Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 43
Текст из файла (страница 43)
л л л!92+а,) соз [л (ф — и)) Тогда потенциал легко привести к виду 2оо до ~Но(йг)ио Нл(йг) созлфз!ппио '[ 2Но(йа) Нп (йа) 232 ны больше, чем поперечные а) о) размеры цилиндра, волнь), из- Р . П.З.! ис. лучаемые узкой полосой, лежащей на поверхности жесткого цилиндра, легко охватывают ци. лиидр. При уменьшении длины появляется характерная направленность излучения: например, при Аа = ! интенсивность максимальна в направлении ф= и и близка к нулю для ф=и +и.
При еще меньшей длине волны интенсивность максимальна в направлении ф=и и близка к нулю в области геометрической тени. Излучение полосы на цилиндре. Если на поверхности цилиндра имеется участок с некоторым амплитудно-фазовым распределением скоростей о (и) =о,(и) е)рл, то звуковое поле можно рассматривать как суперпозицию полей отдельных линейных излучателей на поверхности цилиндра: ОЭ гя 7 (г, гр, г)= — — еlм' ", ~ оо(и) еуб'о' соз [л(гр — и)[би. (П.3.13) 1, цх Нл (Ьг) елНп (йа) Пользуясь (П.з.!5), можно найти даалеяие, колебательную скорость и другие характеристики поля. В частности, интснсияность излучения и полная лющность рассчитыяаютс я по формулам; 4рсоа 'ЧЧ Яп тпо а)п гьхо соа тф Яп лф Г ' б к гл — л1 л ты=о лаю ( Соа (йа) ~~, таС,";, (йа) ( Используя приближенное значение яыражения для Ст (П.3,9), получаем: рыаах1 рома о1 ао ! 4лг 8лг 2' Ры (аоо) еза 2лгех = = х о" 4 2 2 но~ где а=а2ио — площадь единицы длины полосы.
Активная часть импеданса полосы при низких частотах равна рыа патра х„' = — = — йа, ьа! Интенсивность излучения полосы на цилинтре пропорциональна квадрату площади единицы длины и обратно пропорционаз)Ьна рассгоянию от излучателя. Удельный импеданс пропорционален йа, т. е, значительно меньше единицы. $ Н.4. ИЗЛУЧЕНИЕ КОЛЬЦА, РАСПОЛОЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА В предыдущем параграфе мы изучали цилиндрические излучатели, у которых колебания не зависят от координаты г, ориентированной вдоль оси цилиндра. Однако большей частью реальные цилиндрические излучатели и приемники имеют активные элементы, ограниченные по оси 2. Простейшим акустическим излучателем такого типа является кольцевой пьезоэлектрический преобразователь, вставленный в жесткий цилиндрический экран.
Для расчета поля такого преобразователя допустим, что цилиндрический экран имеет неограниченную длину, а активныи элемент высотой 26 пульсирует с колебательной скоростью оое!"г. цилиндрическую систему координат расположим так, чтобы плоскость 2=0 проходила посередине высоты этого элемента. В пространстве, окружающем цилиндр, возбуждается акустическое поле, потенциал которого Ч'(г, г, 1)=тр(г, г)етые должен удовлетворять волновому уравнению непрерывности радиальной скорости на поверхности цилиндра и условию излучения. После подстановки (П.4.1) в волновое уравнение получаем уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах (11.4.2) 233 с граничным условием (!1.4.4) |, =- "о (г) дф (1!.4.3) дг „„ где п,(г) — комплексная амплитуда скорости поверхности цилиндра. Для того чтобы функция ф удовлетворяла граничному условию (11.4.3), необходимо, чтобы она не зависела от азимута ~р. В этом случае волновое уравнение (!1.4.2) приобретает вид ! д / д4~~ дп/ — — (г — ~+ —;+й'ф=О г дг (, дг) дг' при граничном условии д~ ( по при )г',,~/г, (П.4.5) д~ ~.-.
~ О при ',,г~,)л. Можно было бы пытаться искать решение (11.4.4) при условии (11.4.5), применяя метод расщепления, положив ф=г(г)/х(г). Как было показано выше, этот метод приводит к тому, что Е(г) оказывается гармонической функцией. А так как на границе раздела градиент функции ф(г, г) на участке — й(г(Ь постоянен, то произведение ф = л (г) /х (г) не может удовлетворять граничному условию (11.4.5). Таким образом, функция ф= Л (г) /х (г) не является решением. Поэтому надо искать другие варианты решения задачи. Используют, например в 121!, применение к (11.4.4) и (11.4.5) метода прямого и обратного интегральных преобразований Фурье.
В связи с этим представим искомую функцию в виде интеграла Фурье: ф (г; г) = †„ ~ г (г, т) е" г(т (11.4.6) с коэффициентами разложения Р(г, т) = ~ ф (г, г) е /" йг. (11.4.7) Умножив (11.4.4) и (П .4.5) на е-/" и проинтегрировав в области — оо . г(+ос, получим: ~!д '1 Гд — — /г — е-/" с(г+ — е-"'дг+/Р ~ фе-/" Нг=О, (1!.4,8) г дг', дг/ дг' д$ х, — оо ~ е-/" г/г пРи',г',,~6, дг ~~ О при (г(~й. Второе слагаемое (11.4.8) повторным интегрированием по частям сводяз к выражению — т' ~ ф(г, г) е /" г/г= — т'Е(г, т).
Кроме того, г дг( д~/ г дг( д~) ~ ф( ' ! д д — е-гзх Иг = — ~ фе-тхаг(ц дФ т д Г дР(г, т) дг ~г а дг а1 ~г а дг ~г а' +аа +ь е гм — ейа 2аа о, ~ е-Мхе(г=ое ~ ед" Их=о . = — аз!птй, — )т т — аа — а с граничным условием ду — — з!птй при ~г~(й, 2иа (11.4.11) 0 при ~г~)й, Введением новой переменной х=г )г йе — т' легко преобразовать (1!.4.10) и (11.4.11) к виду ) + — ( ' ) +:У (х т) = О ,гхе х Ых 2оа ~вайа те да (х, т) ~ г з(п тй пРи ~ г ~ ~й (11 4 13) 10 при (г~)й ( — оо ( т ( со). (1!.4.12) Решением уравнения (11,4,!2), удовлетворяющим условию излуг чения, является функция Ханкеля нулевого порядка второго рода: У (х, т) = А (т) Н, (х).
Граничное условие (!1.4.13) для функции г (х, т) имеет вид откуда 2иа Мп (тй) 1' а' — т' Н„' (ха) дна ! где ха=а)Гйе-т', Не= — '~ ах ~х=кг Таким образом, уравнение Гельмгольца относительно функции двух переменных путем прямого интегрального преобразования Фурье сводят к уравнению для трансформанты 2 (г, т) — — [г 1+(й' — т').У (г, т) =0 (11.4.10) Таким образом, трансформанту интегрального преобразования Фурье, удовлетворяющую поставленной задаче, выражают соотноше- Н!4ЕМ Рис. ! ! л. ! Подынтегральная функция (!1.4.14) — комплексная и имеет особенность в точках т=-+.й.
Интегрирование здесь проводится по действительному переменному т. Рассматривая плоскость комплексного переменного т+ !т', проведем интегрирование вдоль действительной оси плоскости комплексного переменного. В области, где т = — й, обход особой точки сверху, а в области т = + й — снизу. Обход выполняется по контуру малого радиуса (рис. П.4.1). В этом случае при числовом определении интеграла особенности исключаются н с помощью электронно- вычислительных машин можно вычислить потенциал поля точек пространства при тех или иных параметрах излучателя.
Для области дальнего поля интеграл (П.4.14) может быть преобразован к более удобному виду. Используя асимптотическое выражение функции Не(г)~ й' — т'), новую переменную г=йз)пз н сферическую систему координат К=3~ ге-)-зт, й=агс1дг/г, после несложных преобразований получаем д2 з,'4а~ ф(Н)=" "." ~~(.)" з, па 1' ййп где у (з) = ! соз (з + 0), !' (з) = (П.4.15) 236 2ае яп (тл) Н, (с)~й~ — те) !т(, ) 0 0 т 1' ее — тт Н', (и 1д/г~ — т') Для нахождения первообразной функции ф (г, г) применим к трансформанте У'(г, т) обратное преобразование Фурье: ае Г яп (та) Не(г 'и а~ — те) еет' 4Р(г, г) = — — ' л4 с(т.
' 3 .1 ю-"Н;(.1:и —.) " Пользуясь формулами для вычисления производной цилиндрических функций, получаем пх 1 Яп (та) Не (г 1' ат — тт) еет' .) т 1''ае — те Н, (а Уйт — т') где й — волновое число; Н, и Н,— функции Ханкеля нулевого и первого порядка; т — некоторый параметр. вещественная часть функции у(8) в окрестности седловой точки остается отрицательной и наиболее быстро изменяется на плоскости комплексного переменного в направлении ср= — и/4. Для вычисления несобственного интеграла (11.4.15) по методу перевала деформи- 0,0 00 0,5 руем контур интегрирования 0 так, чтобы он прошел через 00 55 50 б5 50 Щ80 седловую точку в направлении ср = и/4. Ограничив малым участком путь интегрирования в окрестности седловой точки, получим для значения интеграла (11.4.15) равенство ) (в) едлто~ с)8=1 „'" ) (зн) еялт оп )' йлт" (вн) Подставив в правую часть в= — В, у(з,) =1 и у" (в,) = — 1, получим: 2ол Яп (88 Яп О) ) Гдл+ плл лслбв яп В сов ОН, (аЛ сов 8) Ч" (Р, О, 1)8 = о „вЂ” е) гдл ч яя)е-'"'.
8 = О он, (аа) д Отсюда функция направленности ,1, ~Ч'(Д,О, г)! ~яп(аав1пв)Н,(аЛ)~ )Ч'(Я, О, Л) ) Од~савве)пв(Нд(аасовО)] / Ьа , 'сов Ояп 0 ~ С, (аа сов 0) ( ) 11.4.17 ) яп(8/г яп О) !С, (аЛ) е' ' ~ сп где С, — модуль и 6, — фаза первой функции Ханкеля первого порядка. Контурный интеграл ~1(8) еалт оп л)8 вычислим с помощью метода с перевала.
Решая уравнение )' (в) = О, находим седловую точку в= — О. Для определения направления наиболее крутого спуска, проходящего через седловую точку, разложим функцию у(в) в ряд: у(8) /соз(з+0)1(1+8 (в+ 0)л (в+ 8)л Определяя окрестность седловой точки равенством з= — О+ее~о для малых значений а и 0(Ф.(2п, люжно записать вв в у(з, ср) -2 в)п2ср+)'(1 — ~ сов 2ср).
Остальные члены отброшены в силу малости значений з, Из последнего соотношения видно, что На рис. !1.4.2 приведены диаграммы направленности Ф(0) в вертикальной плоскости для цилиндра с радиусом а = 24)й (ай = 24) и Ай= 3; пй = 12 и йй = 24, из которых следует, что увеличение параметра )яй (т. е. волнового размера высоты кольца) сопровождается возрастанием направленности излучения и появлением добавочных максимумов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
