Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Рассмотрим некоторые типичные граничные условия. 1. На поверхности излучателя в каждой точке задана нормаль. ная составляющая колебательной скорости (1.6.4) о,(0, 1) =о(0)ег"', ГдЕ О (8) = О, (0) Егп 'О' — КОМПЛЕКСНая аМПЛИтуда СКОрОСтИ. В этом случае граничные условия сводят к соотношению о,=о(6, 1) при г=а, или о(8)= — — ~~ А — Р„(сов В) при з= — а. Ог %г дл„г Ог О 'О дг О т-О Р (соз 8) Р„(соз 8) з(п 8 г(6. 2= — О Ог = О 218 Для того чтобы найти коэффициенты А„, умножим левую и правую части этого уравнения на Р (созВ)ЯО1пдг(В) и проинтегрируем в пределах 0(0(п: $ о(0) Р„(сов О) з1п 6 О(6= О Учитывая свойства ортогональности полиномов Лежандра О прн Р (сох 8) Р„(сох 0) з!п0 г(8 = о 2 +! при получаем в(8) Р„(соз8) з1п0И0 — в А„-~- 2 2а+Т' откуда следуют общие формулы для вычисления всех коэффициентов: А„= — ~ ~+, С о(0) Р (соз О) з!п8 с(0, (1.6.5) где т=О, 1, 2, ...; го=вальс; й'(г,) =г(а(г)!йг при г=г,.
2. На некоторой поверхности сферической формы имеется определенное распределение звукового давления, создаваемого источниками звука, расположенными вне области, ограниченной поверхностью. Пусть а — радиус поверхности, давление на этой поверхности р(а, 0) ег"' — функция, заданная определенным образом (в виде таблиц, графиков или аналитической формулы). Тогда согласно непрерывности давления на поверхности сферы (г а) р(0, а) )вр ~~~~ А )1,"„'( — а)Р (соз0).
в=о Как и в первом случае, функцию р(8, а) можно рассматривать как разложение по зональным сферическим функциям с коэффициентами разложения В,„= !врА ой"' ( — а) = ~ р (8, а) Р„(соз 0) з!и 8 о(0, о поэтому искомые коэффициенты выражают формулой А =, „,„, р(0, а) Р (сов 8) з!п0 о(8, (!.6.6) = )вр20:, (г,) „ о 2!4 где го=ва/с; т=О, 1, 2, ... От этих рассуждений можно перейти к общим формулам для пересчета данных измерения звукового давления в ближнем поле для получения параметров дальнего поля.
В установившемся режиме на поверхности сферы, охватывающей антенну, будет существовать определенное распределение амплитуд давлений. Эти амплитуды можно замерить и получить экспериментальную зависимость р(вР!с, 0). Тогда давление в дальнем поле определится из (1.6.3) и (!.6.6) при г-~со, Сферическая функция Ханкеля ))„" (г), входящая в общие формулы, и полипом Лежандра Р, (соз 5) определяются для любого целого и рекуррентными формулами: )55 Е lг й)й (г) ) ( 1) )гс(г) г 5(т Рт (СОЗ 3) --йн-т д (со65)-; (СОЗ'5 — 1)' (1.6.7) (1.6.8) В табл. 1.6.1 приведены выражения этих функций для первых трех порядков.
Т а б л и ц а 1.6.1 и„,' (5) Р (С05 6) 1 / — е )5 г 1 / (1+/г) е-)5— 1 ) 13 (1 — )г) — гг] — е-л г' соа 6 ! — (3 со550 — !) 2 ! -- (5 соа 36+ 3 соа З) /115 — гг — 2гг+/г (15 — гг)1 — е гг 1 / (г) 1г — ох (г) -" 1 2г 55 .(- — (го) -(- 51) )'ии г сс5 Гп (2а) — 1) и и (г) = 16( — Л( ) (г) — — — „, ", + —, ) г г~с5 /„(г) — сох 1 г — -~- я (л)+ 1)~, 1 1 г сег ! . Г 1 и (г) ~ — а(п с!г — ~я(т+1)1.
г со (1.6.9) Для сферической функции Ханкеля второго рода (2аг !)н )655' (г) = /~ (г) /п~ (г) (2Р) ! Ви г + 1 1 -'! — .'+ "1. /6',аг' (г) ~ы — Е г ОО (1.6.10) Соотношения (1.6.2) — (1.6.10) позволяют найти точные решения многих задач об излучении звука сферическими источниками. 2!5 Для сферических функций Бесселя / (г) и Неймана п (г) имеются следующие асимптотические представления: й !.7. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ СФЕРИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ Рассмотрим некоторые частные случаи применения общих формул предыдущего параграфа. Зональные излучатели различных порядков. Для пульсирующей сферы колебательная скорость поверхности постоянна по амплитуде и фазе. Звуковое поле в этом случае определится формучами (!.6.!) †(1.6.3) с коэффициентами разложения (1,6.5).
Подставляя с (0)=со в (1.6.5), получаем А =, со ~ Р (ссзб)г!пбдб. о Заменяя под знаком интеграла единицу полиномом Лежандра нулево(о порядка Р, (сов 0)=- ! и учитывал условия ортогональности, получим л Р, (сог 0) Р (соз О) мп б дб = ( ( О при т~О, [2 при т=О, о т. е, Аз=по/[йй;(йа)); А)=Аг —, — О, Следовательно, потенциал поля путьснрующей сферы О оой(м (йг) бб' " (/г~) Подставляя сюда из (1.6.7) й; (г) при г 4 йа и формулы й',-"' (г), 7([" (г) из табл.
1.6.1 при г йг, получим: 0 е([(м( — (г(г — а)] Ч' 4п (1+ )()а) соаг 1+!йг ([ш о(г аП 1+]йа гз где 9=4пагсо( /г=ю/с. Таким образом, звуковое поле пульсирующей сферы определяется из общего решения (1.6.1) слагаемым нулевого порядка, Точно так же, пользуясь общими формулами, можно показать, что при условии, о когда поверхность имеет амплитуду нормальной + составляющей скорости [о(0)=воспой[, излучение определяется слагаемым первого порядка (т=!). Формулы скорости, давления и потенциала будут совпадать с соответствующими формулами осциллит40 т=) 'рующего шара. Если нормальная составляющая скорости определяется полиномом Лежандра т-го (т= О, 1, 2, 3, ...) порядка [Рт (соз О)), то формулы для звукового поля такого излучателя определяются только слагаемым т-го порядка.
Поэтому пульсирующий излучатель называют излучателем нулевого порядка, осциллирующий — излучателем первого порядка и т. д. Рис. 1.7.1 Йа рис. 1.7.1 схематически показаны распределения узлов и пучностей для сферических излу- чателей первых трех порядков. Нетрутно заметить, что характеристика направ- ленности сферического излучателя т-го порядка представляет зональную сфе- рическую функцию, т. е. полинам Лежандра т-го порядка. На рис. 1.7.2 изоб- ражены характеристики направленности сферических излучателей первых трех порядков, Излучение частью сферы, совершающей пульсирующие колебания.
Разберем случай, когда одна часть сферы с угловым размером 20, совершает пульсирующие 2!6 колебания, а другая остается неподвижной: о (8) = о, при 0<8<за, 0 при Оз(8 и. Звуковое поле данного излучателя рассчитывают с помощью общих формул т=1 Рис. 1.7.2 откуда ь ь т Рж (х) Ых= + )З (Рт~- ю (х) Рж-т(х)(пх= — [Ржет (Ь) — Рм з (Ь)) 1 Таким образом, коэффициенты Ам в данном случае имеют вид оз А,л —— ... (Рм 1 (соз Ое) — Р„,чт (соз Оз)) юс ~/ (гл= О, 1, 2, „.). Подставляя их в общие формулы для колебательной скорости (1.6,2) и звукового давления (1.6.3), получаем; г — — -2 —,~„йз~(з) и т=о ) мч Ь"' (х) 1 )Г~ з .().
и "'т' (а) Р (х) „,м,(, ( ) ге=в Р = 1'Рс — е/и оо 2 где а=йг, хе=да, х = созе, 217 (1.6,1) и (1.6.3), где коэффициенты А,„определяют выражениями (1.6.5). В результате подстановки о(8) из (1.7,1) получаем 80 А =, ' ~ Р (созе) з1пзг(8. (2гп + 1) оо (1,7.2) о Для вычисления интеграла воспользуемся свойствами полиномов Лежандра Р' „~ (х) =Р', (х)+(2гл+1) Р (х), Р~ (х) = (Р ) (х ) — Р т (хе)! Р (х), ха соз Оа. Для получения зависимостей (!.7.3) в да чьней области поля (г =Лг -)-со) воспользуемся асимптотическими выражениями гферических функций Бесселя (1,6,10) и после небольших преобразований запишем формулы дальнего пола в следующем виде: г)а е„,)) ю ~т щ Р)п (х) )а=-з оз, еж" =' (! — ха) Р 7 /)мы) г)о г- ) г мч .
) )л (х) (1.7.4) й (г,) т о.ос ) ) %ч . Р„(х) 2г й з ' (гз) ' формулы (1.7.3) и (1.7.4) полностью характеризуют звуковое поле поршневого излучателя„помещенного на поверхности шара. С их помощью можно вычислить интенсивность в любой точке пространства, импеданс излучения на поверхности преобразователя и функцию направленности. Из (1.7.4) следует, что функция направленности поршневого излучателя в экране выражается формулой (1.7,5) Подставим под знак интеграла выражение для звукового давления из (1.7,3) и, замевяя з1пз аО на -)(сов 8, проведем интегрирование в пределах от О до сов 6,: Р= 4пазрсоаехм з!пг (Ос)2) (к+ !у), Здесь 4паг зшз(зе)2) — площадь колеблющейся части сферы; !талы — мт".) !)-(у, (й з!Р~ т(сааза) — аы (~~8~)!' — активная часть беаразмерного удельного импеданса излучения; ! а)па) па)1 т 4 мг)з (8 72)(2~ + !) РР' (А)т)]з — реактивная часть нмпеданса, где ((уа (йа)]г =- (/а) (йа)]з+(л (Ла)]а, 218 Ф (О) )-оз Ое)) с) .
«-ы- .т,« ".)7). где () =/ (!(йп' (Аа))= (!777' (йа))е с ~ ]! 77' (г), 5' (г) — пераые производные модуля 0м и фазы 6 сферической функции Бесселя (см, табл. П 11,3 приложения). формула (1.7,5) может быть применена для вычисления интенсивности излучателя: ,7 (6, йа) = 7 (О, йа) (ф (0))з. (1.7.6) На рис, 1.7.3 показаны полярные диаграммы направленности по интенсивности (1.7.6) от 6 для да= 1, 2, 3. Выведем формулу импеданса поршневого излучателя, занимающего часть сферы с угловым размером О, О,.
Сила реакции поля, действующая на кольцевой элемент сферы с угловыми размерами О, О+)(О, с(Р=Р2па' зш 0 ПО, а сила, действующая на часть сферы с угловымн размерами О, Ом равна Оя Р=~ 2па'р з!и 6)(0, На рис. ! 7,4 изображены графики активной х и реактивной у частей нчпе. данса, На осн Х отложены х и у как функции отношения эквивалентного периметра поршня к длине волны 2нааев/1=2йа з]п (Ве)2), Как видно нз этих графиков, для воли с большой'длиной волны (по сравнению с периметром поршня 2па„р) активная часть импеданса меньше реактивной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
