Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 81
Текст из файла (страница 81)
РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ Волновое уравненае )ли А,в,,и — —— са дР в переменных г, 8, (р, ( дли функции (у=ее)м( можно привести к уравнениго Гельмгольца: Аг 8 ер ! а " (11 в сферической где А,в,„ — оператор Лапласа системе координат: 442 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 ') 6 2,8 з,о 3,2 З,'4 3,6 З,'8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 з',о 3,2 3,4 З,б З,Я 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 10881 3098,8 1079,0 435,72 197,24 97,792 52,238 29,702 17,812 И, 189 7,3207 4,9682 3,4852 2,5202 1,8743 1,43 И 1,')Г98 0,8967 0,7336 0,6124 0,5206 4530,1 1977,1 932,47 468,63 250,25 140,06 81,850 49,707 31,246 20,265 ! 3.523 9,2642 6,5027 4,6692 3,4251 2,5638 оо,оо о,'оо о',оо о,'оо о,'оо о,'оо о',оо о,'оо О,О( О',О) о',оз о,'об О,)З о,'гз 0,41 0,70 1,13 1,75 2,62 3,78 5,29 оо,оо о,'оо о,'оо о',оо о,'оо о,оо о,оо о,'оо о,оо о,оо О,О( О,О1 О',Ог 0,04 0,07 О,'1З 75167 !7733 5254,7 1841,! 733,60 323,68 155,!7 79,694 43,385 24,827 14,835 9,2059 5,9066 3,9037 2,6493 1,8415 1,ЗОЯЗ 0,9486 0,7015 0,5290 0,4072 19768 7790,5 3342,8 1541, 1 755,58 390,70 2И,68 ! 19,52 70,012 42,388 26,440 16,944 И,'13! 7,4788 5,1305 3,5874 оо,оо о,оо о,'оо о',оо о,'оо о',оо о,оо о,'оо — О,'О) О',О) — о,'оз 0,06 О',!1 О,'21 0,38 — 0,66 ),О9 1,'7З 2,65 3,92 — 5,58 оо,оо о,оо о',оо о,оо о,оо о',оо о,'оо о,оо о,'оо о',оо — о,оо — О',О) 0,02 0,04 0,07 — О,!2 140453 33227 9879,0 3475,1 1391,'1 6! 705 297,64 153,95 84,491 48,802 29,476 !8,521 12,057 8, )О40- 5,6086 3,9878 2,9075 2,1704 1,6567 2,29! б 1,0276 37889 14980 6451, 1 2986,2 1470,6 764,'20 4! 6,3! 236,48 139,45 85,051 53,485 34,591 22,954 15,599 10,839 7,6895 оо,оо о,оо о',оо о,'оо о,оо о',оо о,оо о',оо о,оо о,оо о',оо о,'оо О,О( О,'02 0,04 О,О7 о,(з 0,23 0,39 0,64 1,'00 оо,оо о,оо о,'оо о,оо о,'оо о',оо о,оо о,оо о,'оо о,'оо о,оо о',оо о,'оо о,'оо О,'О) О,'О( 5985,2 2370,4 (ОЗО,) 483,46 242,16 128,25 71,28'2 41,335 24,884 !5,489 9,9334 6,5446 4,4184 3,'О499 2,1483 1,5417 1, 1256 184915 66ИЗ 25947 ИО!6 5001,8 2407,3 1219,1 645,82 356, И 203,55 120,19 73,094 45,665 29,242 19,156 12,815 о,оо о,оо о,'оо о',оо о,оо о,'оо о,оо о,оо — О,О( 0,02 о',оз — 0,06 0,12 0,22 0,37 0,61 — 0,98 оо,оо о,'оо о,оо о',оо о,оо о,оо о,'оо о,оо о,оо о',оо о,'оо о,оо о',оо о',оо о,оо — О',О) 1 д/ д! 1 1 д/ д1 ! дя пг,б, = — — г' — )+ — —.— 1мп0 — )+ гз дг ~ дг) гв ап 0 дб ( дб) ге я(па 0 дгрз' Умножая левую часть уравнения Гельмгольца на гв и обозначая д! д1 ыг ! д/ д! ! д )+ ""= ~""' )+ дг(, дг) с' ' е ми 0дб(, дб) япвбдгрв' после подстановки решения в виде о=)с (г) У (0, ф) получаем бг)т (') бе Ч~ — + =О, )с (г) У или ог)с ба, е! — = — — =Л.
)с 1' Из зтого следует, что функция )с (г) удовлетворяет уравнению гщя бг)с — Л)г = ге)8" +2гР + — гг — Л~ (с=О ( ся а для определения У (б, ф) — уравнению 1 д ('. дУ) ! дгу Ьб, У+ЛИ = —. — Яп б — — ) + —. — — +ЛИ=О. я1п0 дб ( дб) я!пзбдфв Положив У =В (6) Ф (ф), получаем уравнение для Ф (ф): Ф- (р)+ РФ (р) =О. Из условия периодичности Ф (ф+2н) =Ф (ср) следует, что уравнение для Ф (ф) имеет решение только при целом р=пв.
Линейно независимыми решениями валяются функции я!п ф и сов гир: Ф „=А „соя,лф, Ф„=А„митр. Функция 6 (0) определяется из уравнения для условия ограниченности В (8) при 8 ы О, пн. Введем переменную х=сов0 и обозначим й(0)=Х (х). Тогда - — (1 — х') — + Л - — 1 Х = О ( — 1 < х ( 1). г!х ! г(х ) ~ 1 — хя/ уравнение допускает ограниченные решения только при Л=т(т+1). Этими решениями являются присоединенные полиномы Ргаг (х) при л т. Таким образом, функции У (0, ф) =Х (соя 0) Ф (гр) представляются в виде Ум! (9, ф) =- Рт' (сов 6) соз пф условимся приписывать положительный верхний индекс тем сферическим фуик- цияи т.го порядка, которые содержат сов лф, отрицательный — тем, которые содер:.кат в!п лф. Тогда л=О У)г (6, ф)=Рт(сояб), п=! Уги (0, ф) — Рга (соя 0) созф, Ут — Рт(соя 0) миф л=2 Уит (б, гр)=Ра (сов 6) соя 2ф, Уаф =Рта'(соя 0) ми 2ф, п0 0 У~~'(б, ф)=Р~~1(сояб)создф, У~ ~1(6, ф)=Р1 Ы(соя8) яшар, т.
е. имеем 2т+! различных сферических функций т-го порядка. 443 Лвнейная номбинация всех различных решений уравнения (2) является также решением этого уравнения; У (в, р) = ~ ~(А „ р + В „ з!п р) Р!л! ( В) = ~Р С „ 1'!л! (б, р), л= о л= — щ А л при л(О, где С В,лл при л > О. Преобразуем уравнение к виду при условии "к=т (т-1-1) т(т+1) ~ О ( щ) С помощью подстановки 1~ (г) = 1' (г)1 Ргг получзем уравнение У„+ 1 У,+~ (т+!)2) г ( гг которое после замены переменной г=г!й сводится к ураввенню Бесселя полуце- лого порядка: + +У! 1 У=О. дзУ 1 аУ Г (т+ 112)з1 дгз г дг Г г' Решением этого уравнения являются цилиндрические функции полуцелого порядка У=Я +! (г). Таким образом, Я (г) = —. = гг — Я ! !ш (г) (г=йг). У(г) / д г При этом вид цилиндрической функции определяется так, чтобы выполнялись условия ограниченности функции при г=О и условия излучения на бесконеч- ности.
Запишем частное решение волнового уравнения (!); -1- щ "щ=1'-'- "1 '-""'" ) л= — щ Для внутренних краевых задач на сфере ' 2г о ! !Гз — — ег щ ! !Гг (г) = р/ — (щ (г), +щ от= ~/ — 1/ — Гщ (г) 11 С лУ!л! (О„щ) = +щ =2 ~/ -,1-). (г) '~ С.„У!л1 Р, „), л= — щ /2г, 2к! 2 + „— о 1,, (г) = аг — ) щ (г) Если функции о не зависят от азимута ф, то /! ощ 2 1г — (щ (г) Рщ (соз 0). Для внешней краевой задачи функция 2 +! г(г), удовлетворяющая условию излучения, есть вторая цаяиндрилвская фрикции Ханкеля пояркового порядка Н,"„Ь ~ге(г), которая выражается через сферические функции Ханкеля второго рода с помощью формулы Нщс р !1г(г)=1/ — й"' (г), или Таким образом, амплитудная функция для внешней краевой задачи имеет вид р,=2 $гг — й'(г) ~~ С „)г~"~(В,ф)=2 ~/ — й"'(з) Г С „Р~я(0, ф) .
лф, — я л=-я (з) где числа л(0 — для членов суммы, содержащих амлф; л)0 — для членов суммы, содержащих яп ф. Часто используется и другая формула часгного решения (1): о (йг, 8, ф)=йя»'(з) ',~~ А лсозлф+Вяла!плф. (4) л=о Общее решение задачи представляет собой сумму всех частных решений: и» -Ь пг о 2 ( — ) ~ ~~! Стл й'»' ( — г) )г~",~ (Ю, ф), пг О л= — п1 о(йг, 8, гр) ~ ~ (Апглсгелф+Вя„з)п лгр) Рг"! (8, ф) й"'(йг). (6) пг=ол=о В частности, для симметричных (зональных) колебаний поверхности сферы функции о не зависит от ф; (й 0)= Х А,Ря(созб)й'„", (йг). (7) пг= о Формулы (3) — (7) применимы к области, лежащей вне сферы (а(»се).
Функции йп~м (йг) удобно представить с помощьв модуля 0 (йг) и фазы 6я (йг). !Ч, ПРОИЗВОДНЫЕ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПОЛЕЙ В декартовой системе координат Х)»2 дФ дФ дФ йгай Ф = — 1+ — ) + — "' дх ду дг дА „дА» дА» 61чА= — + — + — ' дк ду дз д»Ф д»Ф д»Ф АФ= — + — +— дх' дуз дг' ' В цилиндрической системе рф2 дФ 1 дФ дФ йгадФ вЂ” е + — — е + — е; др О р дф е дг 1д 1дА, дА 61т А = — — (рАО) -(--- — + —; р др " р дф дг !1 дА» дАе! /дАО дА») Г! д 1 дАО! го1 А = ~ — — — — 1 е + ~ — — — ) е + ~ — — (рА ) — — — ) ее.
( р дф дг ! о ~ дз др ! е 'й р др О р дф ) В сферической системе лрб дФ 1 дФ 1 дФ и»ад Ф= — е +, — е, -1- — — еб, дг г »япб дф е г дб ! д ! дА, 1 д 61т А= — — (г»А,)+ —. — + —. — (АО яп 8); гз дг ' гяпб дф гяпб дВ 11 1 дА, д + — ~ —.— ' — — (гА )|ев. г 'й»1пб дф дг ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ЧАСТЬ 1 Глава 1. Колебательные системы с одной степенью свободы 6 1.1. Периодические и гармонические колебания....
й 1.2. Колебательная система без трения ....., ... 9 !.3. Механическая колебательная система с потерями й !.4. Вынужденные колебаяия 4 7 13 16 Глава П. Колебания с несколькнмн степенями свободы . 28 $ П.!, Системы с конечным числом степеней свободы..., 4 П,2. Некоторые сведения из теории электрических пеней 5 П,З. Метод электромеханнческих аналогий .....,,, 5 П,4. Примеры расчета некоторых колебательных систем . Глава П1. Применение метода электроакустических аналогий для расчета низкочастотных акустическнх волноводов ......., ......, ... Глава 1Ч.
Колебания одномерных систем с распределенными параметрами 9 1Ч.!. Поперечные колебания струны 6 1Ч.2. Вынужденные колебания струны ........ $ 1Ч.3. Продольные колебания стержней ........ 9 !Ч.4. Колебания стержней постоянного сечения ... 6 1Ч.б. Колебания жидкости или газа в узких трубах 4 !Ч.6. Поперечные колебания стержней 136 136 149 Глава Ч.
Двухмерные колебательные системы с распределенными параметрами 9 Ч.1. Поперечные колебания мембран 6 Ч.2, Поперечные колебания пластин 9 П1.1 й П1.2 9 П!.3 9!П.4 4 1П.б 5 П!.6 Акустические элементы звукопроводов ....., ..., ... Акустические масса и проводимость ............... Акустическая податливость элементов звукопровода ..... Элементы потерь на вязкостное трение н теплопроводнасть . Корректирующие контуры и их акустические аналоги Электрические, механические и акустические фильтры 28 46 55 63 73 73 76 78 81 88 93 93 107 1!1 116 124 !30 Глава Н!.
Распространение упругих волн в жидкостях н газах 153 8 Н1.1. Основные уравнения . 4 Н1.2. Волновое уравнение и его решение 9 Н1.3. Энергия упругих волн . з Н!.4. Затухание упругих волн 6 Н!.5. Скорость звука в газах и жидкостях Глава НП. Отражение и прохождение звука через границу раздела двух сред 180 8 НП.!.
Отражение и прохождение звука через границу раздела нормальном падении 6 НП.2. Прохождение звука через плоскую гранину раздела двух при косом падении 6 НП.З. Полное внутреннее отражение. 4 НП.4. Прохождение звука через плоский слой Литература прн сред ЧАСТЬ 1! Глава 1. Элементы теории излучения. Сферические излучатели 193 6 !.1.
Анализ условий излучения упругих волн........... 4 1.2. Характеристики излучателей 9 1.3. Пульсирующая сфера 6 1.4. Двойной источник или акустический диполь 4 1.5, Звуковое поле осциллирующей сферы............, 4 1.6, Излучение звука при сложном колебании поверхности сферы й 1.7. Несколько задач об излучении сферическими источниками 221 Глава П. Цилиндрические источники 22! 227 229 233 9 П.1. Цилиндрический излучатель бесконечной длины ...., ... 6 П.2. Осциллирующий цилиндр 8 П.З. Общая теория излучения звука цилиндром э П.4. Излучение кольца, расположенного на поверхностя цилиндра . 4 П.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
