Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Эту область 71азывают областью дальнего поля или еолноеой. Впервые в истории науки область ближнего поля изучена Френелем, а область дальнего поля — Фраунгофером. Поэтому ближнее поле иногда называют областью Френеля, а дальнее — областью Фраунгофера. Следует заметить, что ближнее поле отделено от дальнего некоторой переходной областью, которая имеет протяженность от г, 'до г,', (где и' — координата начала области дальнего поля). Величина г,' условна и определяется степенью приближения, по которому можно принятЬ ейп р — р.
Для оценки этого приближения запишем зш в виде ряда В' й' 1+ 5'' 31 Ограничиваясь первым членом ряда, допускаем относительную ошибку в определении а(п р, равной отношению отброшенных членов д агй р $)з рз ряда кр,т.е.е= . — = —, или а1пй 65 6 (!$7.4.12) Решая (1!7.4.12) относительно г„', находим приблизительную длину г': ед (! Ч.4.13) 2$' Зв Например, для е = 0,01 по'з10 пжз плз а 2.17 08,17 ' а (о — диаметр излучателя).
Таким образом, расстояние до начала области дальнего поля превышает длину ближней зоны в г„'(г' раз: г„' поз г,' 2 $ Зе (, 4) 2 $' Зе 1 — !/(4ол) (1 17.4. 14) причем г'!г' слабо зависит от параметра а') 1, В частности, при а' ь 1 д' г„' и г', 2 173е Тогда 10л — — 2,85п. г( 213 г„' — г',= — '. — (о' — — ~=! — 1 и' + —. (17.4.15) 2$' Зв (с 4) (2$3в ) 4 269 Между ближней и дальней областями поля, очевидно, существует переходная область, протяженность которой составляет На рис. !Н.4.3 показана зависимость приведенного давления р на оси излучателя от расстояния э=эх/аэ, где указана протяженность переходной зоны, когда о/Л= 0,8.
Если снимать диаграмму ааправленности без учета переходной области, то ногино допустить значительнуш ошибку. Опеним ошибку, полагая, что дальняя эона непосредственно примыкает к ближней. Для этой опенки решим уравнение относительно е: р1 45 .. ~1а'+ — =0 и получим 05 4п'а" э= 3 (4а' — !) Нрн а' ~) ! пэ э — -' — 0,9, !2 т. е, относительная ошибка близка к единипе. 075 г) Рис. 1Н.4.3 $1Ч.б. БЛИЖНЕЕ ПОЛЕ ПЛОСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ 270 Вычисление амплитуды и фазы звукового давления, создаваемого плоским излучателем, представляет собой довольно сложную дифракционную задачу. Мы ознакомимся с решениями задачи для излучателя круглой формы, вставленного в бесконечный жесткий экран. Как будет видно из дальнейшего изложения, решение задачи получается в виде бесконечных рядов, сходимость которых зависит от расстояния до излучателя.
Для точек, расположенных вблизи излучателя, получаются слабо сходящиеся ряды. Для удаленных точек можно найти решение с помощью интегралов Френеля или рядов Ломмеля. Для очень удаленных точек пространства можно пользоваться асимптотическими приближениями. В соответствии с изложенным выше поле излучателя можно разделить на несколько областей: непосредственно примыкающую к поверхности излучателя, френелевой дифракцни, переходную и дальнего поля. Область поля, примыкающая к излучателю. Интеграл Рэлея (111.4.10) дает принципиальную возможность вычислить потенциал поля в любой точке полупространства. Однако выражения интеграла в виде аналитической функции не существует.
Его представление в виде бесконечных рядов позволяет найти численные значения характеристик поля с какой угодно точностью. В основу указанного представления положена теорема сложения для сферической функции Ханкеля нулевого порядка. Сущность этой теоремы состоит в следующем. Если известны сферические координаты )с, 0 и гр двух точек пространства М,()т„й„грт) и Мэ()с„й„грз) (рис. 1Н.5.1, а), то расстояние между ними определяется из формулы (М,М,)'= г1' =-й';+И.', — 2)т'т)т'е соз у, (1Н.б.1) где у — угол между ОМ, и ОМ,; созу= созйдсоэ0,+3!пй,соз(рт — грэ). Если известна сферическая функция Ханкеля нулевого порядка с аргументом Ы (г( — расстояние между указанными точками), то возможно следующее представление этой функции в ряд по полиномам Лежандра 127]: пе(ас()= ~, '(2т+1) Р„(соху), (Н1.5.2) Ь„, (айаг) 1„(аде) т=е 6«(аде) 1,.
(ай ) где веРхнЯЯ сУмма относитсЯ к слУчаю Р,))се! нижнЯЯ вЂ” к слУчаю й1'се Пусть точка Р элемента д5 площади излучателя имеет сферические координаты р, я12, ег, а точка М, в которой необходимо найти Рис. 1Ч.й.! звуковое давление,— координаты А'„0, 0 (рнс. !Н.5.1, б). В этом случае по формуле (!Н.5.1) расстояние между этими точками К' = Кее+ Р' — 2РеР соз У, (1Н.5.3) где сову=э!об сов си. Если считать, что нормальная составляющая скорости по всей поверхности одинакова и равна пе, то звуковое давление в точке М (!Н.5.4) Как известно из теории бесселевых функций, выражение, стоящее под знаком интеграла (!Н.5.4), есть не что иное, как сферическая функция Ханкеля нулевого порядка: е' л йо ЖР) = — ' (1Н.5.
5) Учитывая сферические координаты концов отрезка )с 1см. (1Н.5.2)1, получаем — мл й„, (йЯ„) 1„, (лР) — У (2т+1) ' Р (з!пасов ер), 6,. (Ар) /'„, (и,) где верхняя строчка соответствует случаю Йе)о, а нижняя — случаю Ие(р. 271 Таким образом, формулу (12г.5.4) можно записать в виде 2п. = ~',Г (2т+!) -- Р (21пзсозгр)2(5. (1Ч.5.6) а й (аа)2 ) 1 (йР) ~т (йр) !т ( та) Известно, что для равномерно сходящихся рядов операции интегрирования н суммирования можно менять местами.
На основании этого интеграл (%.5.6) представим в виде суммы интегралов следующего типа; 2а а (2т+ 1) йт(lгРха) ~ ~)т(йр) Рт(21п 0 соз ~р) р'2(р 2(гр)а о о 2а а (2л2+1) ) (дала) ~ ) йт Яр) Р (з(п О сов ге) ра дрор я во Можно показать, что интегралы в (12г.5.7) от полиномов Лежандра нечетных порядков обращаются в нули, а для полиномов четного порядка приводится к виду ~ Р, (21п 0 сов 2Г) 2102 = 2лР, (соэ 0). Что о а а касается интегралов ~ /2„()гр) р' г(р н ~ й, (йр) р' др, то они могу г быть о о вычислены с применением численных методов интегрирования.
Таким образом, для каждой точки поля следует найти численные значения суммы: Цатйат ('Иа) 2л (4т+ 1) Р, (0) Р, (соз 0), (1Ч.5,8) т=а 1 ат!2т (И) 2) где а а У, =~/, (йр)р'2(р, Р, =~й Яр)р'др. (1)7,5,9) а о Штенцель 1111, используя подобные ряды, получил таблицы и графики звукового давления вблизи поверхности плоского излучателя круглой формы. На рис.
12г.5.2 приведены линии равного звукового давления в плоскости, параллельной плоскости излучателя. Здесь изображены линии равного давления. Цифры на графиках обозначают отношение давления рм к давлению в плоской волне. Плоскость, к которой относят указанные кривые, находятся на небольшом расстоянии от излучателя. Характерно, что в различных точках плоскости, параллельной поверхности ' излучателя, давление и фаза не постоянны, как это было бы в идеальной плоской волне. Равные амплитуды давления расположены по замкнутым линиям. На одной и той же плоскости имеется несколько изобар.
Таким образом, вычисление амплитуды звукового давления по точным формулам дало следующий результат: вблизи поверхности круглого поршневого излучателя в экране излучатель создает сложное звуковое поле, значительно отличающееся от идеального плоского. 272 У реального поля вблизи излучателя фазовая поверхность имеет множество бугров и впадин. Сечение этой поверхности плоскостью дает на ней изобары в виде замкнутых кривых. На этой плоскости видны изобары, относящиеся к различным волновым поверхностям. В изотропной среде поток звуковой энергии перпендикулярен поверхности волны, т. е. совпадает с направлением нормали к поверхности.
В данном случае линии потока звуковой энергии изогнуты. Поток энергии обходит области, в которых звуковое давление равно нулю, и концентрируется там, где давление максимальное. !а агп пд пгп ппп дгп йг адд Рис. !Ч.З.2 Другой особенностью звукового поля вблизи плоского излучателя является постепенное сглаживание волновой поверхности по мере удаления от источника. Область френелевой дифракции. Для точек поля, расположенных на значительных расстояниях по сравнению с размерами излучателя, можно найти более простые выражения, чем громоздкие ряды, рассмотренные ранее. Возможность упрощения расчетных формул связана с тем, что расстояние между точками М и Р согласно (!Ч.5.3), записанное в виде й = Рь [1+ ( — ") — — Р соз у~, (!Ч.5.10) определяется выражением (р/Р,)' — 2р созуЯь, которое при Р,-~со стремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
