Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Величину, которая однозначно определяет отклонение функции от среднего значения, называют фазой, а геометрическое место точек равной фазы— фронтом волны. В зависимости от формы поверхности равной фазы волны разделяют на плоские, цилиндрические, сферические и др. Пусть и = 1,. Тогда для момента времени 1 получим уравнение фронта волны х = с (1 — 1и), (И .2. 4) которое представляет собой уравнение плоскости, параллельной УОЯ и отстоя- Рис.
Н1.2,! щей от начала прямоугольной системы координат на расстоянии с(1 — 1,). Для текущего времени 1 фронт волны перемещается вдоль оси Х со скоростью с, Для записи уравнения фронта волны в форме, не зависимой от системы координат, используют векторные уравнения поверхностей. В частности, для плоской волны — уравнение плоскости в векторной форме. Пусть конец радиуса вектора г соответствует произвольной точке плоского фронта волны, распространяющейся вдоль оси ОХ (рис. И.2.1).
Обозначим и единичную нормаль плоского фронта в направлении распространения. Тогда расстояние х от начала О до фронта волны в момент времени 1 определится проекцией вектора г на направление нормали и, т. е. скалярным произведением векторов г и п. Следовательно, уравнение фазовой плоскости примет вид (гп) = = с(1 — 1,), а фаза волны получит выражение, не зависимое от системы координат: гп с ' (И.2.5) 163 Пользуясь этой записью фазы, нетрудно получить формулу плоской волны, распространяющейся в любом направлении относительно выбранной прямоугольной системы координат.
Для этого достаточно записать скалярное произведение (гп) в компонентах относительно системы Хг'Е. Следовательно, (гп) есть расстояние от начала координат до плоского фронта волны. Цилиндрические волны. Для описания таких волн удобно пользоваться цилиндрической системой координат. Предположим, что потенциал скорости Ф не зависит от координаты г и является функцией полярного вектора г, угла гр и времени й Тогда волновое уравнение будет совпадать с волновым уравнением мембраны 1см. (Ъ',1.б)): 2 с = —, Р2Н2 Для частного случая, когда потенциал не зависит от угла р, уравнение (И.2.6) принимает вид д2Ф 1 д дФ! —, — с'~ — ( — г — )1=0. (И.2.7) Для получения решения уравнения (И.2.7) преобразуем его к функции 0=3» гФ и найдем д2и, д2и — — с' — = О. дг2 д»2 Одно из частных решений этого уравнения имеет вид У (г, !) = ) (! — г!с).
Отсюда следует выражение для функции Ф(г, !): Ф(г, 1) ==! (! — г/с). ! )» (И.2.8) Поверхность равной фазы в этом случае удовлетворяет уравнению 21,=! — г!с, илн г=с(! — 2!2), и представляет собой цилиндрическую поверхность с круговым сечением, ось которой совпадает с осью л (рис. И.2.2), а радиус г растет пропорционально времени.
В отличие от плоской волны функция Ф в данном случае обратно пропорциональна корню квадратному нз расстояния г. Сферические волны. Если потенциал скорости является функцией трех координат и времени, то волновое уравнение имеет внд д'Ф /ФФ д2Ф д2Ф ! У нли в сферической системе координат ! В частности, когда функция не зависит от угловых координат, (И.2.11) Нетрудно показать, что после замены функции Ф(», 1) выражением У(г, 1)7» из (И,2.11) получается уравнение д2и ! д2и — — — — =О. д!2 Рор2 дг' Его частное решение: () =1(г — т~с) Ф (т, 1) = —,) (1 — г1~с), (У!,2.12) 1 Г! т где с = "1т —, ч, = 1 — —, — фаза. =~/ р о= Тогда уравнение для волнового фронта т=с(1 — Чо) (Ъ'1.2.13) 3то уравнение сферической поверхности, радиус которой увели- чивается пропорционально времени й Таким образом, потенциал Ф представляет собой сферическую волну, распространяющуюся со ско- ростью с=)/14рК,.).
Значение потенциала уменьшается обратно про- порционально расстоянию т. Любую периодическую волну можно представить в виде совокуп- ности синусоидальных волн с помощью рядов Фурье. Разложение волновой функции в ряд Фурье. Если волновая функ- ция плоских волн Ф =)(Ч) =1(1 — х!с) имеет период Т и 1(Ч) =1(Ч+ Т), то ее можно разложить в ряд по гармоническим функциям: О(*, ~)=!(О)- — '-О(~ А ~4-Н ~ ~), \ОЕ2АГ! (т= ! т т где А.=т ~1(ч)(ч' А =т ~1(ч)соз —,'и (ч1 о о т В.= — ~ Г(Ч) 1 — ''"" (Ч; Ч=( в — ". Ђ ' о Обозначив периоды гармонических составляющих разложения (Ъ'1.2.14) Т)т = Т„, получим для гармонической составляющей перио- дического волнового процесса выражение А соз — (1 — —,)=А соз(оо 1 — й х), 2л 2л 2л где оо = —; л = —,=„—; Х вЂ” длина волны, соответствующая гар- Т ' о! 7 Х~' и монической составляющей периодического волнового процесса.
Часто ряд Фурье записывают в следующем виде: Ф(х, 1)= 2 + ч асов(о!биЧ вЂ” со~)= '!о ~п=! = — '+ ~~ (А~созе! Ч+В„з(по! Ч), (Ъ'1,2.15) т=! т где а„, = У А' + Во; А „= — ~ ~ (Ч) соз —," !1Ч; о т В = ) !" (Ч) з1п т с(Ч' асс л!л Т ' о! А,„' При анализе волновых процессов иногда удобно использовать представление гармонической функции с помощью комплексной функции действительного аргумента: а соз(гь 1 — й„х — ~р )=пиеа е'1" ' ~ '), (ч1.2.16) ГдЕ а = а Е гтм, Х = (ПГ). При этом все линейные операции с тригонометрическими функциями заменяют на те же операции с функциями комплексными, как это принято в теории колебаний. Гармонические волны являются наиболее простым частным случаем периодических волн.
Для плоских гармонических волн, распространяющихся в сторону положительного направления координатной оси Х. потенциал скорости может быть записан комплексной функцией Ф = Аег1"'-'"1. Воспользуемся формулами для функций волнового поля (ч'1.1.1б) и получим: Таа1 рсз1„Ф 7 О" )ыФ ср дФ . дФ о — $ — — — )йФ, Р— Ро — — 1гьФ к вх ' вг $= — Ф. 1 с (Ч1.2. 17) Отношение давления р к колебательной скорости о, называют удельным волновым сопротивлением. Для плоской волны эта величина выражается формулой ео = ° = Рьс. Р $ Ао Пы л1 рг 166 Отсюда получают следующий вывод: в плоской звуковой волне избыточное давление и колебательная скорость совпадают по фазе, но опережают фазу смещения частиц на 90'.
Это значит, что в тот момент времени, когда в данном месте жидкости наступит максимальное избыточное давление, частицы среды имеют наибольшую скорость, причем направление скорости совпадает с направлением распространения звука. Смещения частиц в этом месте равны нулю, т. е.
частицы среды в местах наибольшего давления проходят через положение равновесия в направлении распространения волны с максимальной скоростью. В тот момент времени, когда в каком-либо месте среды волна вызовет наибольшее уменьшение давления, частицы среды будут проходить положение равновесия с максимальной колебательной скоростью, но только в направлении, противоположном направлению распространения звука.
Что касается цилиндрической волны, то для нее потенциал скорости имеет вид Соответственно этому ее колебательная скорость дг (1 2 ) (1 2 ) давление Р = )ооРоФ. Удельное волновое сопротивление для цилиндрической волны является комплексной функцией расстояния и волнового числа: 1 р р,с рос -l Моо„ с, 1+/Д21сг) )г1.) 11112ог)о! При йг- сс сдвиг фаз между давлением и скоростью стремится ! 1 к нулю 1 — -о- 0), поэтому г„-о р,с и цилиндрическую волну на больших расстояниях можно считать плоской.
Для сферической волны (Ф= — ег1""-"'1) также не имеет места Ао г совпадение фаз давления р и колебательной скорости р,: )горФ моРоло енаг ог+оПо> (У!.2.18) г р,= — — „' Ф=)й(1+ —.,')Ф=й'(1+,—,',)е -'-"+' --> <У1.2.10) 1д сс = — 1/(Ь ). Тогда удельное волновое сопротивление для сферической волны выражают комплексной функцией ро о, 1+111аоР) ( +г 'сг)' модуль которой рос , а фаза агой —. Это значит, что в сфе- 1 )Г1+1ДОого) ' ьг' рической волне колебательная скорость отстает по фазе от давления на угол, тангенс которого 14гсг). При увеличении гсг-о-со сдвиг фаз между колебательной скоростью и давлением стремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
