Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 68
Текст из файла (страница 68)
1. 1) Скалярную величину р можно представить в форме тензора второго ранга, если воспользоваться понятием единичного тензора: ~ 1 при (=lг, бм= ( О при (~)з. Рпл + Р (зпгпз Розпз Плл = ргчол+Рбм — ( разо, роз+Р рпзпз . (ЧП1 1 2) рпзоз рпзпз раз. + р После введения тензора Пм найдем изменение импульса в единицу времени: д (' (' дП~л — ) ролл(р' = — ~ —.'гФ. д(3 дх~ Очевидно, рм = Рб;,.
Такое представление позволяет записать величину, заключенную в скобки правой части выражения (ЧШ.1.1) в форме тензора второго ранга: Согласно теореме Остроградского — Гаусса, объемный интеграл Г д вида — Пмс()7 преобразуется в интеграл по поверхности: ~ дх~ д —,П„(р=1П„пд. д Таким образом, изменение импульса жидкости — ~ ро,с('г' = — ~~ П;,п,с(1, (Ъ'П1.1.3) Уравнение (Ч!11.1.3) выражает закон сохранения импульса: изменение в единицу времени импульса в замкнутом объеме равно полному потоку импульса через поверхность, охватывающую объем. Величину Пм называют тгнзором потокр.
импульса. Из уравнения (У1П.1,3) следует одна пз форм уравнения Эйлера: д д77ы дь ' дхь ' — (ро~) = — —. Разумеется, уравнение Эйлера, взятое в форме дь~ др Р дь дх, или дь~ до~ др Рдр+Р" д- = д— можно выразить в виде (Ъ'1П.1.4), если представить р --- как — '— й~ д (рь,) ду дг — и, —, а вместо — подставить ее выражение из уравнения непредр др дг дь рывности. Внутреннее трение. Между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями, возникают силы внутреннего трения. Согласно закону, установленному Ньютоном для некоторых жидкостей, сила внутреннего трения между слоями пропорциональна разности скоростей, площади соприкосновения слоев и обратно пропорциональна расстоянию между слоями: или (УП1.1.5) Силы вязкого трения тангенциальны.
Они не связаны с изменением объема. По аналогии с этими силами можно предположить существование объемных сил неупругого характера — объемных сил внутреннего трения, которые должны быть пропорциональными скорости изменения объема: йРоб=$й =1д д,. 1 дн 372 Коэффициент пропорциональности $ называют объемной вязкостью или второй вязкостью. Объемная вязкость имеет ту же размерность, что и сдвиговая.
Тензор вязких напряжений. Для того чтобы написать уравнение движения вязкой жидкости, достаточно дополнить уравнение (П11.1.4) силами вязкого трения и представить его в виде д (вгр) дум двм де дхх дхх ' (Ъ'П 1.1.6) где о;, — тензор вязких напряжений.
Можно показать, что наиболее общим выражением для тензора вязких напряжений, содержащим как сдвиговую, так и объемную вязкости, является формула от = т1( — + - — — — бм — ) + ~бы —, (ЧП!.1,7) 7де~ дех 2 дай де~ 1дхх дх~ 3 дхй дхе ' где О при !~А, бы= 1 при != я.
Здесь первое слагаемое содержит только компоненты тензора, для которых 1~)е. При )=й это слагаемое обращается в нуль. Второе слагаемое содержит только компоненты тензора ои. Оно выражает эффекты внутреннего трения за счет объемной вязкости. Проведем дифференцирование (ч'П1.1.7) по хх и, замечая, что по Ув; дну правилам замены повторяющихся индексов = —, получим дххдх~ дх,дх~' двм д2ес !1 1 3~ос — = ) —,, +(-ч+~)— дхх дхх (,3 ) дхрдхс ' Подставляя это выражение в (ИП.!.6), найдем уравнение движения вязкой жидкости: Если р — р,=р', р — р,=р' и о,— величины первого порядка малости, то уравнение (И11.1.8) для этих функций после отбрасывания членов второго порядка приводится к линейному относительно р', У Р, о: Это выражение называют акустическим уравнением движения вязкой жидкости.
373 Для случая, когда дойдх,=О, нз (Ч1П.1.8) получаем уравнение Навье †Сток (7П1.1.9) Полная система уравнений вязкой жидкости в акустическом приближении состоит из уравнений движения (ч'1!1.!.8), уравнения др дскб непрерывности +р,-- =- О, одного из уравнений состояния 0 дк; р=-;р или Т= ! Т„сх~ р сэ рср (И 11.!.1 1) где !/,— начальная внутренняя энергия системы, находящейся в неравновесном состоянии; (/ (5) — энергия системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия с той же энтропией.
Скорость уменьшения механической энергии, т. е. диссипация энергии, определяют производной механической энергии по времени Ф) Заменяя д(//д5 = Т„получаем (/.„= — Т,з. Воспользуемся формулой изменения энтропии системы 11) и —,др-(- ~ — — ~'--+-- — -б„— )дР+ "-~ — ) ду (ЛТ)с, Г Ч дс~ !дс~ дрх 2 дсд, Г $ гдсдэ Т' д Т дхх (,дхх дх, 3 дк~) ~ Т(,дх~) с, и получим общее выражение диссипации механической энергии: г г ~ (а,)'с,, (71П. !. !2) где и и $ — сдвиговая и объемная вязкости; х; (х,=х; х, =-у; ххг-в).
Ф 'ЛП.2. ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ УПРУГИХ ВОЛН В ВЯЗКИХ И ТЕПЛОПРОВОДНЫХ ЖИДКОСТЯХ Допустим, что в жидкости распространяется плоская волна в направлении оси х (х,=х): ох=ох=оссоз~ы/ — — ()е-", о,=О, ос=О. 374 и уравнения энергии с учетом необратимых потерь. Диссипация механической энергии. Распространение упругих волн в реальных жидкостях и газах следует представлять как некоторый неравновесный процесс. Согласно основным положениям термодинамики, механическая энергия термодинамической системы равна максимальной работе, которую можно получить при переходе системы из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия с первоначальной энтропией: (/„„=(/,— и (8), При подстановке компонент скорости плоской волны в формулу (Л11.1.12) получим для членов с коэффициентами 11 и $ выражение (ч'11!.2.1) Первый член (И !1.1.12) соответствует диссипации энергии за счет теплопроводности, определяемой градиентом температуры УТ.
Найдем УТ для плоской волны. С этой целью преобразования цТ для плоской волны воспользуемся линейным уравнением состояния (дт~ Т Используя термодинамическое соотношение ~ — ~ = — сс' —, нахо~др 5 с р ' дим Т'=Та сиш~вр.
Подставив выражение для скорости колебаний частиц о,=осоь(ш! — шх/с), получим Т = — ос сох', ш( — — х). Т„сРс / ш ср с '~ с Отсюда градиент температуры в плоской волне дТ' Трясш . Г ~Т= ~Т' =--- = о, з!п(ш! — — х). дх ср с Таким образом, первый член в (Ъ'И1.1.12) имеет вид Т сдс~ оФ вЂ” -"- 1 (7Т)'с(Г= — н 1 э!и'(ш! — — х~Ю ' ., о,'.
~с Воспользовавшись (И1!.2.!) и (7111.2.1'), получим формулу диссипации механической энергии, которая определяет рассеяние энергии плоской волны при наличии теплопроводности и вязкости: (мек (и сс + (3 Ч+5) ~ ~ ос д 31г1 ~ш( ш) с(1 (~ 111 ° 2) с-' У Среднее значение (('„,„) по периоду 2л(ш равно (()„,) = — ~ ~—,П+й +нт,—,~~ —...(,. (ИП.2.З) р Среднее значение механической энергии После указанных преобразований нетрудно найти формулу коэффициента поглощения упругих волн для вязкой и теплопроводной 375 жидкости Из этого выражения следует, что в реальных жидкостях полный коэффициент поглощения и упругих волн состоит из суммы коэффициентов поглощения, определяемых сдвиговой вязкостью со~ 4 а = — — Ч '! 2рм 3 теплопроводностью жидкости (Ч111.2.
5) (7 П1.2.6) и второй вязкостью (~ ) =- — ~~-.~ =с', с~ — с,=-у',а"и(р' — ) можно показать, что выполняется следующее тождество: е'иг! ! ! Отсюда получаем и,= —.,— — — ы 2рсз с„с,7 ' а„„=ач+ая= 2 ... ~~-Ч+я( — — — — )). (Ъ'П1.2.8) Коэффициент поглощения яч (И!1.2.5) впервые был выведен Стоксом из уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Коэффициент а, (Л!1.2.6) получен Кирхгофом. Поэтому формулу коэффициента поглощения с учетом вязкости и теплопроводности называют формулой Саюкса — Кирхгофа.
В современной акустике принято приписывать действию объемной вязкости все избыточное поглощение, т. е. а,„,— а„,. Коэффициент объемной вязкости входит в формулу диссипации энергии: ~ (снеек) !х-а О (П11.2.9) ) (а!т и)~ ат' Следовательно, коэффициент объемной вязкости 2 появляется только в таких процессах, для которых б!чоФО, т. е.
скорость изменения удельного объема жидкости не равна нулю. В обычных гидродипамических процессах жидкость считается несжимаемой, поэтому коэффициент объемной вязкости в уравнения обычной гидродинамики не входит. Этим можно объяснить то обстоятельство, что не существует прямых методов измерения коэффициента объемной вязкости.
Един- 376 2ргз ~' (ЧП1.2.7) Формулу для коэффициента поглощения а,, обычно записывают в ином виде. На основании термодинамических соотношений ственный способ определения $ имеет косвенный характер. Этот способ основан на гипотезе, согласно которой разность между измеренным коэффициентом поглощения и вычисленным по классической формуле равна коэффициенту поглощения за счет объемной вязкости: ЩЗ Отсюда 2рсз Различные вещества имеют различное отношение и„лх„. Однако анализ, произведенный на основании использования таблиц термодинамических параметров веществ, показывает, что для жидкостей коэффициентом поглощения а„можно пренебречь.
Исключение составляют металлические жидкости. $ УПЕЗ. СРАВНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОИ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ Согласно классической теории поглощения, отношение коэффициента поглощения к квадрату частоты для всех жидкостей и газов не зависит от частоты и является функцией физических параметров жидкости. Многочисленные измерения коэффициента поглощения жидкостей и газов в широком диапазоне частот, давлений и температур показали, что классическая теория не укладывается в рамки результатов эксперимента 114, 15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
