Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В этом случае в уравнении Бесселя пг=л+1)2, и его 432 — функции Ханкеля второго рода и их производные. Каждая цилиндрическая функция Хм (г) может быть представлена как линейная комбинация функций еу,„(г) и У, (г) или Н,",' (г) и Н~т (г): У (г) = оар„(г) + ВУм (г) = аНм (г) + () Нт (г). Определители Вронского указанных систем равны; е' т (г) ~т (г) йт (еУм (г), Нм (г)) = П П 2 — ег т (г) — Нт (г) пг пг См (г) См (г) а!п 1тбм (г) бт (г)тг; решение может быть представлено в виде линейной комбинации функций Бесселя полУцелого поРЯдка о т(г) (т .1-1(2, -+-3)2, жос!2, ...), котоРые выРажают с помощью тригонометри ческ их функций: е ) (г)=1у — а!пг, у( —— 1( — созг, 13 Лг 11 Л2 ч/ 2 04.1(1/ 1 (! )а з!пг е ) + (г)= у — г У л. г ог! г (й = 1, 2, ...) или с помощью функций Ханкеля полуцелого порядка: -а Г 2 1 еж т Г 2 елм н('(1(г)=1тг — — =; и ыз= у — ! =.
л/)гг л )2 Ь. Решениями уравнения Бесселя при тг=п(п+1) являются сферические функции Бесселя первого — четвертого рода: л (2) = ~/ .2 — Ча (, (1 (2), й'.Л()=~(( — Н'"4~) (). Сферические функции Бесселя нулевого порядка имеют вид: а!п г соз г, )е/', /е-ы 1 (г)= —, и (г)= — —, Ь„"(2)= — —, л"'(2)=.—. 0 — г 0 — г Π— г ' 0 2 Сферические функции Бесселя любого порядка 1 и ')т ипг На(2)=гг'( — — — 1 —, л,и — — ( — 1)т+1/ „, 1(2), и —,! ' т— )('~' (г) = !0 (г) е , й'~' (г) = — !0 (2) е 10 (г) — !О (г) Сферические функции Бесселя первого и второго рода вырагкают посредством модуля 0т и фазы бт(г): )т (2)=0т (г) з!п 6т (г), лм (г)= 0т (г) сов 6т (г).
То же относится к производным сферических функций; !' (г) — 0' (г) Яп 6' (г), л',, (г) = 0' (г) соа 6' (г), йто (2) = /0т (г) е(ат, Ьт (2) = — !От (2) е Сферические функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным формулам: (( ю 1= — гт — (г тют(г)). б. При г-ч.со цилиндрические функции е (г) и У (г) могут быть представлены в виде асимптотических разложений: (' тл ЛЛ ет(г) 1т( — [Ат (г) соз12 — — — — ) — В (г) а(п (г — — — — ) (, лг( т ~ 2 4) м (, 2 4Д' / тл л) М (2) = ~( — [А,„(г) сое ~г — — — д-) + В (2) а!п ~г — — — - — )~, 433 где [(2т)» Ц [(2т)» За! Аы(г)= —, „, + [(2т)» — 1! [(2т)а — Зь! [(2т)» — 5ь! [(2т]а 7»! + 4! (8»)' + [(2т)' — Ц [(2т)» — ЗЧ [(2т)' — Зь! ... [(2т)' — (2 2н — 1)»! 2л! (8г)"' + Вы (г) —— (2т)е — ! [(2т)ь — Ц [(2т)' — За] [(2т)' — (2 3 — 1)»! 8г 5! (8г)й + "' + ". [(2т)» — Ц [(2тР— 9] ...
((2т)' — [2 (2н+ Цг — Ц»] (2н+ Ц! (8г)гн г Эти формулы дают предельные выражения функций Бесселя. Например, .аГ2 . 1 тп( гг,г' (г) ( — Цмхт е1», Лгм (г) = 7тьг е-У» » ьэ » с г ! ( т+1 1 1 . ! гн+! [н(г) — — соа, г — — и!, лт(г) — — з1п ~ г — — и) 7. Функции бесселя удовлетворяют условиям ортогональностн н нормировки: если хг и хь — действительные корни функцви а т (х), то условия ортогональности и нормировки О при 1~/г, ~ а ы (х;е) о ~н (хав) е с(е =. ] ( [а ;„(х,)1а12 при г = й.
Кроме того, и~ е „(иа) е т(йь) ее[в=8(и — р); ( О при и ~ ]), о Полезно иметь в виду интегральные соотношения: е (г) 1 е/» со»! сов тГ лг 1 е — /»са»г соз яггг[1 ( '!и г' 'яг Г[ о 1 Г е т (г)= — ~ сов (ны — г а]п !) аг о (т=О, 1, 2, ...), анамгральнуа формулу Бесселю е т(ссх) е т (]]х)хе!х= " „[иа ы ([]х) е те! (их) — 5е т (ссх) а т, ([]х)]= о ха = 2 [е „', (их) ]ь+ — хя — - а-) [е ы (их)]а и анныгралы Ломмеля: л .~..)- [е ,„(их)]а х ух= — [е ' (их)]а+ — ~~х — —, ] [е т (их)р о (т ~ — 1). О. К полиномам Лежандра и цилиндрическим функциям применимы следую. шне теоремы сложения: Теорема сложения для цилиндрических функций.
Пусть Р, и Р,— точки плоскости с полярными координатами р„срг и рв грв. Допустим, что 0(!ф1(н)2 (рис. П.!.1), Тогда р ~е г1е о~г а = ) 'р";+ р1 — 2р,рг сов (ср, — грв); евго = р,— р,ег пю В этом случае для кажлой цилиндрической функции Ем (свй) выполняется соотношение Ем (ай) еутО= ~~ ~?м, в (арг) аУь (арг) е! где а — произвольное комплексное число. Рг 1'Рг, 65) р, (го Нь уг,) ,дг,ря) К Рис. П.1.1 Рис. П.1.2 В частности, если грг — ~рг=п, то 7т (гх (рг+р )) = ~~~ Кь (ар ) ау ь (арг). В= — аг Теоремы слоасения для сферических функций Бесселя и полнномов Лежандра.
Пусть Р, и Рв — точки пространства со сферическими координатами г;, Ог, гр, и гв, В„цгв. Допустим, что Вг+Вв(и (рис. П.!.2). Тогда выполняются следующие соотвошенвя: и=) г',+г„'— 2г,гвсову, сову=ссмОгсовВв+в1пОгв!п Овсов(цгв — цгг), вгп йй чч /в (ай) = й — — ~ (24+1) 1а (агг) /я (агв) Ря (сову) н=о егаа ъв Ь,"'= —. = у (20+1)дно (аг ) !в(иг ) Р„(сову) (г ) г) о е-уаа жв )г(в'= . =~ (20+1)й™ (аг) 1' (аг ) Ра(сову) (г (г ).
о Теорема сложения .яногочленоа Лежандра. Полинам Лежандра т-го порядка от сов у=сов 8, сов 6,+я!и Ог в!п В,сов (ср,— грг) может быть вычислен по формуле Р т (сов у) = Р т (сов 0,) Рт (сов О,) + (т — 1)' +2 Г' '" ", Р~а,' (сов 8,) Р1а1 (сов ВМ сов т (грг — грг). (т+ 1)! 435 П. СОКРАЩЕННЫЕ ТАВЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Т а бл и ц а П.П.! Значения функций Лежандра для сферических координат О, град Р, (соз О) Р, (саво) Рв (соз О) Р, (соз О) О, град Р, (соз О) Р, (соз О) Р, (сова) Рз (сов О) Р, (соз О) 436 0 5 !О 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 ТО 75 80 85 90 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9437 0,7840 0,5471 0,2715 0,00(6 — 0,2233 — 0,3691 — 0,4197 — 0,3757 — 0,2545 — 0,0868 +0,0898 0,2381 0,3281 0,3427 0,2810 О,!577 0,0000 1,0000 0,9962 0,9848 0,9659 0,9397 0,9063 0,8660 0,8192 0,7660 0,7071 0,6428 0,5736 0,5000 0,4226 0,3420 0,2588 0,1736 0,0872 0,0000 1,0000 0,9216 О,?045 0,3983 0,0719 — 0,2040 — 0,3740 — 0,4114 — 0,3236 — 0,1484 +0,0564 0,2297 0,3232 0,3138 0,2089 0,0431 — 0,1321 — 0,2638 — 0,3125 1,0000 0,9886 0,9548 0,8995 0,8245 0,7321 0,6250 0,5065 0,3802 0,2500 0,1198 — 0,0065 — 0,1250 — 0,2321 — 0,3245 — 0,3995 — 0,4548 — 0,4886 — 0,5000 1,0000 0,8962 0,6164 0,2455 -0,1072 — 0,3441 — 0,4102 — 0,3096 — 0,1006 +0,1271 0,2854 0,3191 0,2231 0,0422 — О,! 485 — 0,2731 — 0,2835 — 0,1778 0,0000 1,0000 0,9773 0,9106 0,8042 0,6649 0,5016 0,3248 0,1454 — 0,0252 — 0,1768 — 0,3002 — 0,3886 — 0,4375 — 0,4452 — 0,4130 — 0,3449 — 0,2474 — 0,129! — 0,0000 1,0000 0,8675 0,52!8 0,0962 — 0,2518 — 0,4062 — 0,3388 — 0,1154 +0,1386 0,2983 0,2947 0,1422 — 0,0736 — 0,2411 — 0,2780 — 0,1702 +0,0233 О,Ю(7 0,2734 1,0000 0,9623 0,8532 0,6847 0,4750 0,2465 0,0234 0,1714 0,3!90 — 0,4063 — 0,4275 — 0,3852 — 0,2891 — 0,1552 — 0,0038 +0,1434 — 0,2659 — 0,3468 -0,3750 1,0000 0,8358 0,4228 — 0,0428 — 0,3517 — 0,3896 -0,1896 +0,0965 0,2900 0,2855 0,1041 — 0,1296 — 0,26Т9 — 0,2300 — 0,0478 +0,1595 0,2596 0,1913 0,0000 Та бл и ца П.П.2 Амплитудм и фазы цилиндрических функций Бесселя При х-гО и т) 0 С (1)2) С ) 0,1592т) (2(х)т+), Са $'!+(2!п)а(!пх)', С,' 0,6366!х, б, = — 90Лпх, 5,' — 45ха.
При х-гсо Ст — Ст )г 2Длх), 1 1 ба~ — х — — п(2т — 1), бт=к — — п(2т+1). 4 ба (к), град б, (к), град 6, (х), град 6( (х), град С„(к) Сг (х) С, (х) Са (х) 6„(к], град ба (к], град б, (к), град ба(х), град Сг (к) Са (х) С, (х) С, (х) 2546,4 318,25 39,711 00,00 0,01 0,14 00,00 0,00 0,00 ! 27,65 32,157 8,2984 00,00 5099,3 — 0,01 639,82 0,14 81,203 00,00 0,00 0,00 0,1 0,2 0,4 152 852 9 565,1 600,72 437 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2.6 2.8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 1,8300 1,4659 1,2679 1, 1356 1,0384 0,9628 0,9016 0,8507 0,8075 0,7703 0,7088 0,6599 0,6198 0,5861 0,5573 0,5323 0,5104 0,4910 0,4736 0,4579 0,4436 0,4306 0,4187 0,4077 0,3975 0,3881 0,2792 0,3710 0,3633 0,3560 00,00 33,03 42,48 50,45 57,75 64,65 71,3! 77,79 84,14 90,40 96,58 108,77 120,80 132,71 ! 44,54 156,3! 168,04 ! 79,72 191,37 203,00 214,6! 226,20 237,78 249,34 260,90 272,44 283,98 29э,51 307,04 318,56 330,07 6,4591 3,3253 2,2979 1,7916 1,4913 1,2926 1, 1513 1,0454 0,9629 0,8966 0,7963 0,7234 0,6675 0,6230 0,5866 0,5560 0,5298 0,5071 0,4872 0,4694 0,4536 0,4392 0,4262 0,4143 0,4034 0,3933 0,3839 0,3752 0,36?0 0,3594 00,00 0,44 1,71 3,70 6,28 9,35 ! 2,82 16,60 20,66 24,94 29,39 38,74 48,52 58,62 68,96 79,49 90,15 ! 00,93 1! 1,81 122,75 133,76 144,82 155,92 167,06 ! 78,23 189,42 200,64 211,88 223,14 234,42 245,71 6,459! 3,3253 2,2979 1,7916 1,4913 1,2926 1,1513 1,0454 0,9629 0,8966 0,79Я 0,7234 0,6675 0,6230 0,5866 0,5560 0,5298 0,5071 0,4872 0,4694 0,4536 0,4392 0,4262 0,4143 0,4034 0,3933 0,3839 0,3752 0,3670 0,3594 00,00 0,44 1,71 3,70 6,28 9,35 12,82 16,60 20,66 24,94 29,39 38,74 48,52 58,62 68,96 79,49 90,15 100,93 111,81 ! 22,75 !33,76 144,82 155,92 !67,06 178,23 189,42 200,64 211,88 223,14 234,42 245,71 63,057 15,546 6,8535 3,8748 2,5393 1,8440 1,4451 1,1994 1,0388 0,9283 О,? 884 0,7035 0,6453 0,6019 0,5676 0,5392 0,5152 0,4944 0,47 60 0,4597 0,4450 0,4317 0,4! 95 0,4084 0,3980 0,3885 0,3796 0,3713 0,3635 0,3562 00,00 — 0,45 1,82 4,04 6,97 — 10,30 13 62 16,53 18,73 20,07 — 20,50 18,94 14,80 8,84 — 1,61 +6,52 ! 5,31 24,57 34,20 44,11 54,24 64,55 75,01 85,58 96,25 107,01 1! 7,83 128,72 139,65 150,64 161,66 Т а б л и ц а П.П.В Амплитуды и фаэы сферических функций Бесселя При х-~-0 1 1 3...(2т — !), т+1 Ш= хтгк т' Ь 57,30катка 6' = — — 6, т 1 3 5 ...
(2т+1). 1 1 3... (2т+1) ' т т-1-1 7)а= 1/х, ба=57,296х, 6,'= 19,098х'. При х-~со 7)т 0' 1!х, 6 = к — (1 !2) тп, 6' = к — (! /2) (т + 1) и , ба (х), град б, (х), град б (к), град бг (к), град ра (х) 01 (х) пю (к) О, (х) б, (к), град а (х) ба (х) град Р (х) 3005,0 377,53 48,174 14,793 00,00 6003000 0,00 187875 0,00 5906,2 0,00 785,47 00,00 0,00 0,01 0,09 90050 5637,4 354,57 70,730 00,00 0,00 — 0,0! 0,06 150150 9412,6 595,44 120,04 00,00 0,00 0,00 0,00 О,! 0,2 0,4 0,6 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2.2 2,4 .2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 10,000 5,0000 3,3333 2,5000 2,0000 1,6667 1,4285 1,2500 1,1111 1,0000 0,8333 0,7! 43 0,6250 0,5556 0,5000 0,4545 0,4167 0,3846 0,3571 0,3333 0,3125 0,2941 0,2778 0,2632 0,2500 0,2081 0,2273 0,2174 0,2083 0,2000 05,73 ! 1,46 ! 7,19 22,92 28,65 34,38 40,1! 45 86 51,57 57,30 68,75 80,21 91,67 103,13 114,59 126,05 137,51 ! 48,97 160,43 171,89 183,35 ! 94,81 206,25 2! 7,72 229,18 240,64 252,10 263,56 275,02 286,48 100,50 25,495 11,6 00 6,7315 4,4721 3,2394 2,4911 2,0010 1,66 09 1,4142 1,0848 0,8778 0,7370 0,63 "зб 0,55 90 0,4993 0,4514 0,4121 0,3792 0,3514 0,3274 0,3066 0,2883 0,272! 0,2577 0,2448 0,233 ! 0,2225 0,2128 0,2040 00,02 О,!5 0,49 1,12 2,08 3,41 5,10 7,18 — 9,58 12,30 18,56 25,75 33,68 42,19 51,16 60,49 70,13 80,01 90,08 100,32 110,70 121,20 131,79 142,47 153,22 164,03 174,91 185,83 196,78 207,79 100,50 25,495 11,600 6,7315 4,4721 3,2394 2,4911 2,0010 1,6609 1,4142 1,0848 0,8778 0,7370 0,6355 0,5590 0,4993 0,4514 0,4121 0,3792 0,3514 0,3274 0,30 66 0,2883 0,2721 0,2577 0,2448 0,233! 0,2225 0,2128 0,2040 00,02 О,!5 0,49 1,12 2.08 3,41 5,1! 7,18 9,58 12,30 18,56 25,75 33,68 42,19 51, 16 60,49 70,13 80,01 90,08 100,32 110,70 121,20 131,79 142,47 ! 53,22 164,03 174,91 185,83 196,78 207,79 2000,0 250,05 74,149 34,350 16,125 9,4081 6,0034 4,1014 2,9599 2,2361 1,4262 1,0205 0,7931 0,6529 0,5590 0,4918 0,4411 0,4011 0,3686 0,3415 0,3184 0,2985 0,281! 0,2657 0,2519 0,2396 0,2285 0,2! 84 0,2091 0,2006 — 00,01 0,08 0,25 0,58 — 1,10 1,82 2,73 3,80 4,96 — 6,!4 8,11 8,97 8,25 5,87 — 1,97 +3,21 9,44 16,50 24,28 32,49 41,18 50,23 59,57 69,15 78,92 88,88 98,97 109,20 ! 19,55 129,98 ба (к), град бг (х), град б, (к), град б-, (х), град Оа (х) О; (к) Ог (х) О, (х) И 1274 2!84!6 55372 16940 оо,оо о,'оо о,оо о',оо б, (х), град б„(х) град Ра (к) бв (к) град ба (к) град о,(х) Оа (х) оа пд 111.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
