Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Вместо образования устойчивой интерференционной картины в каждой точке происходит сложение интенсивностей волн, К явлениям рассеяния иола относятся также процессы рассеяния от непод. вижных неоднородностей, хаотически распределенных в сплошной среде. Вследствие неизменного характера неоднородностей все они являются источниками когерентных волн, которые дают четкую интерференционную картину. Явление когерентного рассеяния, строго, говоря, следовало бы назвать дифракцией на совокупности стационарных неоднородностей.
Однако поскольку при некогерентном и когерентном рассеянии существенную роль играют статистические закономерности, в обоих случаях применяют термин рассвянне волн. В литературе часто к явлениям рассеяния волн относят также процессы образования вторичных волн на отдельных стационарных неоднородностях, например явления отражения звуковых волы от подводных объектов, электролгагнитных волн от радиолокационных целей и т. д, Эффект рассеяния зависит от соотношения между длиной волны и размерами рассеивателя.
Если длина волны сравнима с размерами рассеивающего предмета, то в этом случае рассеяние, по существу, есть дифракция волн. К дифракции принадлежит рассеяние на периодических структурах, а также на пеоиодически шероховатых поверхностях. Среди исследований этого направления известны работы 1!81, [[91, !201 и др. Некогерентное рассеяние, т.
е. рассеяние на случайных неоднородностях с установившимся распределением, а также с распределением, меняющимся во времени, проявляется в другой области явлений рассеяния, где преимущест. 284 венное значепне имеют статистиче.кпе закономерности [рассеяние звука на пузырь. ках воздуха в воде [б), на случайных слабых неоднородностях [2[), на поликристаллах [22), [23), в твердых неоднородных средах и рассеяние на турбулентностях в атмосфере [24[). в УД. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ Звуковая плоская волна не может оставаться прежней, когда в пространство, где она распространяется, внесено тело, свойства которого отличны от свойств среды. На поверхности тела возникают отражение и преломление плоской волны.
В объеме тела появляется колебательное или волновое движение, а во внешнем пространстве— дополнительное поле за счет отраженных волн. В результате волновое плоское поле изменится. (Степень искажения волнового поля инородными предметами играет большую роль в технике измерений, так как прибор, который выполняет ту или иную функцию измерений, сам искажает первичное поле.) Волновое поле в присутствии инородного тела должно удовлетворять волновому уравнению, граничным условиям и условиям излучения.
Действительно, плоская волна, хотя и подчиняется волновому уравнению, не может быть единственной в пространстве, как это было до внесения инородного тела, поскольку не выполняются граничные условия. Функция, удовлетворяющая волновому уравнению и граничным условиям, в этом случае состоит из функции, выражающей плоскую волну, и некоторой функции, определяющеи рассеянную волну. Существует множество ситуаций, которые приводят к явлениям рассеяния. Однако только немногие нз них поддаются строгому математическому анализу.
Математически полно задачу о рассеянии звука удается решить только для тел правильной геометрической формы, не имеющих острых краев, например для сферы бесконечного длинного цилиндра, сплющенного эллипсоида вращения и др, По типу граничных условий различные случаи могут приблизительно подходить к условию Дцрихле, когда на поверхности тела давление обращается в нуль (в дальнейшем это граничное условие обозначим буквой Д), или к условию Неймана, по которому иа поверхности в нуль обращается нормальная составляющая скорости (Н).
Могут быть промежуточные случаи граничных условий. Математические задачи о рассеянии на одиночных рассеивателях формулируются следующим образом. На тело определенной формы падает плоская волна, заданная потенциалом с единичной амплитудой: Чт~ = ет'""-" '. Требуется найти потенциал поля рассеянной волны, а также потенциал Ч" (г, [) полного поля, возникающего в результате наложения падающих и рассеянных волн: Ч' (г, Г) = Чт~ (г, )) )- Ч', (г, Г), Полное поле должно удовлетворять волновому уравненшо (Чг.1.!) и одному из типов граничных условий на поверхности тела: Ч „=,„=0 (Д), — / =0 (Н) дЧ' дгг г=г, или дЧ' дчгг дЧ' дчгг дгг дгг ' Рг дг Рс дг где Ч" и Ч",— потенциалы поля во внешней среде и внутри тела. Кроме того, рассеянное поле должно удовлетворять условиям излучения г ( д + 1 Ч ) О ( ) Ч О ( ) б Ч.в.
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Допустим, что на цилиндре бесконечной длины перпендикулярно оси падает плоская волна (рис. Ъ'.2.1). Выберем цилиндрическую систему координат с началом в точке О, лежащей на оси цилиндра. Тогда 1(гг е/ [ггг — дгг)~ емггг — Фг соя тг (Чг 2 1) гг где (с — волновой вектор, гр — угол меж- А ду(си Потенциал скорости рассеянной волны представим в виде суперпозиции цилиндрических волн (П.1.10), исходящих из точек оси цилиндра: Рис.
Н.2.! Чг,=ес"г~;А соз(тгр+а )Нг'(лг). (Ч.2.2) Потенциал общего поля определяется суммой потенциалов полей (т".2.1) и (Чг.2.2): Ч' = еья (е — м'"'т+ ~ А„, соз (тгр+ а,„) Н„'" ,(йг)1. (Ч.2.3) Постоянные А„и а определяются на основании граничных условий; из двух ханкелевых функций в решении (Чг.2.3) выбрана вторая НД (лг), которая для выбранной временной зависимости потенциала удовлетворяет условиям излучения. Рассмотрим рассеяние волн на жестком цилиндре, когда выполняется граничное условие (Н). Для того чтобы воспользоваться граничным условием и определить постоянные А и В, необходимо разложить функцию, соответствующую плоской волне, в ряд Фурье.
286 Известно, что это разложение имеет вид е — )э э=а а(г)+-2 ~ у '"а (з) соэтср= ~',васу-"'=. „(г) соэтср, т=) 1 при т= О; где е 2 при т = 1, 2, 3, ... Исходя из этого, потенциал поля (Ч.2,3) представится как Ч"=ег"" Ч'е,а (йг) сов тсру- +А Н" (Ь) сов(тср+а ). (Ч.2.4) Запишем также формулы для скорости о, и давления р: дЧг о дг = — Угегас[2; е„у- а ' (Угг) сов тср+ А„Н 1' (аг) соз (г)сср.+а,„)1; (Ч.2.5) дЧ' р=р — = )~рву сХ ) а )Й ) Ф 4) А ОЮ')Й ) ) с )- ~)1. )с.2.6) ). ас = 0 Если выполняются граничные условия типа (Н), иначе говоря, если при г = а радиальная скорость на поверхности обращается в нуль, то из (Ч.2.5) получаем тождество е у.
„',(Уса)созтч)+А Н)' (Уса)соз(тср+сс )=О. Это тождество справедливо прн а „', (уса) у ас (Ч.2.7) Н"' (Уса) Если выполняется граничное условие типа (Д), то, приравнивая к нулю давление при г=а, получим из (Ч.2.6) (Ч.2,8) Подставляя (Ч.2.7) в (Ч.2.4), получаем потенциал поля искаженной плоской волны для акустически жесткого цилиндра; а ' (да) Н„"(дг) 1 Чг = еУа) ~ е у' ~ а (Усг) —, '" ~ соз тср; (Ч.2,9) Н"' (Фа) о, = — йе)" г е„,у'- а ;, (аг) —,„, ~ соз тср; (Ч.2.10) я=а Н„",' (Ь) 1 р = урсае)ас ~) е у- р (усг) — а ' (аа) "', -~ соз тср. (Ч.2.! 1) нд" (л ) ~ Для акустически мягкого цилиндра формулы такие же, только вместо производных а ,'„(аа) н Н'„" ,(Уса) следует брать а „(Уса) и Н;„" (аа).
Наконец, формулы поля рассеянои волны имеют вид: Н;,; '(Ф!) Ч',=- — е!'"' э е„,) '" Ум(йа) ",,', соэ т4(, (Ч,2,12) И„- (Ог) о„= — Ае4тм Р е !' '" ОУ„, (!Оа) ",4„О ) соэ п4 р, (4!.2.13) — .йй 4!=О О„; (Ог) р4 = /4Оре4тм у е !' ар„, ()га) „"', соз тг(О (Ч.2.14) ((;,' (ОО) =-О дч'! Поскольку давление в плоской волне р, =о ' =- /вое44ие- !"""О, д! то множитель )ООре!"!4, входящий в (Ч.2.1!) и (1!.2.14), выразим через р;: !ООрс(44! р Е!4! со!а Тогда р = р,е!" '" О ~~~~ е !'-'" ( У„! (йг) Н „', ()Оа) — 7,'„(йа) Н~ (йг) ! —,~,(4!.2.! 5) ~л ( р,= — р е!"''"'! 44 е )- О7,'„(!!а) Н„,(44г) О, ' 'О =Яр;~,' --,(4!.2.!6) "~л ( ') т=О где й — комплексный коэффициент отражения: ОУ„', (Фа) Й =- ~ — в !',"' — Н (Ь) сов т4(4 1' — ем""4О.
(1! 2,17) П;„(О ) !' О Болыпой интерес в измерительной технике представляет расчет искажения волны, которое вносится жестким цилиндром. Судить о степени этого искажения можно, если вычислить отношение давления при наличии цилиндра к давлению в своооднох! поле. Давление возмущенной плоской волны представим как р = р, + р, = р4+ р4Н ))( —; = р; ! 1+ )7 ~' —, ~. Ж.2.18) Для Аг)2 воспользуемся асимптотическим представлением функции Ханкеля: Н (г) !'" 1у . е — 44! — н -Г2 ОО и представим коэффициент отражения Я в виде О' т (~ ) )(= — ~~ е„,,'" созе!4(4 1г,! — ~' -' е — 444 — (44+(О У яд! ~' а т= О Ор~ (Оа) — т е, сов як~17 — е — гм!' — ОО4О!е(О 4= И,'„(Оа) лба т=О =- — у'! (/и, гр) е — !"! н — '" О! ГДЕ )'п(йа, 4Р) — фаКтОР ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ЦИЛИНДРа; %1 и~у~ (на) )44, — )7, = У, (йа, ср) '~ е,„,'н соз тср 17 — — е)н'4, '" и;„(па) р' л/на 44 = 0 С введением фактора возмущения отношение давлений возмущенного поля к свободному для йг-»2 имеет внд Р =1 — е )"'н "'ю1~ — Гп(йа, ср), Р» и где й = ы/с — волновое число; г — расстояние от оси цилиндра до точки наблюдения; 4р — угол, составленный между направлением распространения плоской волны и направлением от оси цилиндра до точки наблюдения; а — радиус цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
