Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для коротких полн (Ва М, '1) актйвная часть импеданса равна единице, а реактивная — нулю, так что полный импе. данс поршня — действительная величина, равная произведению рс на площадь поршня: па,'ю =4наэ апэ(Ое)2). Хотя здесь нельзя привести всех вычислений, тем не менее следует заметить, что и пределе, когда радиус сферы стремится к бесконечности, формулы излучения поршня на сфере переходят в формулы излучения поршня в бесконечном экране. Точечный источник на поверхности сферы. Рассмотрим частный случай ая р(а ч 1, когда на поверхности сферы излучает поршневой излучатель, размеры которого значительно меньше, чем ее радиус. К !а й=ггг О г 4 О гугалг,г'Д Рис.
1.7.4 Рис. 1.7.3 Ое ! Рщ (соэ 0) ~ Рщ (г' 1 — знлэ Ве) щь Рщ (! — — ") 00 Оэ 1 — Р (х) — '+...=1-Р' (х) — '. 2 Таким образом, ,( 0,)-Р +, ( О,)=(Р +, (х), ',(,)] "= д Оо (и —; Кроме того, известно, что г! — (Р,в,г (х) — Р В (х)) = (2щ+ 1) Рщ (х). поэтому -ь 1). Во Рвь 1 (соз Вэ) — Рщьа (соз 6 ) ~ ('и + 1) -~- Р (х) (х Так как Рщ (х)-ь 1, то 6, 1!гп (Р г (сов Оэ)-Р г(соз Ое)] =(2т+1) — ', в В ОЦ. Так как отношение азер)а гщ Во щ, 1, то во всех формулах а1п Ва~ Вэ, за счет чего они упростятся. В частности, С учетом этих замечаний получаем формулы для излучения точечного источника, расположенного на поверхности сферы: ооОо 'Ч Рю (йг) ('(ю( — бю И ) + бю (га)), 1 э 4 гй~( Р' (йа) р (рс оо о ~) (2т 1 1) ю ( ") е([ю( — б,п (вг)+б„, (эо)] р (О) Тогда фактор направленности Ф (О) = ~ (2т+ 1) Рт (осе О) (1 ~(2т-(-1) (Зю ехр ((6т (йа)+и ((и+1)(2) Рт (йа) Точно так же получают формулы для импеданса точечного излучателя, расположенного на поверхности сферы: 4 (й )' л в [Р', (йа)) у — ' э т соз [6 (Аа) — 6' (йа)1.
Рт (йи) В акустике существует положение, сформулированное Гельмгольцем и названное теоремой взаимности: если в яространгтве, гдг имеются отража,ощие и поглощающие тела, расположить точечный излучатель и измерить с помощью приемнака сигнал в некоторой точке пространапва, то при взаимной замене мест прием- 66,~ ~В ника и точечного излучателя сигналы, ко- лер — (к д торые зарегистрирует приемнюг звука при .ег я прежней мощное(пи излучапмля, останутся )мр прежнилш, Эта теорема позволяет рассчитать ди- фракцию на телах, для которых удается )мр вычислить излучение точечного источника, ,ег=,г а находящегося на поверхности. Л=,,а В частности, известно, что точечный источник, расположенный на поверхности с(ч о сферы, создает давление в бесконечно удаленной точке, определяемой формулой р(О)=р,Ф(О), ,лс 7 где ро †давлен в направлении 8=0; Ф(О) — функция направленности по давлению.
Л .ОЭ(а Если' поместить точечный источник в бесконечно удаленную точку, а приемник ,л(-В,В давления в на поверхность сферы, то давле- ние, которое он будет воспринимать, равно 1ВО ВВ р роФо(ро †давлен, которое могло бы быть зарегистрировано при О =0; Ф (О) †функц Рис.
1.7Л направленности точечного источника, расположенного на поверхности сферы). На рис. 1.7Л показаны графики распределевия интенсиввости звука вокруг сферы, на которую падает плоская волна. Направления распространения волны и полярный угол 8 изображены справа вверху рисунка. Различные кривые даны для различных значений волнового фактора р. Как видно, чем выше частота, тем больше проявляется неравномерность звукового поля на поверхности сферы. При очень высоких частотах часть шара, расположенная в области геометрической тени, не охвачена волновым процессом, 220 ГЛАВА 11 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ з НД. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Для анализа поля, создаваемого цилиндрическими системами, исследуем излучение цилиндра бесконечной длины. Пусть на его жесткой поверхности расположены источники звука, имеющие нормальную составляющую скорости, амплитуда которой зависит от азимута ~р и не зависит от координаты г: ол = оо (ф) е' (П.1.1) Поскольку колебательная скорость на поверхности цилиндра имеет гармоническую зависимость от времени и не зависит от координаты, то и потенциал скорости определяется гармонической функцией времени и не зависит от г: Ч» (», 'р, г, 1) = т' (», Ч) е'"'.
(11.1.2) Подставляя (11.1.2) в волновое уравнение АЧ» — — — = 0 1 дЖ дн дн получаем уравнение для амплитуды потенциала Аф(», ср)+/г'ф(», ~р)=О, (П. 1. 3) где оператор Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид (11.!.4) — „, + т'Ф=О, д% 1 дя /г т'1 — + — — + 1',й'- —',1 Я = О. д»~ » д» (»г ) (П.1.5) Первое из них имеет однозначное решение при целом т: Ф(~р) =Л соз(т~р+а), (П.1,6) а второе при введении новой переменной х =й» легко преобразовать в уравнение Бесселя с целочисленным параметром т: ( ) + — ( ) + ~1 — —,) )т (х) = О. (П.1,7) Как известно, решениями уравнения Бесселя являются цилиндрические функции, В данном случае удобно взять комплексные цилинд- 221 Полагая ф(», <р) =Ф(~р))с(»), получаем расщепление (П.1.3) на два уравнения: рические функции Ханкеля первого и второго рода: Н„'" (х) а „(х) + 1й! (х), Н„",'(х) = о ,„ (х) — /Лг (х) и представить решение уравнения (11.1.7) в виде й„(йг) А Н~'(йг)+В„Н„'"'(Ь.).
(1!.1.8) Из функций Н„'" и НД при временной зависимости потенциала скорости вида е! ' условию излучения удовлетворяет лишь Н"'. Поэтому для задач об излучении волн в (П.1.8) оставим второе слагаемое )т (аг) = В„НД' (Ь.). (!1.1.9) Таким образом, частное решение поставленной задачи имеет вид ЧЧ», ~р, !) А соя(т~р+а„) Н"'(lгг)еl"' (А'„соз тгр+ В' з(п тгр) НД (йг) е~"", (П.1.10) ~де А' =А сова„; В;„=А з(па . Из функции (11.1.10) составим общее решение: Ч'(», ~р, 1) =е~ ' ~ , '(А„',соз т р+В„'з(п т~р) Н,'~'(яг). (П.1.11) т=О Ниже вместо Н„'" будем писать Н„.
Радиальная скорость и звуковое давление связаны с потенциалом скорости Ч' известными соотношениями дЧ' дЧ' ~г — д, Р— Р д, =!~рт~ откуда и,= — /ге!та , — (А„созтф+В з!пт~р), .,ът до т 0 Р=(мр ~" Н (х)(А„'созт(р+В' з(пт~р)е~"', (П.1.12) (1!.1.13) Постоянные А;„и В' определяют с использованием условий на границе.
Пульсирующий цилиндр. Определим звуковое поле и характеристики излучателя, если поверхность цилиндра имеет колебательную радиальную скорость о„=о,е! ' (о,— амплитуда скорости на поверхности цилиндра, не зависящая от азимута ~р и координаты г), Используем решение волнового уравнения в форме (П.1,!2) и применим к нему условие непрерывности радиальной составляющей скорости на поверхности цилиндра.
Очевидно, если в (1!.1.12) подставить гг а (а — радиус цилиндра), го должно удовлетворяться тождественное равенство радиальной скорости п„на поверхности цилиндра и радиальной составляющей колебательной скорости вг звукового поля, Сокращая на общий множн- тель е?"г, получаем чг ггн„, оо~ ?г 7 (Ат соз тор + Во1 з!и тгр). и о х =ге Это тождество выполняется, если А' = В' О при т ~ О и А' ~ О при пг=О: дно ! по= — ?г -и — ! Ао Отсюда Ао Но?нх х оо йН;(йо) ' —;"д —; А„', - В' - О при т -ь О.
(!1.1.14) Таким образом, акустическое поле пульсирующего цилиндра выра- жается формулами: гр ооНо (йг) Егин йН', (йг) п,=,(' ) Н,(йг) ег"', р = — )рс, ' Н, (?гг) ег"' о Запишем формулы (11.1.15) для дальнего поля (г-осо) и проанализируем их в случае низких и высоких частот. Кроме того, поскольку 'для вычисления импеданса требуется знать силу реакции поля на поверхности цилиндра, необходимо найти также выражение для давления при ?гг=?га. С этой целью воспользуемся следующими соотношениями для цилиндрических функций 15!. Цилиндрическая функция Ханкеля нулевого порядка второго рода определяется рядом Н„"'(х) = е о (х) — )йго (х) е о (х) — ? — х уС ((1П 2 +.С) еУо (Х) + 2е о (Х) — -2 е74 (Х)+...), Здесь ео(х) и Жо(к) — функции Бесселя и Неймагга нулевого порядка: (кг2)о (хг2)' (к?2И е , (к) = 1 — — + — 1- — — + ...; (1!)о (21) (3!)' 2 Но (к) ~ 1 !П 2 + с) ео (к) +2е е (х)+ е о (х) + С = 1!а ~ У вЂ” — 1п щ) 0,5??216 ...
о~( хм о=о Функция Бесселя и-го порядка определяется с помощью рекуррентных формул: о' е , (к) = — — е , (к); 2а гг У г (х) = — еа (х) — Угл -г (к) = — х — (х ме т (х)), Предельные выражения функций Ханкеля при х>) 1 и х(( ! имеют следующий вид: л л ! '1/1+ хм! л л 4(Н(й' (х), 2 !— ! е 2!пх 4(Х х,а ! лх ( л1 Н~о" (х) ~ ~/ — е, —" = — ) 1' — е х'х! лх ах хв ! Г/ лх Подставляя асимптотические значения Н,"' и Н,"' в (11,1.П), находим формулы акустического дальнего поля пульсирующего цилиндра: еа ггг2!'(лда) г — ! ий! — ! о + ! аН, '(Да) 4 о — ) а )г'а/ге .
041'2/(лха) г — г(йнг-йг+ — ) Н1 '(ха) 4 (11.1.1б) "01 2((лйа) г !! + 4) — )рс ' р а/ге Н„' (Да) Интенсивность излучения можно представить как реальную часть половины произведения комплексно-сопряженных функций давления и колебательной скорости: (11.1.17) Следовательно, интенсивность пульсирующего цилиндра на больших расстояниях (аг ь 1) изменяется обратно пропорционально расстоянию. Полная мощность излучения на единицу длины пульсирующего цилиндра 2рйе1 У =эйли= й нГ(А,) ! Для высоких частот формулы поля (11.1.16) и (11.1.17) легко приводят с помощью асимптотических свойств цилиндрических функций к виду: и йав. ! ,~/' ы~ — -и СО йаЭ ! (11.1.18) 224 р — овос 1/ — е 1"'-" !'-'!1, / а г йо йа~ ! 1 йа — Рсп1 —, йаъ ! ег' 1 со'„'ла, йа> ! Для низкочастотного пульсирующего цилиндра акустическое поле определяется выражениями; — — а1 ио Га«а / а г ао — «о+ ) ь) 1' 2 1' «ам1 го~ ', ~,(.-"н--) «аи.о 1 Гльа Га / на — «+ „-) ,с — и,рс 1н — 1г -„-е Г' 2 Г' г «аа.1 .,л«а а т р с и о 4 «аа 1 2 (11.1.19) «а» ! оа г -- = — гь, о и где г )з=рс(п()га)+)д(лай гь'=-(йо (аЬ)+)д(АЬ)], а — радиус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
