Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Нетрудно видеть, что ~я~в л (!У.3.3) дл ~вв Таким образом, полная реакция поля может быть рассчитана по формуле -«" лв Е'=Е'в+Р'л=)' —" ~ ~~ г)ол гЬд. (1Ч.3.4) о,~,ал На рис. 17.3.1, б изображена поверхность круглого излучателя. Она разделена на две части: кольцевую В и центральную А с радиу- а) П .. 1Ь.ЗЛ сом и.
Расположим элементарную площадку йод так, чтобы она примыкала к окружности, разграничивающей области А и В. Звуковое давление в точке г1ад, создаваемое источниками, расположенными в пределах центральной области, равно . 2вл, Г е Рв~д =! ') пол л 5 вл Элемент площади вол = глд г1гр г)глд, поэтому -/Фалд ол 'лв ~л +вв 2и совая вд =2 ~ ~~( — —.
— л!2 а --"1' -- -»"=И-1) о л/о где !, = ~ е '/о'"'о/(/р — комплексная функция от й// Действительная о часть втой функции согласно (Ч!.2.3) и (1Ч,2.4) равна '-ойдо(2//и), мнимая '" — 5о(2)/и), 5о(2//и) — функция Струве нулевого порядка, т. е. лг /о а/2 ~ СО5(гСО5/Р) йр — !' ~ З!П(гСО5/Р) /(Ч/= ~ Е-/'оо'О//Гр, о о о л/2 с05 (а соз ~р) /Ьр= 2 охо (а о $1п (а соз Ч/) /(гр = — 5, (е). 2 о о (!Ч .3.5) Используя интегральные представления функций то и 5, (17.3.5), получаем . 2рсо„2! Гл Раов = ! Х" — а — ~-2 — ото(2//в) — ! 2 5о(2//а) — 2 ~ = = рси„! ! — а7о (2//и) + !5о (2)/и)!.
(17.3.6) а г = ~ Ра /в///о(В) =-2л ~ рсв„(1 — аУо(2/ги)+ !5о(2)г//)! ис)и = ов о 2оУ, (2//а) . 25, (2аа) 1 (1 1/.3.7) разлепив (11/.4.7) на амплитуду скорости в„, получим формулу импеданса поршневого излучателя в экране: о(! 2ор,(2аа) ! 25,(2//а) ~ (р! 3 6 или Л = рсо (х+ !р), где 2 7, (2аа) (Ьа)о 1 (//а)о (//аР 2//а 2 ) 6 ' 72 25, (2//а) 8/га ~ 4 (аа)о !6 (//а)' (11/.3.9 Ц = 2Аа Зл 15 — !— + — — ".
525 — безразмерные активная и реактивная составляющие импеданса, Для низких частот (//а(2) в формулах импеданса можно ограничиться первыми тремя членами (!Ъ'.3.9), а при //а(~1 — только (//а)о 8/!а первым членом х —, р — —.
Для средних и вь.соких частот 2 ' Зл следует пользоваться таблицами [6!. Полная реакция поля на всю поверхность излучателя выражается интегралом Рв, взятым по всей области В: В пределе Аа-»-оо формулы импеданса упрощаются, поскольку в них войдут асимптотическне выражения функций Бесселя и Струве: 2а , (г) 1 25, (г) 2 Таким образом, импеданс круглого поршневого преобразователя высоких частот опредечяется формулами х 1; у — О. гга о» гга со На рис. !Ч.З.2 даны графики составляющих х,=рсх, у,=рсу импеданса пульсирующей круглой шайбы в экране. При больших значениях (га значения х, и у, приближаются к предельным. 7!а, кгу(м'с 700 0 007 007 0,7 7 70 0,07 Рис. !Ъ',3.2 Предельный коэффициент излучения рассмотренного источника 1 1 Ч 1+ )'7(гсХ) 1+(2аа) 5»7(а (2аа) — а » (2аа)1 При высоких частотах т) =1, а прн частотах, когда (га(1, 1 ! +0,08Х(а ' Коэффициент осевой концентрации излучателя можно, вообще говоря, вычислить по формуле (Глг.1,10), В этом случае задача сводится к вычислению интеграла ' 2а711(да(2) мп О! (Глг.3.
1О) [(аа(2) яп а)' о Однако в данном случае удобнее воспользоваться тем обстоятель- ствола, что активная часть импеданса уже известна, поэтому можно непосредственно найти среднее значение интенсивности, а затем воспользоваться определением коэффициента концентрации (1.2.24). На основании (П1.2.8) интенсивность равна (! л(.3.1 1) и акустическая мощность излучателя !, ! Ол Р = — хп„'= — рсх —, (! лг.3.12) где х — приведенное значение реальной части импеданса.
Для круглого преобразователя х можно взять из (П1.3.9) и подставить в (П!.4.12): Подставляя еа (О) и Р в общую формулу коэффициента осевой концентрации, получаем к= —."' ')' (1Ъ'.3.14) Х,л 1 — 2У,(пО(Х))(пО(Х) где г(=2а — диаметр поршневого излучателя. Для числовых расчетов коэффициента концентрации энергии при различных е((Х удобно воспользоваться графиком, изображенным на рис.
1Ч.3.1. $ (У.4. ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ КРУГЛОГО ПОРШНЕВОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ НА ОСИ Расчет звукового поля для любой точки пространства удается провести приближенными методами с применением бесконечных рядов. Выполним расчет поля круглого поршневого излучателя только в точках, лежащих на его оси. Как это будет видно, здесь можно использовать точные формулы. Ось излучателя совместим с осью 2 (рис.
%.4.1). Обозначив расстояние от центра О до элемента площадки да через ОА =х, а расстояние от точки А до точки наблюдения М вЂ” через г, запишем интеграл Рэлея для давления ру в точке М на оси: е>иеа . Г е >"' 265 Примем площадь узкой кольцевой полосы, ограниченной окружностями с радиусами х, х+с(х, за элемент площади о(о и выразим расстояние г через радиус кольца х и расстояние до точки Лг. Тогда г= Ухо+го. При этом давление на оси а °,— Ы1' *+.
р,ч — — /сори ~ ' хНх, о 1' х'+го где а — радиус излучателя. Введем новую переменную и=~ х'+г'1 (17.4.1) ри = )сори" 5 -'- е-"аи г(и = рви.е-г"' (1 — е — м т'"+" — '). (1Ч.4.2) а Обозначив )с (~Га'+ г' — г) = а и воспользовавшись формулой Рис. 1УЛ.1 Эйлера, после элементарных преобразований получим 1 — е-1" = 2/~ з(п — ечч (ср = (и — и)!21. 2 Тогда давление на оси (17.4.
3) где и=2п-' ()'! +аз!го — 1), (17,4.4) Ф и — и (2г1Х) (1' 1+ао1го — 1) — 1 2 — Л 2 266 Как следует из (1т'.4.3) и (1'т'.4.4), давление на оси выражается сложной функцией от расстояния г, отличающейся от той, которая описывает плоскую волну, тем, что ее амплитудное значение периодически меняется от 0 до 2рсо„, а начальная фаза ср зависит от г1). и а1'),. Введем обозначения: р'=р(г)~ро; г'=-г!); а'=а1Х и представим (1о'.4.3) в форме безразмерной функции от безразмерных переменных: р' (г') =~ зги (г ' ~ е-пакеl 1аок '1 — ана (1Ч.4.5) 2 Здесь которые имеют решения общего вида и=2лг'(3/1+(ауг')' — 1)=пл (п=-О, 1, 2, 3, ...).
(П7.4.7) Отсюда координаты точек (где рл = О или рл=!) (а')' и г' = — — —. и 4' (1Ч.4.8) Четные целые значения и соответствуют точкам, где давление равно нулю, нечетные — точкам, где давление равно единице. Наиболее удаленная точка, для которой р'=О, имеет координату г'-+.со (и=О). Наиболее удаленная точка, где звуковое давление имеет максимальное значение, расположена на расстоянии г,' при п=! (г',=а' — 174). Если пользоваться обычными единицами длины, то расстояние до наиболее удаленной точки с максимумом амплитуды равно (! Ч.4.9) В геометрическом центре поверхности излучателя амплитуда дав- ления может иметь значение, лежащее между О и 1; в размерных величинах — между О и 2рп„. Точное давление в центре при г'=-О определяется формулой (1Ч.4.5) а(0, а') Р, = ! з!и .
2 — — ~ з(п ла'~. При целом а' = а!) амплитуда давления равна нулю; при а' полуцелом амплитуда ~, р„', - 1, Рассмотрим значения фазы Ч~ (г', а') в экстремальных точках (1Ч.4.8). Согласно (1Ч.4.4) и (1Ъ'.4.7), а„и /и )и га 2 2 ',2 72' Для точек, где имеется максимум давления и, равно нечетному числу (п=2т+1): 267 а(г', а') = 2лг'()/1+(а')г')'- 1); (1 17.4.6) г' — координата точки М в длинах волн; а' — радиус излучателя в длинах волн. Выражение (1Ч.4.5) можно рассматривать как функцию, описывающую квазиплоскую волну с амплитудой, изменяющейся в пределах от О до 1, и начальной фазой, изменяющейся в зависимости от координаты г' и параметра а'. Экстремальные значения амплитуды соответствуют координатам г', удовлетворяющим уравнениям щп =О, жп, ~=1, и (г', а') ' (, и(г', а') 2 т.
е. фаза кратна нечетному числу и/4. Для точек, соответствующих нулевому давлению, и равно четному числу (и=-2т): 12т ',л л ср, = ~ — — 1 ! г2- = 2 (т — ! ) —" (т = О, 1, 2, ...), 2 ( 2 4 т. е. фаза кратна четному значению и!4. На рис. 1Ч.4.2 даны кривые изменения амплитуды приведенного давления р' на оси поршневого круглого излучателя для случаев а'=5 (а) и а'=!О (б). Следовательно, вблизи излучателя волновой процесс очень сложен. В области от г„'= О до г'= г,'= и = а — 1)4 амплитуда и начальная фаза изменяются в зависимости от расстояния г' и пара- Р' г г г г г) г г' г' метра а. В связи с этим эту область поля можно назвать ближним полем.
Его протяженность равна г,'=а' — 1!4 или гг = — — — 4 —. (!Ч.4.!О) г, г' Р) Для расстояний больших, чем г'„ начинается область норис. 1Н.4.2 ля, когда амплитуда давления медленно убывает с расстоянием, а фаза монотонно изменяется, стремясь к лу2. При этом и г 1 ,Я з)п~пг ' ~У ! + ( —,1 — 1~ = 81п (лг'(!+а')2г'" — !Ц = з)п и —,, 2г' ' Иначе говоря, амплитуда уменьшается с расстоянием как Гл аг1 з)п — —, ы а фаза — по закону '12 г'1' ла'~!(2г') — л л 1~ а' 2 2 ~2г' С увеличением г' фаза приближается к своему постоянному значению — пР2.
На некотором расстоянии г' от излучателя величина ла"1(2г') может оказаться настолько малой, что без существенной ошибки можно воспользоваться приближением з(п р =-(3. Закон изменения амплитуды принимает вид з(п: —,) — -- —,. ( 2г' ) 2 г' В данном случае фаза будет постоянной и равной — п)2. Начиная с этого расстояния, звуковое давление на оси излучателя измеНястея ПО ЗаКОНу рЮ вЂ” †††, Š— 1""'Егл", ИЛИ 2 г' ри = 2лрси„а' — е Рме = рс —" е Риге, (17.4.11) 268 где (г„=лаго, — объемная скорость, или производительность, источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
