Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Механический импеданс пульсирующей сферы. В формулу импеданса любого излучателя входят скорость точки приведения, приведенная нормальная составляющая скорости и комплексная амплитуда давления на поверхности сферы. В данном случае точкой приведения является произвольная точка поверхности сферы. Отсюда следует, что безразмерная скорость 0 есть единичный вектор нормали элемента поверхности й/: (л=п. Подставляя в общую формулу импеданса (1.2.4) комплексные амплитуды о и р из (1.3.4) при г-а, получаем выражение для механического импеданса пульсирующей сферы а= — рсВ Х+/г /аа 1+/аа Отделяя действительную часть от мнимой, находим активное и реактивное сопротивления: аэаа Х = рс4паь-~ —;~ У = рс4паа Присоединенная масса пульсирующей сферы У Змь М ьЬ 1 + Лэаь (1.3.17) 1' 1 Л 207 где М,— масса жидкости в объеме шара радиусом а.
Для низких частот присоединенная масса, как следует из (1.3. !7), равна утроенной массе жидкости, вытесненной шаром. На рис. 1.3,1 представлен график, поясняющий зависимость составляющих Х, и У, импеданса излучения пульсирующей сферы от отношения диаметра сферы к длине волны в воздухе (й 2а). Для другой среды величины составляющих импеданса, представленные на этом графике, следует умножить на рс/4!,3 (рс — удельное волновое сопротивление среды). 2.
Предельный коэффициент. излучения. Отношение реактивного сопротивления пульсирующей сферы к активному равно Отсюда следует выражение для предельного коэффициента излучения 1 Ч= 1 Л 1+ — °вЂ” л 2ла 70 407 0007 407 При Л/а=0,1 значение 4) близко к единице. С приближением отношения длины волны к радиусу сферы предельный коэффициент к,у кс)(ми с) излучения медленно умень- 7000 кьаькс м 'с шается. Например, для Л)а = 100 он составляет 9%. 3. Поправка к резонансной частоте. Выведем формулу поправки к резонансной частоте для пп пульсирующего пузыря в жидкости. Для воздушного пузыря с упругой оболочкой радиусом а, толщиной й, плотностью р, и упругостью растяжения Е резок, нансная частота пульсий) рующих колебаний может быть вычислена по приближенной формуле 0,7 1 70 1 сакса ' Рис.
1.3.1 где с,= рсс [1 + 4Еа)(арса) ЭффЕКтИВНаЯ аКУСтИЧЕСКаЯ ГИбКОСтЬ; т, = а'= 0Р-[1+ЗР,й)(Ра))— эффективная акустическая масса пузыря. При условии 4Е)с)(Зрас)((1 и Зр,й)(ра))) 1 получаем с /3~а 7 2ЕЬ) а рса Врсса) Если пузырь погружен в жидкость с плотностью р„то частота собственных колебаний может быть вычислена по формуле (1.2.11), в которой б — поправочный коэффициент к резонансной частоте, причем М [ — па ЗМ Здесь а = (1 + †) , М, — эквивалентная масса, М = М.) 1+ (ВИ)со)3 — ЗМ, = 4ла'р, — присоединенная масса пузыря, Х = 4ла'р,с, х (сиса)со) м +( ),— 0 — активная часть импеданса излучения.
После небольших преобразований получаем следующее прибли.- женное выражение для поправочного коэффициента: ~="= ~ — ~'- — + — ) Г Ьр, I арг ар ! У аРо [, 2ара бдрг) (р — плотность газа, заполняющего пузырь). Например, при р[Р, = = 0,001; а/й= [00; р,/ра = 2 получаем ~ сс= О,!4 и га 0,14!00. Ф 1.4. ДВОЙНОЙ ИСТОЧНИК ИЛИ АКУСТИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ Акустический диполь представляет собой двойной источник, состоящий из двух точечных источников, расположенных близко один от другого и имеющих одинаковые производительности и противополож.
ные фазы. В некоторой точке А пространства каждый точечный источник создает звуковое поле с потенциалами Ч" = — едеа"'-', 4лг„ Ч' = — — ед '-"!. 4лг Результирующее поле определяется суммой этих потенциалов: Ч" = — ~ — е — глг-г — — е — М'-) е!"". г! . ! 4л У~., г (1.4.1) Рис. !.4.1 Поскольку расстояние между точечными источниками диполя очень мало, заменим разность в (1.4.1) полным дифференциалом: Производная вектора г по направлению [равна созд (рис.
1.4.1). После дифференцирования получим формулу потенциала скорости в точке А: (! А.2) 4л г ! !от г где В =ЯИ вЂ” объемный акустический момент диполя. Использование обычных соотношений приводит к формулам звукового давления и колебательной скорости диполя, Эти формулы запишем в виде комплексных функций; р=р[гаЧг=+ рс — !1+ —.) соз Ве!!" — г>, аг-аг 4лг ~ !лг ) оз = — — = + — ! 1+ —.) 01п 9 егн"г-"г>, (1.4.3) дхг В[0 Г ! гд0 4лгс ~ [аг ) о„= — — = — — ( 1 + —.
+ —.) соз 9 ег""-"'!. дЧ' Вас ' 2 2 дг 4лг, фг бггг)а ) 209 В отличие от поля точечного источника поле диполя имеет некоторую направленность. Нетрудно показать, что функция направленности диполя (1.4А) Коэффициент осевой концентрации численно равен трем: К 3 ааааа яп 8((З Ф !.в. 3ВукОВОе пОле ОсциллиРутощеИ сФеРы 4аа е)йа Ф 1+ 2('(/йа) + 2((/йа)' Подставляя (1.5.!) в (1.4.2) и (1.4.3), находим для поля осциллирующей сферы: !йа !+1(()йг),1 ( (, » = ) " )(.ад-.у~ддцт" — '- .
().5.2) а 1+2/( йг)+2!()й.)а '~~~(())') )()) ) (УЬ)2 1+2(ийа)+2)((йаР о Р = — рс — ва — . е""' — '(" — '» соз В. (1.5,5) ) а 1+ 2(бйа)-1- 2Л(Г(ар (1.5.3) (1.5.4) Основные характеристики осциллирующей сферы. 1. Механический иипеданс. Для вычисления механического импеданса восполь- 2!О Осг((!ллпрук)щей сферой называют поверхность шара неизменного радиуса, все точки которой могут совершать малые колебания в одном направлении. Для нахождения параметров поля и характеристик осциллирующей сферы используем формулы акустического диполя, так как характер движения окружающей среды вблизи этих излучателей одинаков. Однако множитель В в (!.4.3) будет иным, и его можно определить на основании условия непрерывности скорости на поверхности сферы.
Допустим, что амплитуда скорости центра сферы ра. Нормальная составляющая скорости точки поверхности шара, имеющей полярный угол 0, равна па сова (рис. 1.5.!). На основании непрерывности нормальной составляющей скорости д)(( 1 пасов 6 — ! аг (а=а' используя (1.4.3) при г а, получим зуемся общей формулой г=-= ~/т0„ф, где б и р — комплексные амплитуды скорости точки приведения и звукового давления на поверхности сферы; 0„ — приведенная скорость элемента поверхности сферы с/5. Примем в качестве точки приведения полюс сферы.
В этом слусс сас 0 чае 0„= = сов в. Подставив в формулу импеданса комплекссо ные амплитуды б, и р из (1.5.3) и (1.5.5) при г-а и выбрав в качестве элемента поверхности площадь кругового пояса шириной ас/3 и радиусом аипа, получим расс! 1+ 1/Иа)1 сс 1+2/Оаа)+2/(/ь ), 2па' ) соз'аз)п 3 с/3= о 4тасрс 1+ 1/(/йа) 4паа / Иа4 аа (2+ аааа) 1 3 1+2/(/аа) + 2/(/аа)ч 3 Р '14+ тааат + / 4+44аа / ' ( ' ) Присоединенная масса осциллирующего шара определяется формулой М пазр У 4 2+ /Ваа о~ 3 4+а'а1 ' (1.5.7) Для низких частот соотношения упрощаются и принимают вид ааа .
2ла' - "— рс (аа)'+ / —" рсйа, 3 4аазр М 3 2 (1.5.8) (1.5.9) Отсюда предельный коэффициент излучения осциллирующей сферы 1 1.1- — — (! -1-2 (— (1.5.10) 211 Таким образом, для низких частот присоединенная масса равна половине массы жидкости, вытесненной шаром. Для высоких частот /га)) 1; Х= 4паарс/3; У=О; М =О. Формула импеданса для акустического излучения осциллирующей сферы показывает, что для низких частот осциллирующая сфера как излучатель менее эффективна, чем пульсирующая. На рис.
1.5.2 показан график активного х, и реактивного у, удельных импедансов осциллирующего шара для воздуха в зависимости от отношения 4). 2. Предельныа коэффициент излучения. Отношение У/(пХ), входящее в формулу предельного коэффициента, найдем из (1.5.8): Для случая )7(2па) =1 значение т1=0,5.
При том же значении Ц12па) предельный коэффициент излучения пульсирующей сферы составляет — 0,75. В общем виде отношение предельных коэффици- кьуь кгйиг г) 7000 700 70 к, 07л ' 007 Рис. 1.5.2 ентов излучения осциллирующей и пульсирующей сферических излу- чателей определяется следующей формулой: 1+ —— 1 1+ — — [!+2(— Таким образом, осциллирующая сфера энергетически менее эффективна, чем пульсирующая. 0 1.6. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА ПРИ СЛОЖНОМ КОЛЕБАНИИ ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ Сферический источник может иметь колебания поверхности более сложные, чем пульсирующие или осциллирующие. В результате этих колебаний возникают звуковые волны, характер которых определяется сложными явлениями дифракнии и интерференции волн, исходяш)чх от отдельных участков колеблющейся поверхности.
Если поверхность излучателя сферическая, то можно получить точное решение задачи, используя классические методы- математической физики; оно приведено в приложении !11 данной книги. Для сферического источника с осевой симметрией колебаний поверхности потенциал поля выражается в виде ряда 1см. формулу (7) 212 приложения 1111: Ч"=От"г ~1 А„,й"-'( — "- г) Р (соя В), пг = О (1.6.1) где й"' (г) — сферическая функция Ханкеля второго рода т-го порядка; Р— полипом Лежандра т-го порядка. Радиальную и нормальную составляющие колебательной скорости, вычисленные из соотношения пг = — дЧ",гд1, представляют выражениями: ггг = О (1.6.2) ггг = О где Ог — частота; с — скорость звука в среде; а=лг; х=созВ; 0— полярный угол. дЧ' Волны давления, определяемые из Ч' по соотношению р=р —, дО выражают формулой р=)Огре/ ' ~Ч~ А„йД'(а) Р„(х). (1.6.3) пг = О Коэффициенты А определяются граничными условиями задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
