Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Если действует несколько процессов релаксации, то вместо одного параметра неравновесностн имеется несколько (Ь„ ~„ 1„ ..., 9,). Тогда приращение термодинамического потенциала содержит сумму работ нескольких сил релаксации: Ж. = — Х г(х — у с(у — ~~ ~тщ!, при этом отдельная релаксационная сила Ч'! = — (дь)дь!), „. Разлагая ее в ряд Тейлора вблизи невозмущенного состояния, получаем и э+( ~ ) г.
+'1 д )к г У+ э~!( ~ ) (И 11.8.3') Первый член этого разложения равен нулю, так как в невозбужденном состоянии релаксацнонные силы исчезают. Релаксационные силы ты как и в слУчае одиночного Релаксационного процесса (И11.8.1), связаны со скоростями изменения параметров релаксации ~~ линейными уравнениями ~ =Ь! т,+Ь т +..!+Ь,„т„= ~ч', Ь „Ч', э= ! которые после подстановки выражений тэ из (И11.8.3') приводятся к виду л л ~! = ~ Ьм [( э )э с бх+( э )к г бр+ '~~ ( э )к э с 6~!~, (И11.8.4) и=! ~=! гДе !.!=~„~„..., Г„; 9,=!,„Ь„..., ~! „Гм!, ..., ~„. Здесь каждое уравнение содержит изменение всех параметров ~!. Однако систему дифференциальных уравнений (И1!.8.4) можно упростить введением новых параметров ь!, связанных со старыми линейными соотношениями.
Тогда система линейно зависимых уравнений преобразуется к уравнениям линейно независимым: ь;=Ь!(( э ),бх+( э ),69+( д ) 69!1. (Ъ'111.8.4 ) Для релаксационных сил, записанных в виде функций термодинамических координат и нормальных параметров релаксации („ можно применить линейное приближение в виде первых степеней степенного ряда: к. р,с! 392 В невозбужденном состоянии релаксационные силы равны нулю, поэтому где 8Ц»' — отклонение равновесного значения параметра от его значения в невозмущенной среде Ц'>'.
С учетом (Ъ'П1.8.5) дифференциальные уравнения (>гП!.8.4') преобразуем к виду где Ь: (дЧ.,>дГ') Ь; (дЧ./д!>) д~(>>' д!>>>' >+)и>т> >+)ив ' (Ч1П.8.5') где и> =ыт> =и/ь>и> (1=1, 2, 3, ...). Производная по независимой переменной от обобщенной термодинамической силы теперь имеет вид " сььз... 1 Производная при постоянных параметрах релаксации соответствует ее значению при бесконечно больших частотах (дХ!дх)„'. В результате получаем следующее выражение для релаксирующей производной: дХ дХ %)' Пользуясь этим выражением, запишем формулу для комплексных адиабатического и изотермического модулей: ( др дС!Л > ( др > дД где К„= р,, — — >), Кг> =р,, — ) — ', теплоемкости при постоян- ', дС> др )*' >д~;,)г др ' ном объеме ди дй> > 393 Для гармонических процессов с частотой ы решения уравнений относительно независимых релаксационпых параметров имеют вид теплоемкости при постоянном давлении ди гзс1П коэффициенты объемного расширения ссГгЮ 1 д$' ойо1 Ч и" 1а = а<'1 ' +, Ь, -~ —.—, аш1 = — 1 —.
1' 1 йчг ~3T )~' Как и в случае одиночного релаксационного процесса, относи. тельные частоты иг равны отношению частоты колебаний к частоте соответствующего релаксационного процесса. Например, для формул адиабатического и изотермического модулей в качестве частот приведения используют частотгя адиабатической гощ и изогермической релаксации шэ'„ т. е. относительные частоты т; соответственно равны шуша; и о)1ю,'г. В реальных релаксационных процессах с несколькими частотами релаксации отдельные физические релаксационные процессы взаимно независимы, поэтому все отношения, которые были записаны для нормальных параметров релаксации, справедливы для физических релаксационных параметров.
В 115] изложена общая теория релаксационных явлений Мандельштама — Леонтовича, которая позволяет использовать акустические измерения для исследования различных релаксационных процессов в жидкостях и газах. Формулы релаксационной теории настолько сложны, что непосредственное их применение ограничено небольшим числом простых случаев. Тем не менее можно сделать важные заключения о характере молекулярных процессов на основании следующих соображений, Согласно косвенным данным, вводят предпологкение о том, какой именно релаксационный процесс имеет место в данном случае, и выбирают параметр ь. Исходя из молекулярной модели процесса и пользуясь дополнительными данными, вычисляют парах:етры, характеризующие релаксационный процесс: релаксационную частоту, адиабатический релаксирующий модуль и др. Затем вычисленные пара.
метры сравнивают с полученными иа основании измерений скорости распространения и поглощения звука в широком диапазоне частот. Эти величины дают возможность вычислить т', г' и Ь в уравнении релаксации. Таким образом, на основании акустических измерений можно определить скорость протекания релаксационного процесса. Измерения релаксационного модуля упругости можно использовать для про. верки молекулярной модели процесса.
Определение релаксационных процессов возможно и тогда, когда область частот релаксации недоступна для непосредственного эксперимента. В этом случае удается измерить только т (К~ — Каз), Если известна разность К~ — Кэ, то можно найти время релаксации, а по нему определить тип релаксационного процесса. Многочисленные примеры применения релаксационной теории поглощения звука в жидкостях и газах приведены в [14, 1бй ГЛАВА 1Х РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 5 1ХЛ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Тензор деформации. Пусть в результате деформации две фиксированные материальные точки тела сместятся из положения АВ в А'В'.
Если координаты точек А и А' обозначить соответственно х; и х,', а координаты точек В и В' — х;+г(х, и х,'+ахи то расстояние между материальными точками после деформаций г(1'*=дх".=(Йх~+да;)'=(ах;+ — ' дхх~ . После возведения в квадрат этого выражения получаем й( = дх';+ 2 — дх~ йхл + — ' — йх, йх, = ,а, ди, ди; ди~ дхх дх~ дхи =йх;+( — '+ — + — — (е1х; аахм I ди; дии ди; ди~ ~ ( дхи дх; дх~ дхи ) Обозначим ди; дии ди, ди~ — '+ — + — ' — йх; дхл = 2аио дхл дх; дх~ дхи где ам — тензор второго ранга; да;(дх„— относительная деформация по направлению координаты 1 в отношении дх„ориентированной в направлении координаты й.
Например, производная ди,(дх есть величина относительного удлинения в направлении оси Х; ди,(ду— сдвиговая деформация в направлении оси Х по отношению к расстоянию йд, и т. д. Для малых деформаций члены с произведением да;(дх„ди,(дх„являются величинами второго порядка, поэтому ими пренебрегают. Таким образом, формула тензора деформации в линейной теории упругости имеет вид 1 (ди, ди,) (1ХАА) Он обладает свойством, согласно которому и;„=ам, т.
е. компоненты этого тензора симметричны относительно диагональных членов. В линейном приближении расстояние между точками деформированного тела составляет а(' = 'Ге(Р + 2 им дх~ йхи. (1Х.! .2) Из физических соображений следует, что расстояние между точками не зависит от выбранной системы координат. Можно найти такую прямоугольную систему координат, в которой все недиагональные компоненты симметричного тензора исчезают.
Эту систему координат называют главной. Тензор деформации, приведенный к главной системе, называют главным тензором деформации. Если привести (1Х.1.2) 395 к главной системе координат, то й' = Т> ! + 2и>н Л, где 'и си 0 0 ин>=( 0 иол 0 >>О 0 и) (1ХД.З) — главный тензор деформации. Относительное увеличение расстояния (Л' — Л))й = 3> 1+ 2и>н — 1. Приближенные значения квадратного корня в (1Х.1.3): й' =3Г1+ 2ин) 1+ ин', й' — >П (>+ии') й — й> Л и! ин), или »х> >и (1 Х.1.4) Формула (1Х.1.4) показывает, что если в произвольной системе координат деформация складывается из деформаций сдвига и растяжения, то методом преобразования координатных осей можно эту деформацию представить в виде совокупности трех деформаций растяжения.
Деформация объема. Запишем изменение объема тела при деформации. Расчет проведем относительно главной системы координат. Изменение элемента объема >(à — >()>, где >(à — элемент объема деформированного тела; Ю вЂ” начальный элемент объема, причем >(Г = >(х, 'г(х; 'г(х,' = (и" > + 1) (и "'+ 1) (и '"'+ 1) >(х> >(х, >(х„ или >(Г = (и'"и" >ино+ Зи ">ипв+ Зи">им>+ Зим>инв -(- +Зим>+Зина+Зим>) >(х дх,>(х +>(х>>(х >(х. При малых деформациях произведениями и'"и">и">; им>им); и т. д.
можно пренебречь, так что с(1>' =>Л/+(и ">+и ">+и<')) >Ю. Поэтому и> ы + и>м + и(з> (1Х.!.5) й)l Относительное изменение объема при малых деформациях равно сумме диагональных членов главного тензора деформации. Из алгебры известно, что сумма диагональных членов симметричного тензора инвариантна относительно преобразования координат и + и„, + и„= и»>+ и" >+ им). В формуле (1Х.1.5) в левой части стоит инвариантная величина (относительное изменение объема не зависит от выбора системы координат).
Таким образом, если известен тензор малых деформаций в какой- либо системе координат, то сумма его диагональных членов равна относительной деформации объема. 396 дх Это значит, что сила, отнесенная к единице объема, может быть представлена в виде градиента тензора ом. дом Е,= — ' дхи ' (!Х .1.6) Рис. 1Х.1.1 Только в этом случае объемный интеграл может быть сведен к интегралу по поверхности: Р1 а= 1 д™,)) = п„пи4. (1 Х .1.7) дхи ( ) Тензор ом называют тензором напряжения. Между объемной силой и тензором напряжения существует связь(1Х.!.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
