Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Как и для случая внутренней области, окружим точку М, сферой малого радиуса р и, кроме того, поверхность 7 и сферу охватим Х сферической поверхностью Х большего радиуса (рис. П1,2.2). В этом случае формула Грина содержит три интеграла: ® )+)+~=о, р где ~, ~ и ~ — интегралы по поверхностям / а Е р, а и Е. Как было показано выше, если ф(р) = = е-Рае/р, то интеграл ~ при р-РО стремится Рис. ! П,2,2 е к — 4пср (Ме) Радиус поверхности Х ничем не ограничен, поэтому интеграл по поверхности Е при достаточно большом радиусе й имеет вид — — 1 =4 (ср(й) ( +' ))сее — ма ~' д — 'Р! ке ' !2 дР! — д%1 д!21' = 4п ! — ер ()с) е — ма (1+ !И) — йе — МЯ вЂ” 'Р 1, Таким образом, при р-~-О, И)) 1 э М,Р 'М.Р + 4пср(Ме) — 4п ~ср (рс) е — М" (1+ !И) + )се — ма ~~( ) ~ = О, +; 1=0 и функция ср, определенная в области, внешней относительно поверхности р и внутренней относительно Е, равна ! р! д е ~ емеР е ™о д(р(гм р)1 244 (П 1.2.7) где — [ья дЧ' Рм л) г (Рм,л) = <Г([см,л)(1+[Ым„л)е пан'л+)тм,ле днм,л рям,л) = ~Г(йм,л)/Ыьпле " м л+ ям,л ь'Пь 1 [з — ням,л ч'( мал) — мям,л[( [ ч'( мел) ~,т, щ 11 -)- м.ле дд =е ' м,л~~ дд +! р( м,л)~~, мал м,л (111.2.8) 1пп [4~ Ч ( +[Ьр()т))=0, (111.2,9) называют первым условием излучения.
При его выполнении ~+1[гц~([т) = о Ян — — О, (1!1.2.10) как [т-", где и) 1. Кроме того, чтобы ср(М,), — О, необходимо нм,е со выполнение второго условия излучения: ч (Я) = О ( —,'),— - О, (111.2.11) как Й '. Используя (!11.2.10), получаем интегральное уравнение Гельмгольца для внешних точен пространства (111.2.12) Нетрудно показать, что (111.2.12) может быть записано для звукового давления: (1!1.2.13) Интеграл (111.2.12) определяет потенциал скорости в любой точке пространства по граничным значениям ~р, —, а также по значениям д~р е вм д ге м"'~ е — ' ' функций — и — ~ — ).
Вспомогательная функция — представ4пс дп~ 4пс )' 4лс лает собой элементарные сферические волны, входящие в граничную 245 Для того чтобы функция Ч~(Мь) была определена для всей внешней области, включая бесконечно удаленные точки А, необходимо наложить дополнительные условия на ее характер в области Йм,л-~- -ьсо. Условие, при котором (1!1.2.8) при неограниченном возрастании расстояния )тм,л стремится к нулю, т.
е. поверхность (+1аг) или исходящие из нее ( — 11ег). Второй интеграл в (!П.2.12) дает вклад в общее поле, который вносят точечные излучатели, расположенные на поверхности и имеющие производительность п„аг= — — „аг. Первый интеграл выражает потенциал поля, д~р создаваемого диполями, распределенными по поверхности: где а — угол между направлениями из точки М, на элемент поверхности д)(Р) и нормали к поверхности п.
Для нахождения поля по (111.2.12) необходимо знать ч~ и дч~1дп на поверхности преобразователя. Для того чтобы иметь эти два граничных условия одновременно, необходимо уже иметь решение задачи. В связи с этим интегральное уравнение Гельмгольца (111.2,12) не дает решения задач об излучении. Однако для высоких частот эта формула дает соотношения, которыми удобно пользоваться в практике инженерных расчетов. Если длина волны значительно меньше линейных размеров поверхности, то сохраняется только одно граничное условие, В этом случае каждый участок поверхности д) может быть выбран достаточно большим, чтобы считать, что каждая элементарная площадка испускает квазиплоские волны, и поэтому для них выполняется обычная связь между давлением и колебательной скоростью плоской волны р=рсп„.
Кроме того, реее )еье ~<ер )д е д л Подставляя эти формулы в интегральное уравнение Гельмгольца, получим его приближенное выражение для высоких частот — интеграл Кирхгофа: ем' ' ! е-м~ х сов ае-'"'+ — и„~ 4 = — — п„(1 — соха) — 4. п 4, е Изменяя начало координат так, чтобы направление гм,р изменялось на 180', получаем формулу Кирхгофа, удобную для расчетов поля высоких частот: Ч~(грм ) = — — о„(1+ сох б) — д1, (Ш,2,14) где интегрирование проводится по поверхности излучателя. 24б 4 тп.з. Функция источников Необходимость задания двух граничных условий для решения краевой задачи с помощью интеграла (П1.2.12) можно устранить, если подобрать вспомогательную функцию ф(М,).
Допустим, что потенциал в точке М„определяется интегралом Кирх гофа: Р)е ' ° д де — и м,р Ч~( !О) = - ) 1 — ~Р(гм.р) - Р(гМ.Р) — й). д дп гмр (П 1.3.1) Запишем для рассматриваемой области формулу Грина: (П! .3. 2) где ф — некоторая вспомогательная функция, удовлетворяющая уравнению Гельмгольца. Складывая (П!.3.!) и (П1.3.2), получаем ) (Р ~~ х1 р) дп ~Р (~ мо~ ) д й1 (П1.3.3) де(гм,р) дд(гм„р)1 где Р(гм.р) =ф(гм,р)+е ' 'м р/(4лгм,р). (П!,3.4) Пользуясь некоторой неопределенностью в выборе вспомогательной функции ф(гм,р), можно в интегральном выражении (П1.3.3) освободиться от одного из граничных условий.
С этой целью определим функцию выражением Р(гм.м) = ф(гм,м)+ е ' 'м м /(4лгм м). Нетрудно показать, что данная функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца и конечна для всех точек М~ М„. Если имеется первая краевая задача, т. е. иа поверхности 1 задана функция <Р(гм,р), то для упрощения интегрального решения (П1.3,3) надо подобрать функцию ф(гм.м)м-р=ф(гм.р) так, чтобы Р (гм,м) = 6, (гм,р) = ф (гм.р) + е ™ Р!(4лгм,р) = О. (П1.3.
5) м р Здесь Р— точка на поверхности 1; М вЂ” точка внешней области; М,— точка, где Р-рсо (рис. 1П.3.1). Тогда интеграл (!П.З.З) примет вид д61(гм р) Ч (гм,р) =- — % (гм,р) ' 4. да Функцию 6, (гм,р) называют функцией Грина первой краевой задача. 247 Если имеется второе краевое условие, т. е. на поверхности задана производная потенциала по нормали, то в качестве функции Р (гм,м) находят такую, чтобы на поверхности исчезала ее производная: др (ги,и) дй,(гм р) д3) (гм р) д с мбг = О. (111.3,6) дл м г дл дл дл 4пг и е При эхом условии интегральное решение принимает вид сг(гм.г) = ) бс(гм.в) ~Ч. дт ('м.г) (П 1.3.7) Функцию 6,(гм„в) называют функцией Грина впюрой краевой задачи. Функции Грина, или функции источников, обладают следующими свойствами: 1.
Функции 6, и 6, должны быть решениями уравнения Гельмгольца во всех точках пространства, исключая М„ где они обращаются в бесконечность. 2. Функция 6, первой краевой задачи для точек поверхности 1 обращается в нуль. Функция Грина второй краевой задачи на поверхности ) отлична от нуля. Однако исчезает и М производная по нормали (дб,гдп = 0). 3. Каждая из функций Грина 6, и б, содержит суперпозицию двух полей: точечного источника с производительностью, равной 1, и ф(гм,р), представляющего собой поле сферической волны, рассеянной на поверхности г. Поля ф(М,Р) и точечного источника должРис.
П1.33 ны удовлетворять тому или иному граничному условию. 4. Функции Грина должны удовлетворять условиям излучения и, кроме того, быть непрерывными в любой точке пространства, не занятой источником. Для построения функции Грина необходимо решить задачу о рассеянии поля точечного источника на заданной поверхности. Матемагическая формулировка этой задачи сводится к следующему: найти решение амплитудного волнового уравнения - 0 при М,~М, б (гм,м) = со при М,=М, Лб+ й'6 = б (гм,м), удовлетворяющее одному из граничных условий 6 ~г =0 или дб)дп ~г— = О, условиям излучения и условию того, что это решение содержит суперпозицию поля точечного источника и некоторого дополнительного 6 = + ф (гм„р).
4лгм,п й П1.4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ПЛОСКОСТИ 1-1айдем функцию Грина для полупространства, ограниченного плоскостью 2=0. Точечный источник А!е (рис. П1.4.1), помещенный в свободное пространство, создает сферическое поле. На безграничной плоской поверхности )у,д'е сферические волны отражаются и создают дополнительное поле, являющееся полем зеркального изображения на плоскости действительного источника.
В результате супер- позиции первичного и рассеянного полей получается полное поле точечного источника при наличии плоской поверхности — !ЛСИОМ Е вЂ” МГМ!и г (гм,м) 4 +А 4яг 4пемеи ' где М вЂ” точка полупространства; М,— положение точечного источника; М, — положение зеркального изображения точечного источника; А — постоянная, которую можно определить из граничных условий. и Рис. 11!Як! Рис. !1!.4.2 е — м~м р О Так как елыр =г ~,р (рис. П1.4.2), то 4 (!+А)=0, 4лгм,г следовательно А = — !.
Таким образом, первая функция имеет вид — м м,м Грина для полупространства е -м'л! м (П 1.4. 3) 4пгм,м 249 В зависимости от характера граничного условия из (1П.4.1) получается первая или вторая функция Грина для полупространства. Для первой функции Грина должно выполняться условие (П1.3.5). Расположив точку М на плоскости, получим е™м,е (П 1.4.2) где гм,е — расстояние между точками М, и Р, лежащими на плоскости Л',)Уе; гм,р — расстояние от точки М (изображения источника) до Р. Производная по нормали от этой функции есть дь/ ! 1 ' 1+1е/м,р дгм,р — м х/ р дп !1м р 4л1 гм р дп / /и/р) 1+1 /м,р д'м,р — /м /м/, дп Здесь каждаЯ из пРоизводных дгм,р)д/1 н дгм,рп)п ЯвлЯетсЯ косинусом угла между направлениями нормали и н векторами гм,р и гм,р. Заметим, что угол пгм,р тупой, а угол пгм,р острый, дополняющий первый до 180'.
Поэтому д/м р дгм р дп дл (П1.4,4) Принимая во внимание равенство гм,р =гм,р, получаем производную функции Грина для полупространства в точке Р: дп 1е — — (1+ (Ь'м.р) соз~,пгм,р) (1П.4.6) 'м,р Интегральное представление решения первой краевой задачи имеет вид 1 Р / Ч/(/ц,) = — — /с(гм, ), (1+ )йгм,р) соз1пгм,р) 4 (П1 4 6) Формула (П!.4.6) представляет собой суперпознцию полей диполей, расположенных на плоскости и излучающих в пределах телесного угла 2п. Для второй краевой задачи функцию Грина полупространства строят аналогично. В этом случае Е(М) должна удовлетворять второму граничному условию (П !.3.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
