Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е ~1+76т. Исполь)бт зуя асимптотические значения 6т(йа) и Рм (йа), получаем (Р) ~ е) ! Р,) ~1 — — )йа(1 — ожбз)]. Г 3 аа~ ( 4 (Н.4.19) Таким образом, дифракционный коэффициент для сферического микрофона с углом раскрытия 6, выражается формулой )б' (аа) е 0 — ~, (1 — соз бз)+ йзаз 1 — соз ба 1 Ра (Ва) )б,'„ (Ьа) + ~ ~ , (Рт ) (соз Оа) — Рт„, (соз Ва)) .а а )™Рт (йа) В частности, для низких частот Р !+-- бааз(! — сааба)з.
9 16 (Н.4.20) 302 Для сферического жесткого микрофона поверхность не ограничивается площадью диаграммы, а составляет поверхность полной сферы. При выводе формулы среднего давления необходимо расширить пределы интегрирования и вычислить интеграл формулы (Н.4.17) в пределах от О до ч. В связи с этим необходимо вычислить ~ (2т+!) Рт (соз О) яп 6 Ж На основании свойства ортогональности полиномов Лежандра (см. приложение !) получаем (2т+1) Р (соз О) яп 0((В= ( 1 при т=б, = (2т+ 1) ~ Рт (соз 6) Р, (соз 6) з!п 6 ((В = ~ 1 О при т~ О. Среднее давление на всю поверхность сферы равно /а' сеа1 -~- ню ,ре, е (Ра! = (э а Если воспользоваться формулой Р, '(а) =, то получим )С)+аз дз !(нича'Мец 'ре е 'Рэ1 (ЮГ-'-ао 1рх — ' йэаа е ' о ' йэоэ Р 1 -4- йэпэ Р 1 + йэоэ Отсюда дифракционный коэффициент сферического микрофона (Рь) ~ ~~ сф ~ Ре1 'Г'1+4 о' ' (Н.4.21) (Нив 22) Дифракционные коэффициенты, рассчитанные по формулам (Н.2.28) и (Н.4.22), относят к микрофонам, когда выполняются граничные условия Неймана.
Обычно микрофоны отвечают этим граничным условиям, если чувствительный элемент выполнен из пьезокристалла. Но если в микрофонах применяют подвижные элементы (например, ленточный микрофон), то необходимо все расчеты изменить и учесть импеданс активной части его поверхности. Теорема взаимности в акустике. Если известно давление на поверхности цилиндра и сферы в плоском звуковом поле, то можно выяснить, выполняется ли акустическая теорема взаимности для цилиндра и для сферы. В формулировке Гельмгольца теорема взаимности гласит: если в заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающимися на конечное расстояние неподвижными телами, в какой- либо точке А возбуждаются звуковые волны, то обусловленный ими в какой-либо другой пючке В потенциал скорости и по значению и по фазе совпадает с тем, который имел бы место в А, если бы в В находился источник звука.
Допустим, что в точке А находится точечный источник с производительностью йЩе=оай5. На расстоянии В от А в В поместим жесткий шар с радиусом а. Давление на поверхности этого шара будет обусловлено давлением падающей и рассеянной волн и определяется формулой (Ч.4.!5), где р,— амплитуда свободного звукового поля простого источника: Оо 11мГ ая~ во е =- 4п)1 Давление на поверхности шара равно р. = (хор ' —,х, Г" ефе ~чаи эя) 1 кт. „Р (созе)(2гл+1) (а' га) (Ч.4.23) е 4п)1 йэпэ (тЗп~ (йо) При этом В находится на поверхности шара.
Радиус-вектор а, проведенный от центра шара до В, с направлением (4 составляет угол 0 (рис. Ъ'.4.4). Поместим точечный источник, ранее находившийся в точке А, в точку В на поверхности сферы. На основании формулы излучения точечного источника, расположенного на поверхности сферы, давление 303 в точке А Рз=(рс 4,~ / (2т+1) .~,",' е "' Р (8)К с081 т (ьр) м мю т=с м' мы х '(2т+1) '"(,)' е-) гП,с (Фа) поскольку 0 (я)с) е '~ мя' / — е/" а.
ся., ьр Точечный источник, помещенный в В, занимает площадку на поверхности сферы сБ = ла' з1п' 8„= ла8„следовательно, объемная скорость с(Я,=п,с(5=а„ла'8',. Выразив п,8; через объемную скорость, получим Р,= рсс — 'е)~""-'р) — ~~(2т+1) /-,,( ) е" '"', (7,4,24) А — 1 Ьсас 4лР Из сравнения (Ч.4.23) и (Ч.4.24) видно, что давление, создаваемое в удаленной точке А малым источником, расположенным в точке В а на поверхности сферы, как по амп— литуде, так н по фазе равно звуко- вому давлению на поверхности сфер ры в точке, ранее занимаемой источ)рр) ником, если источник находится в я а точке А. Этими рассуждениями полностью подтверждается акустическая теорема Рис.
У.4.4 взаимности для точечных источни- ков, один из которых расположен на поверхности сферы, а другой — в достаточно удаленной точке пространства. Аналогично можно показать применение акустической теоремы взаимности для пульсирующей линии и образующих цилиндра. Строго говоря, теорема взаимности доказана для конечных источников и использовать ее для данного случая некорректно. Однако если рассуждения применить для единицы длины линии, считая, что волна строго цилиндрическая, то получается полная тождественность полей, если линейный источник и образующую цилиндра поменять местами.
Ф тг.а. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ РАССЕИВАЮЩЕГО ШАРА Для дальнейших преобразований полученных формул и их анализа удобно выразить комплексную функцию й (г) через модуль и фазу: 6,„,(г) = 1'„ (г) — )п (г) = В (г) е г где 1Я ещ (г) = . ~ ~ ; Вщ (г) = )~ [),д (г)1 + ~пщ (г)1 ° 304 Однако, чтобы воспользоваться табл. П.П.З приложения 1! для этих функций, следует вместо фазовой функции е (г) ввести б (г) = = е (г)+п(2. Тогда й (г) = 11г (г) е 0 (Ч.б.
1) где з!и [6 (г)1 = 1 ; соз [б (г)1 = — †" . (Ч.5.2) Модуль 0„' (г) и фазу 6„' (г) производных цилиндрических функций Бесселя с(г Ог ' Нг выражают формулами: 0' =)Г[!' (г)10+ [и' (г)1', 1' (г) л (г) з)п [б' (г)1 = — — ",, сох [б' (г)1= Рт (г) Рт (г) (Ч.5. 4) где л!т (г) 100(г)= г = 2 1, [т(т г(г) — (т+!))тгг(гН' и' (г) =,„= — „,, [ти (г) — (т+ !) и . (г)] алт (г) 1 Асимптотические значения сферической функции 1 1 2 (при г»т, г)) 1) + 1) . т Р ( 5) /т ((гс) сог бт+ лт ((гг) 01п бт Фл т=О е =еУ"" '5 (2т+1)(- Р (созб)[/(йг) сох 6' (Уга)+ т=О + и (Аг) з(п б' (йа) ! е~~ Ч", = — е7тг '5 , '(2ги+1) 1-(тепег ""'бт (lгг) з(п б' (йа). =о (17.5.5) 505 4 0 57,5'г гтег 60 ' 60 з г ' бт (2т+1)1(2 1)9 бт= — 1 6, причем (2т — 1)!! =1 ! 3 5 7... (2т — 1) и г((2т — !.
Основные формулы поля (Ч.4.9), выраженные через модуль и фазу й' (йа), имеют вид: Для дальнего поля (йг)~1) Ч",= — е(ти г (2т+1))' Р (сох 6), - — е-дме(("'(вэ= 1' (ва) 1 Ь' (((а) ((г т=О ври(-лг~ — ~ (2т+1) Р (сов б) з!п6'е' ' ". (Ч.5.7) Давление, колебательную скорость и интенсивность определяют формулами: р, = — ) — 1' е)("(-л') ~ — -) 5 (2т+1) Р„(сов б) з!п6'ем '"', лг со т О (Ч.5.8) о,— — — 1 е((""-"")( — ) ~ (2т+!) Р (сох б)з!пб'е)~'"(", м=О (а, = — Ке (р*,о ) = ит( ( — — ) ( — ) э (2т+ 1) (2п+ 1) м м,л Хр (сов б) р„(сов б) э(пб„',з!п6;сов(6' — 6„'), (Ч.5.9) — ) — е" л '~ — 1 (2т ';1) Р (сов в) яп 6 е (лр,„( „1 а ) 'д (вы П вЂ” Ыре!(и( Юсояв( — / (Е-ую ((-сова( (Ч.5.10) где ге = Х„+))',; Хр — — — г'(2т+1) Р (созб) з!о[26„'(яа)); )г,= — г (2т+ 1) Р (сов б) з!п'[6' (/га)).
Штенцель [15) провел подробные расчеты параметров рассеянной волны для значений волнового фактора йа в пределах от 0,5 до 1О. Расчеты сделаны с использованием других функций и содержали вычисления комплексного коэффициента отражения по давлению гр. Отношение интенсивности рассеянной волны к интенсивности падающей называют коэффициентом рассеяния по интенсивности 5. Для где ел( =(вря!2 — интенсивность плоской волны. В теории рассеяния звуковых волн результат анализа приводит к нескольким функциям, характеризующим рассеяние. Этими функциями являются: коэффициенты отражения г, и гр, рассчитанные по давлению и отнесенные к единице расстояния; коэффициент рассеяния 5, рассчитанный по интенсивности и отнесенный к одному метру расстояния, и площадь эффективного сечения рассеяния (~,.
Коэффициент отражения по давлению г, есть отношение давления в рассеянной волне к давлению в волне падающей: волны, рассеянной на сфере, З = — ' = ~ — ~ — ~' (2т+ 1) (2н+ 1) Р,„(сох 0) Р„(соз а) сох(6' — 6'„) х ха(п б' з)п б'„ег('"5 (Ч.5.11) Коэффициент рассеяния зависит от отношения размеров сферы к длине волны (2паг)о) и от угла и — 0.
На рис. Ч.5.1 показаны полярные диаграммы ог' для рассеянной волны на сфере при выполнении условия Неймана. 90 90' мп' 7ва' 0 гга' 90' вп' о гго. 700'а' 7ва' 50=0 270' ва' гга' 059в м 7вазе - аа 270' Ко 270' Рис. '57.ЗЛ Чтобы вычислить полную рассеянную мощность, необходимо проинтегрировать интенсивность по поверхности сферы радиусом а. Выбрав элемент поверхности в виде полоски с угловой шириной Щ = гз)п 82л да, ЗО7 Отношение полной рассеянной мощности к интенсивности падающей волны имеет размерность площади и называется зффекагивньсм поперечником рассеяния: (55 Е5 г ( 57,5.
12) получим дта= „', У (2т+1)(2П+1)з!Пб' з!П6;ге'(~'" п)х гп = О п=п -1- ! со Х ~ Р (р) Р„()а) е()егт2п = —,' 4п ~(2еп+ 1) з!Па 6;п, — ! =-и +! 0 при п~пу, так как ~ Р (р) Рп (р) е(р =~ — ! — при п=т. 2пг+ 1 Отсюда эффективный поперечник рассеяния сферы 1~= а,~, ~~ (2т+!) з)па[6' (йоши. па=о (Н.5.!3) Табл на н Н5.1 формулы г, 3 и м' Лли ниакик частот прн аыполиении !т' 5 граничного услоаии Параметр Неймана Дирикле 4 Г 3 1 3 ( 8 (игт) ~ 1 — — спн Э~ гр 1,85 (йа)а 4лпа Из таблицы видно, что на низких частотах коэффициенты рассеяния по интенсивности и давлению значительно больше для мягкой сферы, чем для жесткой. В соответствии с этим эффективный поперечник рассеяния мягкой.
сферы равен учетверенной площади сечения сферы, в то время как для жесткой поперечник рассеяния во много раз меньше геометрического сечения. Исходя из этого, надо ожидать, что при условии, когда линейные размеры рассеивателя меньше длины волны, рассеяние на газовых полостях жидкости при всех прочих 308 Формулы коэффициентов (Н.5.10) — (Н.5.!3) рассеяния и эффективного поперечника рассеяния точные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
