивление †мним величина. Из курса электротехнини известно, что система попадает в резонанс напряжения, когда мнимая часть импеданса обращается в нуль. Поэтому условием резонанса стержня будет равенсгво нулю мнимой части входного механического сопротивления.
Из (!Ч.4,22) следует 13й(=О, от- куда хвх 1 с(й И' (! Н.4. 29) Таким образом, в данном случае зто сопротивление имеет также чисто реактлвный характер. Поэтому при резонансе оно полностью должно обращаться о нуль; рви г — ви О вх Рсг5 ьвх т. е. Рви=О. Это значит, что напряжение на входе равно нулю, т. е. у входа реализуется узел напряжений.
Напряжение у ~агрузки по (1Н.4.29) не равно ну.тю, т. е. у нагрузки образуется пучиость напряжения (рис. 1Н.4.3). Лля определения собственных частот надо решить уравнение с!8 И=О. (1Н.4.30) ух Очевидно, )гю! =(2т+!) и!2, или Дт= и, (1Н.4.31) 2т+! и ьйх или 1 — = — (2 +1) (т=О, 1, 2, ...). й 4 (! Н.4.32) Рис. 1Н.4.3 Иначе говоря, когда стержень нагружен на бесконечно большое сопротивление, при резонансных частотах на длине стержня укладывается нечетное число четвертей волны.
Типичным примером такого случая является четвертьволновый стакан, используемый для крепления колеблющихся стержней. 3. Стержень, нагруженный на массу. Результаты этого примера могут быть использованы для вычисления поправки к собственной частоте стержня, к которому присоединены накладки. Допустим, что к концу стержня припаяна нзкладка, масса которой т (рис. 1Н.4.4 а). Эта масса эквивалентна инерционной нагрузке г„=гют. Таким образом, приведенное сопротивление нагрузки гв (1Н.4.33) рсь5 ' Входное сопротивление данного стержня определяют по формуле 1' — +1'18И ют гвх !эсв5 ! — — 18 И Рсв5 или . ют+рсв518 И рсг5 — ют 1я И (1Н.4.34) 120 Таким образом, удельный коэффициент сопротивления стергкия равен ьил юн ГЕ гг= Св= ~гг 2 2 гг р' (1Н.4.27) 2. Стержень, нагруженньгй на неподвижную абсолютно жесткую опору.
В этом случае амплитуда колебательной скорости у нагруженного конца равна нулю, а напряжение отлично от нуля. Поэтому приведенное сопротивление нагрузки (1Н.4.28) Подставляя это значение в формулу для входного сопротивления (1Н.4.28), получаем входное сопротивление стержня, нагруженного на неподвижную абсолютно жесткую опору: т. е. — +18 М = О. ()Ч.4.35) рео5 Тзк как У=в(е„то уравнение (1Ч.4.35) можно записать в виде !й — 1= — — —, 5) ео ео Р5 или пг !да= — а — —, М ' (1Ч.4.36) Рис.
1Ч.4.4 где а=вПг,; М=руу — масса стержня. Приближенное решение, достаточное в инженерной практике, легко получить графическим методом. Для этого строят графики функций т уз =10 а уз= — ив (1Ч.4.37) и находят абсциссы точек пересечения этих кривых (рис. !Ч.4.5, а, б). Как видно из этого рисунка, присоединение массы к данному стержню сдвигает резонансные частоты в сторону их уменьшения.
Точками обозначены значения а в случае свободного стержня, крестиками — в случае стержня этой же у длины, но нагруженного на массу т. гго --ул (у уЛ 4. Стержень, нагруженный на упругое отротиеление. Упругое сопротивление выражается формулой й-) ' ---- ('У Уу е'=— уь сор5 )ве ' где ео — скорость звука в стержне; е †гибкос нагрузки. Поэтому входное сопротивление имеет вид , 11(рсо5ве) — 1д 41 1+ !д й(1(рео5вг) ' В этом случае оно реактивно и поэтому при резонансе обращаетсн в Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
