Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, плоская гармоническая волна может быть представлена в виде р = р,е-™ сов (аг — Ах), (Ч!.4.5) или комплексной функцией р р е-ахала-Ах) (Ч1А.6) которую можно записать в виде формулы плоской волны с комплексным волновым числом Й р = р,е"""-'"' (Ч1.4.7) где Й = /г — рх = А (1+ а',ЧР) е-уч = а (1+ а'с'/а') е-~ч/с; !и ~р = — а7й= = — ис/а. Поскольку потенциал скорости гармонической волны связан с давлением соотношением Ф =рЧ(/ар,), можно записать формулу для потенциала скорости волн с учетом затухания в виде Ф = Ф,е" '-""'. (Ч!.4.8) Разумеется, функции (Ч1.4.7) и (Ч1.4.8) удовлетворяют волновому уравнению, только в нем появится комплексный коэффициент с'. (Ч1.4.9) Естественно, это относится также к двухмерным и трехмерным волнам.
Для описания затухающих волн в пространстве можно использовать уравнения типа (Ч1.4.9) в виде аз Ф УФ=0 (Ч1.4. 1О) где Е =17()О=Е'+!Е" — комплексный модуль упругости. Этому уравнению удовлетворяет функция (Ч1.4.8) при условии, что Е <дз ма р~ й' (ь — рх)' или (Ч1.4. 11) а ч/ (т — !)роа' с )' 2ч'Е' а=1~ (~+ )",' (ср= Е"7Е'), 1' 2~р'Е' (Ч1.4. 12) !24 где Й=арл Уравнение (Ч1,4.11) можно решить относительно волнового числа а/с и коэффициента поглощения а или в зависимости от поставленной задачи относительно действительной Е' и мнимой Е" частей комплексного модуля упругости. В первом случае получается: во втором: (1!а — сса) Раааа 2а(аРаааа (аа 1 аа)а ' (аа аа)а' Заменяя й его выражением через фазовую скорость распространения звука Й=са/с, получаем: Е, (1 — а с 7а' ) Рас Е 2расаас(и (!71 4 13) (1 + асса/саа)а ' [1+ (ас)аа)а)а ' Из этих формул следует, что, измеряя скорость с распространения упругой волны и коэффициент затухания а, можно вычислить комплексный модуль упругости.
При малом затухании (и'са)саа< 1) выражения (а71.4.13) можно упростить: Е' Р,с', Е' 2расаас/сс. (Ч1.4. 14) г) = Е' = "' а' Е" 2аа 2а 2са ' (Ч1.4.15) Это соотношение полезно применять для вычислений акустических параметров. жидкости при малых затуханиях. $ аа.з. СКОРОСТЬ ЗВУКА В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ Скорость звука в газах. Для вычисления скорости распространения упругих волн можно применить формулу 1 са=— Рара (171.5.1) где (),— адиабатическая сжимаемость жидкости или газа. Если учесть определение коэффициента адиабатической сжимае- мости (а71.5.2) где о=17р — удельный объем, то формулу скорости (171.4.1) можно связать с уравнением состояния р(р, Т).
С этой целью воспользуемся соотношением между адиабатической и изотермической сжимаемостями (аг!.2.3): (),=с,)сррг. Заменим удельный объем через плотность р и после подстановки формулы (Ч1.5.1) получим '=:. (~Р). (171.5. 3) 175 Иногда требуется вычислить акустические величины (скорость с и коэффициент поглощения а) по измеренным значениям действительной и мнимой частей комплексного модуля упругости. В этом случае можно пользоваться формулами (Ч1.4,13).
Нетрудно показать, что отношение действительной части модуля упругости к мнимой его части равно добротности колебательной системы: Для вычисления скорости звука по этой формуле необходимо иметь уравнение состояния ве~цества, т. е. функциональную зависимость между давлением, плотностью и температурой. Опыт показывает, что газы и пары при низком давлении и достаточно высокой температуре подчиняются уравнению состояния Менделеева — Клапейрона: йТ р=о —, и (Ч1.5.4) где р — плотность газа; )х = 8,3 Дж((моль К) — молярная газовая постоянная; Т вЂ” температура; р — молярная масса, кг!моль.
Пользуясь формулой (Ч!.5.3) и уравнением состояния газа (Ч1.5.4), нетрудно получить для скорости звука в идеальном газе выражение гв ~/~Р Р (Ч1.5.5) Эта формула содержит давление р и плотность р как функции температуры. Как известно, рlр = (р,!Р,) (! + а "1) (! + сс г 1) = (р,!Р,) х м (1 + !1273)' при а!ы = а!Я! = а = сз !Ь~м',/с' ! !273 град-' и вместо (Ч1.5.5) можно записать = У"-'- (1+.1) -"- = (1 +;„'-,) У'-"- — "', (Ч1.5.8) 7Х где 1 — температура, град. Для воздуха (р, = 1,293 10-' кг!м', 72 ,'!уг~ ро — — ! 0,23 Па; ср!с„= 1,41), с- 331,3+ -1- 1,2!1, мыс.
Скорость звука (см. ч. П, гл. 1Х), вычисленная по (Ч1.5.3.), соответствует Ряс. Н!.5.! волнам с периодом колебаний, во много раз превышающим время установления состояния термодинамического равновесия (время релаксации). Например, скорость звука в угле- кислом газе не зависит от частоты 7 и может быть вычислена по (Ч1.5.5.), но при частотах ниже, чем 100 кГц; на более высоких частотах скорость звука в СО, увеличивается приблизительно на 44', и при частотах, превышающих 1000 кГц, не зависит от частоты (рис.
Ч1.5.1). Для газа, удовлетворяющего уравнению состояния (р+ Я(Ч вЂ” Ь~)=вт, (Ч1.5.7) с учетом (Ч!. 5. 3) получается более сложная формула скорости звука: (Ч1.5.8) Для вычисления скорости звука в газе по этой формуле следует знать постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь, а также теплоемкость при постоянном объеме сю Опыт показывает, что уравнение (Ч1.5.8) неудовлетворительно отражает экспериментальные данные только 176 для области, лежащей вблизи критического состояния вещества. Расхождение теории с опытом получается потому, что здесь применяют неточное уравнение состояния.
Часто для реальных газов используют уравнение состояния с вириальными коэффициентами: 1 К Т ( 1 + В + с ) (Л.5.9) где В и С вЂ” второй и третий вириальные коэффициенты. Учитывая лишь второй вириальный коэффициент и пренебрегая его высшими степенями, получаем формулу для скорости звука в реальном газе: Ср К7'+2Вр и с= с',— (Л.5. 10) которая может быть использована для вычисления как скорости звука, так и вириального коэффициента В, а также для вычисления отношения теплоемкостей Ср/Со. Скорость звука в жидкостях. При определении скорости в жидкостях по формуле (Л .5.3) можно воспользоваться значениями изотермической сжимаемости жидкости и теплоемкостей Ср и Со, полученными экспериментально. Можно также с помощью уравнений термодинамики преобразовать формулу (Л.5.3) к виду Однако для оценки зависимости скорости звука от структуры жидкости полезно проанализировать выражение для скорости звука, если в нем учесть уравнение состояния конденсированных сред.
Простейшее уравнение такого рода — уравнение, предложенное Френкелем: ссТ ду р= „о до ' (Л.5.12) где гр — потенциальная энергия взаимодействия молекул в жидкости; й — постоянная Больцмана: о — объем, приходящийся на одну молекулу. В качестве потенциальной энергии взаимодействия выбирается приближенная формула потенциала, пригодная для молекул сферической формы,— функция Ленарда — Джонса: (У1.5. 13) или ит !,Мр 2ср/с, 2 2 доо ' (Л.5.! 4) 177 Применяя эту приближенную формулу к уравнению адиабатической скорости, получим сс ИТ о' дзр — = — + —— со/со сс сс дог ' Как известно, давление в газах определяется ударами молекул о стенки сосуда, т.
е. является результатом действия молекул, находящихся в поступательном движении. В конденсированных средах молекулы находятся вблизи одна другой и взаимодействуют, поэтому следует учитывать силы молекулярного взаимодействия: общее давление складывается из давления, возникающего за счет поступательного движения, и внутримолекулярпого давления р;. кт ип Р= ! +Р' = Н +Р' тс' 1 дгф — = — О'- —,. 2ср!с„2 дс' ' (Ч1.5. 15) Наоборот, в идеальных газах силами взаимодействия молекул можно пренебречь, и формула (Ч!.5.14) для идеального газа приобретает вид = — !сТ. (Ч1.5.
16) В общем виде формулу (И.5.14) можно преобразовать к виду, удобному при вычислении скорости звука в жидкостях, для которых известен потенциал взаимодействия сил. С этой целью подставим вместо объема, приходящегося на одну молекулу жидкости, о=рог (о,— площадь сечения молекулы, г — межмолекулярное расстояние) и получим (И.5. 17) ср1с„, дсг ' Для температур жидкого состояния лТ 4,'гг — ф, поэтому с' гф' (Ч!.5.18) ср/с„сг ' Массу одной молекулы можно представить как произведение средней плотности жидкости на объем, приходящийся иа одну молекулу: т ргогг — р,г'. Тогда с' г ф ф" ср~с„ргсг ргс ' Скорость звука в жидкости с шаровидными молекулами можно вычислить по формуле ф ср/с, ргс (Ч! .5.
19) 1та В уравнении (И.5.12) второе слагаемое, очевидно, обозначает силу межмолекулярного взаимодействия, отнесенную к одной молекуле. Поэтому в формуле (И.5.14), где й772 — кинетическая энергия, приходящаяся на одну поступательную степень свободы молекулы; — о — — потенциальная энергия на одну степень свободы. 1 дгф 2 дсг В жидкостях второе слагаемое значительно больше, чем первое, и поэтому формула (Ч1.5.14) для жидкости приблизительно имеет вид са = (2тпуйГнз) и + я т т,з (И.5.20) где о — поверхностное натяжение; п и у — эмпирические постоянные; пт для всех жидкостей равно 2.
Имеется эмпирическая формула скорости звука, куда входит эмпирическая константа — парахор * Р = (Рпн")1(Р— Ра а), (И.5. 21) с = 4,66~/ — ~'~ ) Я Здесь число 4,66 — постоянный коэффициент, определяемый экспериментально. Аналогично можно получить приближенную формулу скорости звука, выраженную через критические параметры вещества: г— " = йТ+ ААЛ10з (҄— Т = Л), у (И.5.22) где А = (4,66)', Л = ҄— Т„„— 0; Т„„— температура исчезновения мениска; ҄— критическая температура; й = 2,1 — постоянная Этваша. Эти формулы позволяют вычислить скорость звука в органических жидкостях с небольшой точностью (7 — 10)ей.
В некоторых случаях этой точности достаточно. Для гидроакустики такие приближенные формулы непригодны, здесь необходима точность порядка долей процента. В связи с этим используют эмпирические формулы скорости звука в морской воде. Например, с = 1450 + 4,200 — 0,037 6т+ 0,018р + 1,14 (д — 35) „(И.5.23) где 9 — соленость, мг/л; р — давление;  — температура, 'С. " Парахор Р обладает аддитивными свойствами: моляриый парахор является суммой парахоров атомов (или атомных групп) и связей, образуннпих молекулу.
179 впервые полученной Б. Б. Кудрявцевым при ср7сг=1. Здесь она приведена для общего случая, когда отношение теплоемкости отличается от единицы. Скорость звука в жидкостях связана с теми физическими характеристиками жидкости, которые непосредственно определяются энергией потенциального взаимодействия молекул. К этим характеристикам относят параметры критического состояния вещества, поверхностное натяжение, теплоту испарения и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
