Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Этому случаю соответствует соотношение чежду углами 0<зт<0г. При увеличении угла падения углы 0 и 6т также увеличиваются, поэтому можно найти такое значение угла падения зет, при которои угол преломления 8,р 90'. Очевидно, 0м удовлетворяет следующим соотношениям: потенциала прошедшей продольной волны принимает следующий вид: с! с, — ! — к — с|п 0 ( с, )' 1 А Е с, с Е/ !Ь вЂ” ~! Нп" 0 — 1с сс .|- — )с ( — с!п'0 — |к — !' — к МпО Ае — с~ У,сс 1 с При удалении от границы (г — 1-со) потенциал |р — пО, поэтому из двух знаков перед квадратным корнем имеет смысл знак минус, а вместо г — расстояние (г): 1 с1 сс — г — ', с|п'0 — 1 ! с ! — |к — с|па ср А е с' 'е ' е!"'„(1Х.4.15) ! и! — — к51пО) — —, с|п'0 — 1|к! с где А,е " — амплитуда волны; множитель е указывает на то, что волна распространяется с фазоеой скоростью с/з!о 0 в положительном направлении Х.
Иначе говоря, волна скользит по поверхности раздела. У самой поверхности амплитуда равна А,. С увеличением расстояния ~г( амплитуда уменьшается по закону А,е-|с||!5 причем ! й= У (с!/с)п япс 0 — 1 (1Х.4. 16) — глубина проникновения волны. Если угол падения достигнет значения, при котором для сдвиговой волны з(п О, = (сс/с) з (п 800 = 1 (1Х.4. 17) Если угол падения больше, чем угол полного внутреннего отражения, т. е. 8) агсз(п(с7с!), 0(п8,) 1„то соз8 = У' 1 — з(п'6,= = — 1'Усз! и' 8, — 1.
Поэтому приведенный импеданс границы раздела— при 0„= агсз(п (с/сс), то возникает явление полного внутреннего отражения сдвиговой волны. Однако в жидкости сдвиговая волна не распространяется, поскольку для нее модуль сдвига равен нулю. Если угол падения 0)60м то вдоль границы раздела кроме продольной неоднородной волны будет распространяться также сдвиговая неоднородная волна с фазовой скоростью с,70(п О. Интересно рассмотреть условия возникновения в твердом теле только одной сдвиговой волны. На основании (1Х.4.13) коэффициент прохождения продольных волн 1, = О, если р = сов 28, = 0 или О, = 45', т.
е. при угле преломления сдвиговой волны, равном 45', продольная волна во вторую среду не проходит. В этом случае угол падения определяется формулой з(п 0 = — з(п 45' = — —. с ., с У2 2 (! Х.4.18) также мнимая величина: . а,с,7сое ег 1 ас7; сее О или сад 700 !са ва аа 0 5 7а 70 0 1Х.5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела двух различных сред, нашли 0, гааа широкое применение в науке и технике. Распространение электромагнитной волны вдоль металлического проводника является примером волн такого типа. Электромагнитная волна низкой частоты распространяется вдоль поверхности земли, чем и обусловлена возможность дальнейшей связи на низких частотах. Хорошая радиосвязь на средних частотах обеспечивается волноводными свойствами ионизированного слоя атмосферы.
Не меньшее значение имеет распространение упругих волн вдоль граничных поверхностей упругих тел. В частности, поверхностные упругие волны все чаще находят применение в ультразвуковой дефектоскопии. Познакомимся с классическим методом изучения поверхностных волн.
Рассмотрим следующую двумерную задачу: найти условия распространения вдоль 'свободной плоской поверхности упругого полу- пространства волн малой амплитуды. Для решения задачи расположим прямоугольную систему координат так, чтобы ось Х совпадала с направлением внешней нормали к поверхности. Известно, что для малых колебаний в упругой среде процессы подчиняются волновому уравнению типа аге с а!77 = О. (1Х.5.1) 413 ее=! г, = 1!ее! где ! сов 0,1=1/ (-' — ') з(не 0 — 1, асс 7 В этом случае коэффициент отражения является комплексной величиной: Н! ее ! Р~+! е 7и' — ! 1 е)Р +(е~и~ — !)ее 7е (1Х 4 Гй) = 7,е,~ ре+,~ие+! -'~'е 04+(е,ие+!)" Здесь р = соз 20,; и=э(п 20,; 07 =агс1я — агс1я 7е, 'ае ,'ее'бе ! Ес 7 и' — ! ~ Ес иг+ ! ' На рис.
1Х.4.2 показаны графики зависимостей амплитуды 1 и фазы 2 коэффициента отражения на границе вода — алюминий от угла падения. Графики построены согласно (1Х.4.19); кружками обозначены эксперн- а,ав ментальные данные. На кривых видны особенности при 13 и 29 . Первый угол совпадает с агсз(п (с7с,), второй — с агсз)п (с!с,).
В соответствии с поставленной задачей будем искать решение уравнения (1Х.5.1) в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х с фазовой скоростью ся: н = ! (г) е~""-э', (1Х.5.2) где й — некоторая функция от ся. Задача состоит в отыскании функции 1(г) и зависимости фазовой скорости от частоты и материальных констант среды при условии, что смещение (!Х.5.2) удовлетворяет волновому уравнению (1Х.5.1), граничным дополнительным условиям для компонент смешения.
(Граничные и дополнительные условия сформулируем по ходу решения задачи.) Подставив предполагаемое решение (1Х.5.2) в волновое уравнение, получим уравнение для функции !(г): (1 Х.5.3) В данном случае определяем волну, распространяющуюся только в направлении Х, поэтому искомая функция 7(з) не должна быть периодической относительно координаты г. Следовательно, волновое число искомой поверхностной волны должно удовлетворять неравенству (!Х .5.4) В этом случае зависимость 1(г) определяется экспоненциальной фу ьгг -'*а-Гт-'7Р).и. ° щ .рд вид и = н,е г ~""-"">е — ".
(1Х.5.5) Из двух знаков выберем тот, который обеспечивает убывание функции и,ем до нуля при неограниченном отрицательном значении г, т. е. знак плюс (+): н=п,е"ел"-' > (г(0). (1 Х .5.6) Известно, что вектор смещения в изотропном твердом теле может быть представлен в виде суммы деформаций сдвига н, и растяжения и,: и = н~+ и„= 7~Г+1тА], причем каждое из смещений н, и н, подчиняется волновому уравнению типа (!Х.5.1). Отличие этих волновых уравнений друг от друга состоит лишь в том, что в уравнениях для смещений и, фазовая скорость с = с, = '~~ (2р+ ).)(р, а в уравнениях для и, она равна с=с, =3'р/р. Таким образом, для граничной волны закон смещения можно записать в виде и = (нже~~'+ н„ез~')е л"'-э"' (г ( О), (! Х.5.7) где 5~ — — Т'Й' — оУ7с,'; 5„='и'йэ — ы'1с,'. В решении (!Х.5.7) остается все еще неизвестной связь волнового числа й поверхостной волны с волновыми числами продольной и 4!4 ом»г, = 0 (! = 1, 2, 3; )г = 1, 2, 3) (! Х .5.8) и к условиям, определяющим свойства сдвиговой и продольной составляющих смещения: »1!чв,=О, го!н,=О.
(1Х 5.9) Условия (!Х.5.8) для данной задачи при г=О представляются в виде (1Х.5.10) где дг ду»' Г ди„ди„диг) огг — г (и~»+игу+и»г) =) ( — + д + — ). х у Так как функция (!Х.5.7) не зависит от координаты у, то ди,)ду=ди 1ду=О и сбгласно (1Х.5.10) ди„/да=О, т. е.
смещение, перпендикулярное направлению распространения, не зависит от глубины г. Из физических соображений следует, что ну=О при г-»-со, поэтому она равна нулю для всех значений г. Таким образом, в поверхностной волне не существует смещения, которое было бы перпендикулярно нормали поверхности и направлению распространения волны: ну=О. Следовательно, граничные условия (1Х.5.10) при г=-0 сводятся к уравнениям диг ди, диг диг — '+ — ' =О, — '+ — '=0 дг дх ' дг дг (1Х.5.12) а условия (1Х.5.9) сводятся к уравнениям ди, ди„дам ди»„ — + — =О, — — — "=О, дх дг ' ду дг дщг дшг дщу ди» вЂ” — — =О, — — — =О. дг дх ' дг ду Учитывая, что смещение и не зависит от у, получаем: (1Х.5.13) Подставив компоненты смещения и, и и, из (1Х,5.7) в уравне- ния (Х!.5.12) и (1Х.5.!3), получим однородную систему алгебраиче- ских уравнений: (б, — 1)г) А,+(б, — 1)г) А,= О, — 1)гА» — )йА» + б»А»+ б А» = 0 (1Х.5.14) А, + А„= О, б»А»+)7»А» = О, 4!ь поперечной волн.
Кроме того, не определены соотно»пения между компонентами амплитуд смещений п„и н„., Для дальнейшего развития решения задачи обратимся к граничным условиям на свободной поверхности где А,=ивг;! А,=ивг„; А,=ивы! Ав —— и„„с главным детерминантом б, — !)г — !/г о 8, 8,— у/г 0 0 — !)г 8, б, 1 1 о !й о Приравнивая определитель системы (!Х.5.14) г! к нулю и обозначаа сгг1с, = гв!с,)г = Ь, полУчаем диспеРсионное УРавнение ~в 8~в+8~в(3 2 ~) 1611 ~) 0 (1Х 515) Отсюда следует, что число с зависит только от отношения с,'гс~, которое является функцией коэффициента Пуассона: с(!с! = = (1 — 2а)1!2 (1 — о)! ( 1.
Из физических соображений величина ', должна быть вещественной и положительной, причем )гв — гав!с,'-') 1, т. е. гав!(/гвсв) = ьв(1. Исследование уравнения (!Х.5.15) показывает, что оно имеет только один корень, удовлетворяющий указанным требованиям, так что для каждого отношения с,!сг получается сг/0 только одно вещественное значение ь. Скорость распространения поверхностной 095 волны пропорциональна числу ь.
090 сл = ~с,. в Зависимость ь отношения скорости волн Рэ- 005 б лея ся к скорости сдвиговой волны с, в твердом Ж Чд теле от коэффициента Пуассона о изображена Рис. 1Х.8.1 на рис. !Х.5,1. По найденному параметру можно найти волновое число. Поскольку корень ~я дисперсионного уравнения не зависит от частоты, произведение ~ас„ также не зависит от частоты и является скоростью волны Рэлея сгг = ьггс„где ья определяется из приведенного графика или может быть вычислено по приближенной формуле 0,874 + 1,12а ьгг = При изменении о от 0 до ')в значения ь изменяются от 0,87 до 0,955.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
