Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 28
Текст из файла (страница 28)
<<а„, а аа. 2 о ~~' !о~ (вй ,)1' (Ч.1.42) Пользуясь вторым начальным условием, нетрудно получить формулы для вычисления постоянных Р „: а 2л е Р „= —,—,, ~ ~ п(г, <р)<Р л(г, <р) гс(гс(<р, (Ч.1.43) 2 ! ! "ал [ т(" тл)]' о о 1 при тФО, 2 при т= О.
Аналогично получают формулы для общего решения несимметричных форм колебаний мембраны. Энергия колебания мембраны. Полная энергия колебаний мембраны состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий. Выделим из поверхности Мембраны элемент площади ЛЯ, смещенный от положения равновесия на величину <! и имеющий скорость дтьсдй <45 Тождество (Ч.1.41) выполняется, если для каждого слагаемого ряда применимо условие е С,'"— 2 — [ау' (пй„„)]'= р) ~ и(г, <р)<р л(г, <р) гс(гс(<р. о о Кинетическая энергия этого элемента поверхности равна где р — поверхностная плотность мембраны, Лх Лу = ЛЯ вЂ” площадь элемента.
Переходя к пределу, получаем формулу. для кинетической энергии элемента мембраны: Йу'„— — (- — ) дх с(у. (Ч.1. 44) Пусть в положении равновесия элемент площади Лх Лу (рис. Ч.!.5, а) находится под действием сил натяжения ТЛУ и ТЛх. Рис. Ч.1.6 После смещения от положения равновесия произойдет растяжение сторон этого элемента (рис. Ч.1.5, б), а силы натяжения произведут работу растяжения: ТЛу6(Лх) ТЛу6(Лх) ТЛ 6,Л, -1- 2 — — У (х), Т(Лх-1-26 ах) 6(Лу) Т(Лх+26 Лх) 6(Лу) 2 2 = Т (Лх+ 26 Лх) = Т Лх 6 (Лу) + 2Т6 (Лх) 6 (Лу). Полная работа сил растяжения равна 6А=ТЛхб(Лу)+ТЛУ6(Лх)+2Т6(Лх) 6(Лу), нли, отбрасывая слагаемое второго порядка, 6А Т Лх 6 (Лу) + Т Лу 6 (Лх). ыб Приращения 6(ЛУ) и 6 (Лх) вычисляют по следующим формулам (рис. Ъ'.1.5, в): А(АА)=1 (аа)'А(А*)* — АА=А|()' ) -~( — ) — )) '( ду 6„~1+ ~~ 7дч) 1~ 1„~„(дч) А(А)=И~М А(А*) -А —,'и ( —;",)'.
Таким образом, работа сил натяжения 6А= — ', ~~ ач)'+(ач~'~йхбу. 7' Р) 7 дч ~2~ „ Полная энергия элемента поверхности мембраны равна (Ъ'.1. 45) (())7 = ((%'„+ ((Ч7,. Учитывая (У.1.45) и проинтегрировав (197 по всей поверхности мембраны, получим полную энергию а Ь а Ь Ч7= ь ') ~ ~д ) (Ьх(Ку+ о ) ~ [(- — ) +(д ~ ((Ьх(2у. (Ч,1.46) о 'о о о Используя общее решение 21(х, у, 1) = ~„~~ А„„яп — "" х т=) и=( х яп — соз (у ( — '~) + ~ — ) 1+ а „~, приводим уравнение (Ч.1 46) к виду ()7= — "(~ 1/ ( — "') +( — ","') А„„х и), и а Ь тлх .
ллу )2 и ~ ~ Яп — з(п — ((хо(Уз(п(о)~„1+а и) ) + о о а Ь 2 .) — ~фА„,—" ( )А-~,) ( ( — ) ~А АУ) .(- Ъ Ъ а Ь 2 -1- — ° А „— „сох(о) .(+а „) 1 ~ яп — соз (, ((х(зу тлх лчу 147 Приравнивая работу 6А изменению потенциальной энергии элемента мембраны при растяжении и переходя к пределу, получаем Первая двойная сумма содержит попарные произведения: Атл ~/ ( — ) + ( ! ) 81П (1атл4+Итл) Х а Ь Х А, )/( ) +( — ") з!п(га„,„,4+сг „) ~ ~81п м™ Х а о Х 81п — з!'и ' зрп — с!хг!у. лау . т'пх ..
л'ау Ь а Ь Ввиду ортогональности фундаментальных функций из всех этих произведений останутся только те, для которых т'=пг; л'=и: Точно так же из всех слагаемых оставшихся двойных сумм сохраняются,только те попарные произведения, для которых т=т' и п= и', так что каждая из них имеет слагаемыми члены — 'Атл( — ) СО8'(Гатл4+«тл) аЬ, 1 ля ! -4-Атл( 1, ) СОЯ'(Озтлг+Ятл) Таким образом, полная энергия колебаний мембраны = 2-2',~( "')'+("ь')'~ "С-- +--~+ + 2 л'а(2) ~ тл+ ~~~ 4 Заменяя силу натяжения Т величиной рс', после группировки слагаемых получим аьр 1 'Д !Р'= — 2-~; ытлАтлю 4 тл где о' „= (тпс1а!л+ гппс/Ь)'! раЬ вЂ” масса мембраны. Полная энергия колебаний мембраны равна сумме энергий колебаний осцилляторов, каждый из которых имеет массу, равную '/л массы всей мембраны, амплитуду и частоту, равные амплитуде А „ и частоте ы „.
Этот результат не зависит от формы мембраны, и его можно получить в общем виде, если известно условие ортогональности фундаментальных функций. 148 $ тг.2. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕЕАНИЯ ПЛАСТИН Частное решение волнового уравнения. В пластинах упругость напряжения мала по сравнению с упругостью формы. Поперечные колебания пластин описывают дифференциальным уравнением четвертого порядка: Зр (1 аз) дан где ( дз дх П2) д4 да д4 Ч'=б' =~ — + — ) = — + — +2 (Ч.2.1) ~ дхх дух ) дхх дух дх~ дух 1 Ч' — оператор производной четвертого порядка; и — коэффициент Пуассона; р — плотность материала, пластины; Š— модуль Юнга; й— половина толщины пластины; Ч вЂ” смещение в средней плоскости пластины; 1 — время. Пусть частное решение выражается гармонической зависимостью от времени: и = У(х, у)о~'"'.
(Ч.2.2) В этом случае после подстановки в уравнение (Н.2.1) получим ЧУ вЂ” у У=О, (Ч.2.3) где , Зр(1 егг (Ч.2,4) (Ч' — у') У=О, (Ч'+у') У=О. (Ч.2.5) Дальнейший ход решения зависит от характера краевых условий. Исследуем колебания круглой пластины. Для этого решение уравнений (Ч.2.5) будем искать в полярных координатах. Для первого уравнения (Ч.2.5) решение конечное и при 0(г(а имеет вид У = . ~еУ (уг) (Ч.2.6) з(п тгр где и = О, 1, 2, 3, ... Решение второго уравнения (Ч,2.5) выражается через функцию Бесселя от мнимого аргумента: сох ир У = . е ()уг), з)п т~р (Ч.2.7) где еТ ()уг) — функция Бесселя первого рода т-го порядка.
Функции мнимого аргумента можно выразить через гиперболические функции Бесселя по формуле 7 (уг) =1"еу ()уг). 149 Уравнение (Н.2.3) можно представить как (Ч' — у') (Чх+у') У=О и привести к двум уравнениям второго порядка: Всевозможные простые решения для круглых пластин представляют в виде суммы решений (Ч.2.7) н (чг.2.6): )г =, тяА е7 (уг)+В„/„(уг)1, (Ч.2.
8) где т = О, 1, 2, 3, ... Таким образом, в соответствии с числом значений т имеется счетное множество возможных решений. Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянных Ачг, Вм и допустимых значений параметра т необходимо задать граничные условия. Примем условия для края, зажатого по окружности: у (о, р) = о, — = о, г'дг~ (, дг /,'г=а (Ч.2.9) где а †ради пластины.
Применяя к (Ч.2.8) первое условие, находим В,„= — А,„~ (Ч.2,10) Производная — ( т)т(А ю' (тг)+В у„'(уг))= сов ), еу,„(та) ап (гер) тАзг ~ о '(тг) — У,'„(уг)~ 1,. (та) в применении второго краевого условия дает бесконечно большое число уравнений I (уа)ат' (та) — ат (та) г' (та)=0. (У.2.1!) Собственные частоты н фундаментальные функции. Решение каждого нз уравнений (Ч.2.4) относительно уа может быть представлено в виде у„„= — р „(т, и=О, 1, 2, 3, ...), (ч'.2.12) Е Ум" 8 (1 з) (т1.2.13) нлн нзл, ч/ Е Штч-.з ));ач, „(, откуда ызгз пй а . ° Е Гма — ригл )/ 2н 2а' зг" )г Зр (1 — аз) 180 где р „имеют следующие значения: ~от = ! О!51 ~аз = 2 007' ~аз= 3,000' бзг = ! 488' ~тз = 2 4831 ~гз = 3 490' ()зз — — 1,879; рзз = 2,992; ()зз — — 2,000.
Прн п-ь оо ()„„-ч-п+т72. Имея в виду, что параметр у зависит от частоты, по формуле (Ч.2.4) получаем В частности, [м=-09342 — » ~««з, » [а»=3309[и' )и=2 09~м' [и = 3,425)оь', )аа — — 5,983)оь (Ч.2.14) Простейшие формы колебаний пластины описывают фундаментальными функциями (Ч.2.8). Если вместо А и В подставить значения, найденные из граничных условий, то получим два вида фундаментальных функций: ф „~м — — созлцР~Ю (пр „«') — « '" "" ! (лр„„«')~, (Ч.2.15) ф „оо — — з!птгр~ау(п~ „«') — " 1 (п~ „«')~, (Ч.2.15) причем (Ч.2.15) представляет собой четную функцию, а (Ч.2.16)— нечетную.
гозг гам Рис. нзь! Фундаментальные функции ф юи и ф юю имеют следующее свойство: ~ ф „(«', ~р)ф„, («', <р) «'О«'Йр= Ъ Ъ 0 при т' чьт, и' ~ п, — [~7" (и() „)+1" (п~„„)] при и'=т, и' =и. Анализ колебаний круглой пластины показывает, что число, соответствующее порядку бесселевой функции, совпадает с числом узловых окружностей, за исключением граничной. Число п, соответствующее порядковому номеру решения характеристического уравнения (Н.2.11), совпадает с числом узловых диаметров без единицы. На рис.
Ч.2.1 показаны некоторые формы колебаний круглой пластины. 15! Общее решение уравнения пластины состоит из суммы всех частных решений. Частные решения представим в виде т) (г, ср, 1)=У „(г, тр)А пе' '=У (г, ~р)А пе '" е'"'= =У п(г, ~р)А пе( ' " ). Используем только действительную часть этой комплексной функ- ции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
