Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ф, лепеилни где мяс ы Л3 ! (И.1.14) Это значит что вместо бегущих волн высшего порядка в волноводе существуют неоднородные стоячие колебания с амплитудой, быстро уменьшающейся с увеличением расстояния х: Ф =л соз — „ге т =А соз — „зе е 4 мл /(оя+ж к) тл — х к гьи где к = ~( — ) — 1~ Идеальный волновод с граничными поверхностями, одна из кото. рых жесткая (например, скальное дно моря), а другая абсолютно 322 — критическая частота волны виго порядка. Волны, форма которых не изменяется при распространении, называют нормальными. В данном случае волны, описываемые волновыми функциями (И.1.12), представляют собой нормальные волны плоского жидкого волновода с жесткими стенками.
На рис, И.1.1 показаны поперечные резонансы волн давления в слое с толщиной й, ограниченной жесткими стенками. Необходимо отметить, что в данном случае эти резонансы определяются только волновым числом й, =тл/й, они ие зависят от частоты ы, а также от упругих свойств среды, в которой распространяются нормальные волны. Среди всех допустимых нормальных волн существует волна нулевого порядка. Для нее волновой фронт плоский и совпадает с попе- речным сечением слоя, а фазовая сквм 2 л7=т рость не зависит от частоты и равна скорости распространения волн в сво1 бодном пространстве. Волна нулевого порядка не характерна для волновод! ного распространения. Особенностями волноводного распространения для вол повода с жесткими стенками обладают ряс, Идд нормальные волны более высоких порядков (т ) 0). Для этих волн характерно наличие дисперсии скорости распространения и то, что поверхность равной фазы не плоская, а имеет волнисту о форму, которая при распространении волны не изменяется.
Если колебания в волноводе возбуждаются с частотой о, то в нем возможно одновременное существование нормальных волн всех порядков, для которых критические частоты меньше частоты возбуждения, включая нормальную волну нулевого порядка. Нормальные волны, у которых критическая частота гэ больше, чем частота возбуждения, не могут распространяться вдоль слоя: для них фазовая скорость и волновое число распространения — мнимые величины: податливая (например, поверхность моря), подчиняется иному дисперсионному уравнению, чем плоский слой с жесткими стенками, а именно: на основании граничных условий для указанных границ дФ . „д«В р = о — = (рыФ = О; О, = — — = О нетрудно получить дисперсионное уравнение вида созй,А=О.
Его решениями будут следующие значения волновых чисел: я, ! ! = — и (лг=О, 1, 2,...). 2т+ 1 «и«) 20 Формула нормальной волны л!-го порядка в этом случае ~(2«а+!) лс~э )Мз На рис. 1Ч.1.2 показаны поперечные резонансы волн давления в слое жидкости с плоским дном и свободной поверхностью. Примечательно то, что в отличие от слоя с жесткими стенками здесь все с!=0 л1=! гл 2 л! нормальные волны, включая и волну нулевого порядка, содержат дисперсию скорости и все другие особенно- ! сти волноводного распространения. Аналогия с дифракциониой решеткой.
Возвращаясь к решению задачи о распространении нормальных волн в жидком слое с жесткими стенками в формуле (И.!.о) и записывая потенциал скорости в виде ' е! — «~« Ф=Ае'! ' 1~«"+~«~™+Ве!!'"'-м« "— с «и (Ч1.1.15) замечаем, что волны в слое можно рассматривать как результат суперпозиции плоских волн, распространяющихся по направлениям, образующим с осью Х острые углы О и -- — О.
При этом компоненты 2 волнового вектора этих волн таковы: й!=йз)п0, й! =аз(п8, я,'=ясозО, й, = — ясозО, где 0 — угол, между направлениями нормали к верхней поверхности и волнового вектора плоской волны (рис. И.1.3). Волны, изображенные на рис. И.1.3, обозначены 1 — 1, П вЂ” 11. Они определяются волновыми векторами к! и йп. Запишем каждую из них в виде комплексных функций: Ф =Ае!! ! 1~! О=Ае!!и! м««!«э+с« "«э!1, Фп Ве!1~ — ! и"!1 Ве)1м! — ««мпэ — с««о«эц «- х, ' (Ч1.1.16) Сравнивая с формулами первой и второй волн по (Ч1,1.15), найдем: й„=йз)пО= — з)пО, Уг,=йсоз8= — сов О. (И.1.17) С С 323 Таким образом, волновые числа Ф, и А, являются проекциями к на координатные оси Х и Л.
Но на основании дисперсионного уравнения волновое число й, в данном идеальном волноводе может принимать только дискретный ряд значений А,<,— — тя)Ь. Отсюда следует, что углы 8, под которыми могут распространяться в волноводе плоские волны, имеют дискретные значения: соз8 = — —.
с мя м Заменяя с/в его выражением через длину волны Л(2п, получим 26 соз 8„= глЛ. (Ч1.1. 18) Это выражение напоминает формулу Брэгга для дифракционной решетки с постоянной 2Й. В данном случае 0 дает направление т-го порядка, под которым звуковые волны от цепочки точечных источников дают максимум интерференционной картины; 2Й вЂ” расстояние меж- Т К йа ду источниками при толщине слоя 8 К й.
Сами же источники можно вообразить как вторичные, возни- Х Ы кающие после многократного отражения лучей, идущих от источт т ника звуковых волн, расположенного между границами слоя. Рис. Ч! Л.З Согласно (Ч1.1.17), А„является проекцией волнового вектора свободной плоской волны на ось Х, поэтому характеристические направления 8 можно определить формулой з(п0„= —" = —, (Ч1.1.19) Й сщ' откуда с с = —. мпэ~ ' (Ч1.1.20) 324 Из этого следует, что фазовая скорость с,„есть, по существу, фазовая скорость волнового следа для горизонтального направления распространения свободных волн, разрешенных дисперсионным уравнением.
Эти рассуждения показывают, что дисперсия в идеальных волноводах определяется геометрическими свойствами волновода и не зависит от молекулярных и термодинамических свойств вещества. Групповая скорость. Практически волновое распространение сигналов и энергии никогда не происходит с помощью чистой гармонической волны. Реальные сигналы имеют более или менее сложную форму. Однако волну любой формы можно разложить в спектр по гармоническим составляющим, в частности для волноводов этими составляющими являются нормальные волны. Поскольку в волноводах наблюдается дисперсия скорости, то отдельные составляющие, имеющие различные частоты, будут распространяться каждая со своей фазовой скоростью. В результате форма сложного сигнала будет искажаться. В этом случае понятие фазовой скорости для всей совокупности волн неприменимо и должно быть заменено другим.
В связи с этим для волн различной сложной формы часто используют такие понятия, как скорость распространения переднего фронта, скорость распространения сигнала, скорость распространения энергии, групповая скорость и др. Ко многим типам волн применимо понятие групповой скорости. Приближенно она характеризует распространение возмущений в линейной среде, представляющее собой волну с достаточно медленными отклонениями от монохроматичности, и равна скорости перемещения в пространстве огибающей всех гармонических составляющих волн.
Это значит, что понятие групповой скорости имеет смысл только для волн, когда амплитуда настолько плавно изменяется в пространстве и со временем, что можно говорить об определенной огибающей. Эти волны можно представить как суперпозицию нескольких волн близ- я ких частот. В зависимости от соот- г ношения между фазами отдельных составляющих в каждой точке пространства наблюдается. в данный момент времени то или иное значение Рис.
Ч!.!.4 результирующей амплитуды. В тех местах, где фазы совпадают, получается максимум амплитуды; в точках же, где имеются колебания противоположных фаз, наблюдаются минимумы или нули амплитуды результирующей волны (рис. И.1.4). Положение максимума амплитуды такой группы волн называют центром группы.
С течением времени соотношение между фазами колебаний в точке, где находился центр группы волн, изменится и он переместится в пространстве с некоторой скоростью, совпадающей со скоростью и перемещения огибающей. Для нахождения связи между групповой и фазовой скоростями в диспергирующей среде заметим, что в центре группы совпадают фазы колебаний различных, но близких по частоте отдельных волн. Поэтому фаза колебаний в центре группы не зависит от частоты и длины волны, т. е.
для узкой полосы частот является практически постоянной: /м х! ~р = 2п ~ — — — ) = сопз1, х)= гдето — длина волны, изменяющаяся в пределах полосы частот, составляющей данную группу волн. Из условия постоянства фазы вблизи центра группы волн следует, что производная по длине волны равна нулю: += 2я~! „— ( — ') + —,~ =О, а координата центра группы волн перемещается в пространстве по закону х,= — Л „-~~-( — ')1-иг. 325 Скорость перемещения центра группы волн, т. е.
групповая скорость, равна л гсу нс и= — )2 — ~ — )=с — ) — „ ил~~) Ж Заменив в этом выражении ) на 2лгя и с на а4, получим сс= с+Й вЂ” „= — „(сй) = —. (т'1.1.22) Если имеется сигнал, образующий сплошной спектр частот, то его можно представить вблизи средней частоты а, интегралом Фурье О>,+зло Ф(а„х) = ~ 6(а) е"" 0ь — бО который для узкополосного сигнала описывает последовательность групп волн с различными амплитудами (рис.
Ч1.1.5). По мере распространения сигнала фаза волны изменяется: с(гр=ас(1 — А,г(х. Очевидно, что из точки на огибающей, составляющей местоположение центра группы волн, это изменение фазы при небольших изменениях а и Й„постоянно и приращение ч равно нулю: с( (с(гр) = Ьо й — сУг, с(х. Отсюда следует, что скорость перемещения огибающей группы волн, т. е. групповая скорость равна и [см. (Ч1.1.22)). Формула (Ъ'1.1.21) показывает, что при условии, когда дисперсии нет (с(си() = О), групповая и фазовая скорости совпадают. Рис. ч!л.з Энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды волны. Отсюда следует, что в месте, где расположен центр группы волн, сосредоточена энергия волны и она распространяется в пространстве вместе с максимумом амплитуды огибающей, т.
е. с групповой скоростью, Итак, при наличии дисперсии энергия волны, сосредоточенная вблизи средней полосы частот, распространяется в пространстве с групповой скоростью и, в то время как фазы отдельных гармонических составляющих распространяются с фазовыми скоростями с. Это налагает на групповую скорость определенные физические ограничения, а именно: она не может быть больше скорости света.
Для фазовой скорости этого ограничения нет. Она может быть больше групповой, как это имеет место в идеальных волноводах постоянного сечения. Иногда фазовая скорость имеет обратное направление по сравнению с групповой. Это случаи так называемых обратных волн в различных волноводах. Найдем формулу групповой скорости для идеального плоского волновода с жесткими стенками. Для этого проведем дифференцирование соотношения между' волновыми числами (Ч1.1.4) и получим звв так как й, от частоты не зависит (бй,!йо=О), то аы оы д» Сйк --- = и = — —" = с з(п й,„.
Учитывая (Ч1,!.19), получим и„=с~У 1 — ( — ) . На рис. Ч1.1.6 * показана зависимость фазовой ростей от частоты для первых нормальных волн плос- с гм кого жидкого волновода с жесткими стенками. При увеличении частоты фазовая скорость каждой нормальной волны монотонно убывает до скорости свободных волн в среде, а групповая возрастает от значений, близких к нулю, которые она имеет вблизи критических частот, до с. Горизонтальная линия соответствует скорости нормальной волны нулевого по- рядна. (Ч1.1.
2 3) (Ч1.1. 24) и групповой ско- Рис. Ч1.1,6 й У1зь НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ТРУВАХ Волны в трубах прямоугольного сечения. Используем прямоугольную систему координат. Расположим ось х по направлению одного из ребер трубы, а плоскость ХО)г совместим с плоскостью поперечного сечения. Предположим, что труба имеет абсолютно жесткие стенки. Тогда в качестве граничных условий для потенциала скорости Ф(х, у, г, 1) имеем выражения: (Ч!.2.1) х=а д=ь Для гармонических колебаний Ф=ф(х, у, г) е!"' из волнового уравнения следует, что функция ф(х, у, г) должна удовлетворять уравнению Гельмгольца дзф дзф стаф ыз (Ч1.2. 2) * На рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
