Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Расчеты, произведенные для других значений йа, позволяют отметить, что диаграмма направленности мало изменяется с изменением радиуса цилиндра. Например, при аяй= 12 диаграмма направленности кольца высотой й = 12(й такая же, как и для кольца той же высоты, но на цилиндре с радиусом, в два раза большим, т. е. ая=-.24/й. $ П.в. ИЗЛУЧЕНИЕ СИСТЕМЫ КОЛЕЦ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ЦИЛИНДРЕ Акустическое поле системы пульсирующих колец на цилиндре получается путем суперпозиции полей отдельных колец. Допустим, что имеется и (и= 1, 2, 3,...) несинфазно пульсирующих колец, расположенных на расстоянии с( одно от другого. Предг полагается, что кольцо 1 расположено симметрично плоскости г= — О, а все остальные (2, 3, 4) — в положительном направлении оси 7 (рис.
11.5.1). При таком расположении колец соотношения 0(ср--2л! р=а; (! — 1) с( — й ~ г ~ (! — 1) я(+ й (1= 1, 2, 3, ..., т, ...) 0 определяют участки поверхности цилиндра, занятые излучаРис, )!.8.! тел ями. Будем считать, что каждое кольцо пульсирует со скоростью поел("'-.) и создает в направлении 0 звуковое поле. Первое кольцо создает в направлении 0 потенциал Ч" й 0 ! "' .. П.5.1 2о, ап (00 я(п 0) е !ел ""'Я!е ' !Яи ' '"'! ) яя ~ ! Яяо)Я я(п 0 соя ВНя (Ва соя 0) Потенциал 1-го кольца в направлении 0 имеет отставание по фазе на АВ = й с((! — 1) я!и 0, а потенциал полн, создаваемого этим кольцом, отличается от (11.5.
!) фазовым множителем е-!и !я-Я) и "" 0. Поле, создаваемое системой т колец, является суперпозицией полей (П.5,!) и выражается формулой т ,р( 0 !) Яояи(п(Я6Я(п0) е' ' " '"' т~" ! (еи — я!! — и я я!па-~-я ! пВЯ соя 0 ап 0((я (Ва соя В) я (11.5.2) 238 где св,=-lгВС=а с((! — 1) в!ну; 1=1, 2, 3, ..., т; у — угол компенсации. Сумма, входящая в равенство (1!.5.2), приобретает вид геометри- ВЛ ческой прогрессии со знаменателем егва(Л = — (в!п 0 — в!и у)~. Тогда 2 (11.5.2) преобразуется к виду Ч" г, О, ( " . . ' . 11.5.3 2о„ед! '+ лн "'" М яп (гаа) в!и (аа яп В) лсьв яп Л яп О сов ОН, (Оа сов В) В направлении 0 = у потенциал имеет максимальное значение, яп (тЛ) поскольку 1)гп .
— т. л-о Характеристику направленности многоэлементной излучающей системы берут от у. Угол отсчета можно изменять с.помощью электрических устройств, выполняю- О щих в питании отдельных гп кольцевых излучателей задержку поступающего сигна- ла в)ау ла й = = — в!и у. Сле- т с довательно, угол компенсации у определяют временем задержки сигналов, поступающих от генераторов элект- ОО рических колебаний: в)п у ="- — „. (11.5.4) Р пс. 1!.0.2 В направлении угла компенсации комплексное выражение потенциала 2ове'1 "' ) тяп (аа'япэ) лЯьв яп усову Н, (Овсову) е-'", откуда характеристика направленности системы колец па цилиндре Ф(0) =; — ' — '- = МФ,(0) Ф,(0), (11.5.5) где М = .. — нормирующий множитель; Ф, (О) = Аа в!и у сов уНс (Ва сов у) вт (ВЛ яп у) Нв (Ва) яп (тд) е — (а1 — и — характеристика направленности линейной т в!пЛ системы точечных излучателей, расположенных на расстоянии с(один от другого, когда их излучение скомпенсировано в направлении угла' у; Ф,(0) = „ .
— характеристика направленности яп (аа яп В) Н, ((га) ВЛ яп О сов ВН, (Васоев) пульсирующего кольца, расположенного на жестком цилиндре. Таким образом, характеристика направленности системы колец на цилиндре пропорциональна произведению характеристик направленности линейной системы точечных излучателей и характеристики направленности кольца на жестком пилиндре. На рис. 1!.5.2 и 1!.5.3 показаны характеристики направленности системы пульсирующих колец на цилиндре (и= !О), рассчитанные по (11.5.5) при значениях параметров ла = 14; лс( = л; йп = 0,49л; у, = 20', у, = 80' и йа = !4; лг( = 0,5л; лп = 0,24л; у, = 20'! у, = 88'. Пространственную картину направленности системы получают при вращении фигур вокруг оси 2.
Из графиков видно, что с приближением направления компенсации к оси цилиндра (у=80') возникает излучение по направлению оси Рис. 1!зкз цилиндра (пунктирная кривая). При Ы = л),,'4 существует только одностороннее излучение. Если Н =Ц2, то излучение по оси цилиндра направлено в противоположные стороны. Характеристики направленности сужаются тем сильнее, чем больше йй. Если создать угол компенсации, близкий к 90' (направление совпадает с осью цилиндра), то возникает следующая закономерность направленности вдоль осн: с увеличением Йа острота диаграммы направленности увеличнвается. ГЛАВА 111 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ $ Шд.
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГΠ— ГАУССА. ФОРМУЛА ГРИНА Для непрерывной, однозначной и конечной функции, имеющей непрерывные и конечные производные, справедлива теорема Остроградского — Гаусса: ~ (ЧА) с5' = ду (Ап) 4, (1 П .1.1) т 1Ю где Ч вЂ” объем области 6, в которой определена функция А; (У)— поверхность, ограничивающая этот объем; пг — элемент поверхности д . д . д с единичной внешней нормалью п; Ч=1,. — + (,д — + 1,— — дифферен- циальный оператор первого порядка в прямоугольной системе коорди наг. Здесь принято обозначать замкнутую поверхность, охватывающую объем и', символом (1'). Когда векторная функция выражается через скалярный потендч циал (А=-.1 п=Чгр;, теорема (111.1.!) приводится к виду дл /'' дл (111,1.2) г Н! Интегральное соотношение (!11.1.2) называют первой формулой Грина.
В таком виде теорема Остроградского — Гаусса может быть применена при расчете статистических полей. Для приложения к расчету динамических полей первая формула Грина должна быть преобразована. С этой целью определим два потенциальных поля А и В посредством формул А = грЧф, В =фЧч! и проведем над ними операции П!1.1.1).
Интегралы по объему для полей А и В равны ~ (ЧА) Л' =- ~ Ч((рЧзр) Лl= ~ ((ЧсрЧзр+фЧ гр) Л~ ! !' ~ (ЧВ) й =~ Ч(фЧ<р)й =~ (Чфтп+фцэЧ)др. г У Тогда из (П1.!.!) получаем 1 ',(Чгр) (Ч!р)+ (рЧвф!! йу =- 1 ч! (Чфп) 4; (!"! ~ [(Чф) (Чгр)+ !рЧЯЧ!1 й7 = ~ зр(Чгрп) й!. !' <т! Вычитая из первого интегрального выражения второе, получаем вщорую формулу Грина ~ (Рд фд (!'! Предположим, что функции гр и ф, входящие в (111.1.3), удовлетворяют уравнениям Гельмгольца: Л Ч=-.й'Ч Ч'ф=-йэф (111.
1 А) Тогда интеграл по объему в (П1,1.3) исчезает и вторая формула Грина принимает вид ~ (ч'й фа )й)=о. (11!.1.5) <т! Отметим, что формула (11!.!.5) справедлива не только для волновых функций гр и !(, но и для функций, удовлетворяющих уравнениям г)апласа и теплопроводности. Применительно к акустическим полям вторая формула Грина (111.1.5) имеет следующий физический смысл. Допустим, что потенциалы гр и ф создаются независимыми источниками а и Ь. Звуковое 24! давление и колебательная скорость на участке поверхности п 4, создаваемые источниками а и д, выражаются формулами Ра = !ыргр Рь = !гьрф о„=- — дч[дп, оь = — дф/йп. Отсюда следует: 1 гг Рл )мо 1 — = — о дч дп — а дф — = — оь дп Используя формулы (111.1,6), преобразуем формулу Грина к виду, удобному для физической интерпретации: Ф Н1.2.
ИНТЕГРАЛ ГЕЛЬМГОЛЬЦА — КИРХГОФА Вторая формула Грина (111.1.5) дает возможность вывести интегральное уравнение для вычисления потенциала поля в любой точке пространства, если известны потенциал и его производная по нормали на некоторой достаточно гладкой замк- Р нутой поверхности. Это уравнение выл ав ведено Гельмгольцем (1857 г.) и называется интегральной теоремой Гельмгольца. ва Найдем это уравнение для области 6, внутренней относительно замкнутой поверхности ).
С этой целью исключим нз области, ограниченной поверхностью произвольно выбранную точку Я„. для чего построим вокруг нее сферическую поверхность о с центром в М, и радиусом р. Пусть поверхности о и [ не пересекаются (рис. П1,2.1). Поверхность, по которой надо проводить интегрирование (!!1,1,5), состоит из двух частей: поверхности ) с внешней нормалью и, и поверхности малой сферы о с внутренней нормалью и,. Область, в которой функции гр и ф удовлетворяют условиям непрерывности и дифференцнруемости, является внешней Раоь 4= ~ Рьоа 4.
1Ю 1т1 Нетрудно видеть, что каждый из интегралов (111.1.7) имеет размерность мощности, а уравнение выражает математическую запись следующего положения: лгащност, выделяемая силами звукового давления источника а против движения жидкости, создаваемого источником д, равна мощности, выделяемой на втой поверхности звуковь1м давлгн чем, создаваемым источником д против движения жидкости, вызванным полем источника а. 1 [ ) ~ Р (Рм и ) ) ~(Р (Р~~Ф ) 1 „О (П1,2.1) где Р— точка на поверхности 1; Р,— точка на поверхности сферы а. Элемент площади сферической поверхности выражают с помощью телесного угла Й формулой Йа= р'А(1, поэтому 4л м р и [( ..) ф(...) 4н [ ( ) (РмФ ) ( ) Р(~м~го)~~, э Перепишем (111.2.1) в виде интегрального соотношения: ~ ~ [%(рм г) д ф(рм.г.) д ~Р = дф(рм р ) д%(рм,р,)1 Функции гр и ф непрерывны и однозначны в области О и удовлетворяют волновому уравнению.
Для того чтобы с помощью выражения (111.2.2) можно было найти функцию гр(г) в точке М„наложим на функцию ф(р) дополнительное условие Вш [р(Р) —,") р' — д 'ф(Р) р'~== р(М,). (Ш.2.3) Напомним, что ф (о) одновременно является решением волнового уравнения. Простейшим решением, удовлетворяющим условию (! 11.2.3), является волновая функция, модуль которой изменяется как 1!р: е амР ф (Р) = (111.2.4) В самом деле, второе слагаемое (111.2.3) при р=-О обращается в нуль, а первое равно ! пп [гр (Р) д(Р) Р'~ = В ш гр (р) ( — +~ ) Р'е !~э = — гр (М,). др рэ (111.2.5) Используя этот предел, запишем (111.2.2) для р-+-О.
В результате получаем интегральную теорему Гельмгольца для внутренней 243 по отношению к о и внутренней по отношению к ), включая точки, лежащие на этих поверхностях. Для данного случая формула Грина (111.!.5) преобразуется к следующему виду: краевои задачи: 'Л д е — М'М Р ср (Ме! = — — — 4 ср (гм,р)— 4п,)(. ' ' дй ,-м'м.Р др (.и,) ! ~ с(р. гмр де (П1,2,6) Здесь М,— произвольная точка внутренней области, поэтому (П!.2,6) выполняется для всех точек области 6, ограниченной поверхностью !. Покажем, что интегральная теорема (П!.2.6) верна и для внешней области, но при этом искомая функция ер(М) должна удовлетворять условиям излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
