Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для решения волнового уравнения применяют обычно два метода: замены переменных (метод Даламбера) и разделения переменных. Первый удобен для неограниченной среды, второй — для ограничен- ной. В данном случае удобно пользоваться вторым методом. Колебания прямоугольной мембраны. Пусть мембрана натянута на прямоугольном каркасе со сторонами а и Ь. Краевые и начальные условия формулируются следующими соотношениями: т) (х, у, () = 0 при 0-= х -=.
а, О ( у ==-. Ь, т)(х У () г=аг а(х У) эг-, =о(х У). ач Для изучения колебаний прямоугольной мембраны прибегают к уравнению в прямоугольных координатах (Ч.!.3). Постановка задачи состоит в том, что надо найти все функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (Ч.!.3), граничным и начальным условиям (Ч.1.7) и (Ч.1.8). Ограничим частные решения условием, что они должны быть гармоничными функциями времени: т) =Я(х, у) е~"', Л(х, у) =Х(х) У(у). (Ч.1.9) Подставляя это решение в волновое уравнение, получаем 13а ! ать 1 аау мт — — + — — + — =О, Х дтт у аут гт (Ч,1.10) или 1 стХ отт ! ст»с Х схт с' »' ду~ ' (Ч.!.11) где с' = Т) р — действительное положительное число.
В левой части уравнения (»Г.!.11) стоит функция Х, в правой — »'. Так как эти функции равны одна другой, то они будут равны и общему постоянному числу. Отсюда получаем: 1 дт»' стт 1 т»тХ вЂ” — + — — — й'=О, — — = — й', Р аут + сз ' Х с»х' (»Г.1.! 2) или — +1 — - — йт' У = О, — + й'Х = О.
аут ! с' ( ' Ю' (Ч.1.13) Эти уравнения имеют решения в виде гармонических функций от координат: Г/мт 1!!2 У'=А,соз[! —, — й') у — ср„1, Х=А,соз(ях — ~р„). Частное решение волнового уравнения имеет вид. т»(х, у, !) =А соз(ях — ~р ) соз [( —, — й') у — ~р„~ ет '. (»Г.1.14) т» = А з!и йх зйп ф —,, ) — й'~ у~ ет"'. Вторая пара (Ч = О при х=а и у=Ь) определяет допустимые волновые, числа и допустимые частоты.
При х=а имеем т» = А з!и йа з1п ([(" —,,) — й'~ у~ соз (ат! — ~рт) = О. Это уравнение возможно для любых у и ! при условии з!и йа= О. Отсюда следует а ' (»Г.1. 15) При у=Ь т» = О = А з! и — '- х ейп ф — ) — ( — ) ~ Ь~ соз (с»! — тут) т. е. зйп Я(сс!с)' — (тра)т1ц'Ь) =О, [(вас)' — (тита)'!нз= —. В результате допустимые числа й„определяются выражениями (»Г,1.16) 1Зз Первая пара граничных условий (т»=О при х=О и у=О) дает возможность определить постоянные ~р„и с»т„: ср„= и~2, Ч, = и!2, Подставляя их в (»Г.!.14), получим (пт, и= 1, 2, 3, ...), а частоты та пч~, ГпР Ф (У.1.17) Таким образом, с учетом граничных условий частные решения волнового уравнения мембраны представимы в виде т1=А в(п — "хв(п — "усов(ю„„( — ср „), (Ч.1.18) или, обозначая А СОЗЬРма = Вмч, А З1П СРмя = Смя~ получаем т1 „ = з(п з(п У 1В „ сов ю „1+ С„„ в)п вт„„11.
(Ъ'.1.19) Здесь, как и в случае решения задач о колебаниях струны, остаются пока неопределенными постоянные В„„и С„„. Их находят из начальных условий. Однако, прежде чем рассматривать этот вопрос, обратим свое внимание на возможные формы колебаний мембраны. Для анализа вида колебаний частные решения удобно представить следующим образом: Ч .=ф „А „соз(ет„„( — ср„„), ((г.1.20) где тлх . Ллу тр „=з(п — з(ив а (Ч.1.21) т=с п=1 тЕ, п=т т=б п=у' т=г, ЛГ2 и . У.1.З Функции ф „называют фундаментальными функциями задачи. Каждому зйачению пары чисел т и и соответствует своя фундаментальная функция, которая дает математическое описание формы колебаний мембраны.
Например, для пь л=!,1; 1,2; 2,1 и 2,2 лх . лу . лх 2лу фы = а!п — а!п —, ф,а= а1п — а1п —, а Ь' 'а а 2лх . лу . 2лх . 2лу фа1 = Б!п — а1п —, чрев = яп — а!п— и Ь ' " а Эти формы колебаний представлены иа рис. ЧГКЗ. 140 Общее решение уравнения мембраны состоит из суммы частных решений: т)= '~' ~х~~ Ч;„п(х, у)(В псозш и(+С пзшю „().
(Н.1.22) м = ! и =! о (х У) = ~ ~ гегллСпгпфтл (х У). (Н.1.25) т= ! л Используя свойство ортогональности фундаментальных функций аЬ т'=т, аь — при 1) фтп, (х, у) зР п(х, у) ихду= ве пуи л.~о (Н.!.26) легко полУчить соотношениЯ дла вычислениЯ коэффициентов Втп и Смп. ДлЯ этой цели умножим правую и левую части рядов (Н.!.24) н (Н.1.25) на ф„,.л,дхду и проинтегрируем по х и у от О до о и от О до Ь. Вследствие условия ортогонально.
сти в правой части будет отличаться от нуля только тот интеграл, у которого ин. дексы фундаментальных функций совпадают, т. е. оЬ у) дх ду Выл 4 ~ ~ и (х, у) ф и (х, о о а Ь ~ о (х, у) ф „ (х, у) о е Тогда для вычисления коэффициентов а Ь 4 Г Г 4 В „= — 1 1 и(х, у) фтп(х, у) Улду=в аЬ,),) аЬ оЬ дх ду ытл 4 С имеем: а Ь тпх, лян ~ и(х, у) мп — з!п . дхде, а Ь и а (Н.!.27) а Ь а Ь 4 Г Г 4 Г Г, тпх тпу С = 1 1 е(х, у)ф даду= — 1 о(х, у) мп — з!п — дхду.
тл ы аЬ д д ' тл га оЬ д ' о Ь е а Колебания круглой мембраны. Если мембрана натянута на круглом каркасе, то задачу о ее поперечном колебании удобно решать в полярных координатах. Пусть уравнение мембраны (1Н,1.6) имеет начальные условия т)(г, гр),г е=и(г, !р), — '1 й о(г, гр).
(Н.1.28) 141 Постоянные В и и С „определяют по начальным условиям. допустим, даны начальные смепсенйе и скорость: Ч(х, у, <)., =и(х, у), ' ' =о(х, у). <Н.1.23) дп(х, у, Г) д< <г-о Их можно разложить в двойной ряд Фурье по фундамевтальным функциям: У)= ~ ~ Втлфт,п(х У) (Н.1,24) т =!п= ! Если положить частное решение в виде гармонической функции времени Ч = Ь (г, р) ег"', то уравнение мембраны преобразуется в уравнение Гельмгольца относительно функции ь(г, гр): д'4 1 дг 1 д1с днр г дг Ирдяз — + — — + — — + й'ь=О. Функция Ь(г, ~р) — периодическая относительно угла ~р с периодом 2п.
Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье: (Ч,1,29) 1 = Й4+,У, (Р„соз лир+ Я з(п т~р). (7,1.30) т= ~ В результате подстановки этого ряда в уравнение (Ч.!.29) можно убедиться, что каждый член ряда удовлетворяет данному уравнению и является частным решением этого уравнения. Подставляя частное решение ь =)г„созтгр, ( т'.1.31) получаем для функции Й„(г) д2Я 1,Я Г ~21 ( 1(.1. 32) Считая, что г=г)й, уравнение (1г.1.3!) приведем к уравнению Бесселя и-го порядка: Решениями его являются функции Бесселя и Неймана т-го порядка. Функция Неймана при а=О обращается в — со, поэтому она не отвечает физическим условиям и в дальнейшем не используется.
Частное решение уравнения (Ч.1.32) представим только через функцию Бесселя: Р (г)=А . (г)=А ч (йг), (7.1. 32') г 1 г2 м 2тт( ( 2 (2т+2) ' 2 4 (2т+2) (2т-(-4) гб 2. 4. 6 (2т+ 2) (2т+ 4) (2т+ 6) 142 Таким образом, частное решение имеет вид (,) =А е (йг) созтгр (т=О, 1, 2, ...). Если в качестве частного решения выбрать ~„1м —— Я з(п игр и определить, как и ранее, амплитуды 5„(йг), то мы убедимся, что они выражаются также функциями Бесселя и-го порядка: 5 =В„о „(йг) (т= 1, 2, 3, ...).
В итоге частное решение уравнения Гельмгольца имеет вид =а „(кг)(А созтрр+В з(птгр) (т=О, 1, 2, ...). На границе йг= !за, ~(г, ф) =О, поэтому уравнению удовлетворяют только те значения й, для которых 7 (йа)=0. Решения этих уравнений: й„„а=яр „, й „= просо а где с ~~щл~ оз„„=)з с='— . о Таким образом, частное решение колебаний мембраны можно представить в виде Птп (г~ ф 1) =сросл (Г ф) соэ (о!о!о(+посл) = =ф „(с, ср) ~а „соз('-~и — "1) 1- босо з1п( ~~" 1)], (Ч.1.33) где ср „(г, ф) =оУ (й „г) . =о7 (п~„„— ) Найдем узловые линии на поверхности мембраны, соответствующие тп-й моде колебаний. С этой целью достаточно решить уравнение ср„„ =0 относительно г и ф, т.
е. уравнение ( он с) созтр где верхняя строчка относится к симметричным модам (с), а нижняя к несимметричным (н). Уравнения (Ъ'.4.13) распадаются на трн группы: о7 (про!„гса) = О, соз спср = О, э(птср= О, где гп = О, 1, 2,... Корни первой группы уравнений (т = О, 1, 2,... и и = 1, 2, 3,...) позволяют вычислить радиусы узловых окружностей: пр „г оса = = пр „ откуда г !=а — ', !по! сссол (Ъ'. 1. 37) где корни должны удовлетворять неравенству р„с~р „. Очевидно, радиус г „=р „аср „=а при !=а. Если подсчитать все узловые окружности, то получим для числа узловых окружностей тп-и моды и — 1.
Таким образом, число узловых окружностей тп-й моды колебаний мембраны не зависит от числа т и равно п — 1. 143 ()о! = 0.7655 ()м — — 1,2197; (1„= 1,6348; Собственным волновым частоты: йоз = 1,7571; ()зз = 2,2331; Рзз =2,6792; числам )з „ ()оз = 2,7546' рсз = 3,2383' ~ з=3,6988 соответствуют собственные Корни уравнений (Н.1.35) и (Н.!.36) позволяют вычислить зна- чениЯ Углов «Р«н ьо и ф ~ 1»1, дла котоРых обРазУютсЯ Узловые радиусы: 'Рт~ = (Н.!.38) где 1= 21 — ! для н-мод и 1= 21 для с-мод. Отсюда следует, что число узловых диаметров равно т. На рис. Н.1.4 изображены формы колебаний круглой мембраны, отвечающие следующим функциям: Фо« = с о (лйо«»/а)' фо» =- о о (л()мг/а)' фп = о «(л(1пг/а) соз ф! фм пт» , (л(),» — г/а) Соз ф. Знаки «+» и « — » показывают направления отклонения плоскости участков мембраны. Линии»м, гго ф„ф, — места, где смещение мембраны равно нулю (узловые линии).
н-г,г („) 9,'=д»/г » з/гл Рис. Ч.1.4 т=ол=о 144 Общее решение поперечных колебаний круглой мембраны может быть найдено, если воспользоваться начальными условиями (Н.!.28) и свойством ортогональности фундаментальных функций круглой мембраны: 2п О при и~й, ~ фтл(» ф) Фт«(» ф)» О(Г О(ф=~ " ( ( и и))о о о ~ ет — ' Л „)' Прн ипп где фтл (г', ф) = о (л() „г') соз пф, ф «(г', ср) = с (ли „г') соз /«ф, 11 при тФО, г'= —, е =1 и ' 12 при т=О.
Эти формулы выводят с учетом условий ортогональности три- гонометрических функций и функций Бесселя т-го порядка (см. прил.! Общее решение уравнения круглой мембраны для симметричных мод может быть выражено функциями смещения Ч1„(г, ф, 1) и скорости дт11,1/дй »11.1 = ~,У, фтл (», ф) (Стл СОЗ О»т«1+ Рпп З 1П О»тп/) т =от =о — фтл (» ф) «Отп (Отп СОЗ О»тл(+ бтл ЗН1 «Отл/)' Совмещая его с начальными условиями <)а<с-о=и(г, <р), ~" =п(г, <р), (Ч.1.39) получим и (г, <р) =,У, <р л (г, <р) С„л, л<, л п(г, <р) = ~<о л<р„л(г, <р)Р„„. а<, л (Ч.1.40) Умножим каждое из равенств (Ч.1.40) на <р о(г, <р)г<(гс(<р и проинтегрируем правую и левую части в пределах от 0 до а и от 0 до 2п.
В результате использования свойства ортогональности функций <р „и <р о получим из первого равенства са а 2л ~ ~ и(г, <р)<р о(г, <р) г<(го(<р= л=оо о са а а 2л С„„~ ~ <р л(г, <р) <р„о(г, <р) гс(гс(<р= л<=ол=< о о е С „'— [оу' (пй л)]2, (Ч,1,41) Следовательно, с„.= ., ( ] <..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
