Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 79
Текст из файла (страница 79)
17) Первый сомножитель содержит только параметр ба. Приравнивая его к нулю (а,,=О), получаем дисперсионное уравнение (йа)' еу, фа) + 2!)а е ; фа) = О. Воспользовавшись соотношением (известным из теории цилиндрических функций) ет;(х) = — ет,(х), получаем сокращенную запись: ()аФ,(ба) =2Ф,фа). (1Х.7.18) Первые три корня уравнения (!Х.7.18) имеют значения: хм =- ()ма = 6,136; х„= ()„а = 8,417; х„= ()„а =! 1,62. (! Х.7.19) Таким образом, амплитуда крутильных волн пропорциональна произведению х,реУ, (х,рг/а). Между постоянной распространения у для крутильных р-волн и волновым числом ы1с, чистого сдвига существует соотношение, которое используется в теории нормальных волн в пластине: у'+р2 =ге'/с,'. В данном случае, выражая Ц через корни (1Х.7,19), получаем (уа) = ~/ ~ — ~). — (х, )'. На рис.
!Х.7.1 схематически представлены дисперсионные кривые первых трех мод круглого твердого волновода. Мода для р= О соот- В общем виде корни обозначают с помощью целочисленного индекса р. Например, р-й корень обозначим ()ог — — ха 7а. Целочисленный индекс р указывает на порядок волны, соответствующий дисперсионному уравнению (1Х.7.18). Из всех нормальных волн смещения, выражаемых (!Х.7.1) при а=О, остается только компонента векторного потенциала Ч'а, которая определяет крутильное смещение стержня: .оор / (А=Вз — О, Ва,-е О).
ветствует прямой линии, проходящей через начало. Очевидно, для частот, удовлетворяющих неравенству и>а/с, ( х„= 5,136, крутильные волны возникнуть не могут. Дисперсионное уравнение для крутильных волн имеет также другое простейшее решение: ра=О, откуда следует 5=0. Таким образом, простейшие крутильные сдвиговые волны выражаются формулой А, = Вг'е>' <~з> — тз>, из = В ге>' >и> — тз>. Среди множества крутильных волн в стержнях только волны низшего порядка не обладают дисперсией. Дисперсионная кривая для этих волн проходит через 0 под углом 45' з»>>г и представляет собой прямую линию.
11родольные волны в круглом стержне »> имеют две компоненты смещения: продольную и, и сдвиговую и„. Для этих волн отличны от нуля скалярный потенциал Ф >а и компонента векторного потенциала Аз. >> Для продольных волн в прямом цилиндре легко получить дисперсионное уравнение нз (1Х.7.16): ом ам а„азз >> или г 4 з' » л»г уа >>пцзз лзза>з = О. Риа !Х.7,! Подставляя в это уравнение из (1Х.7.15) выражения для а,„, а„, а„, и а„при а=О, получим дисперсионное уравнение для продольных нормальных волн в сплошном цилиндре (уравнение 77ахга>амера): — (Рз+ у') с з (аа) з з Яа) — (Рз — уз) з з (аа) с з (()а)— — 47зари , (аа) з з (Г!а) = О.
(1Х.7.20) Отметим некоторые свойства продольных волн в цилиндре. 1. При уменьшении частоты колебаний в цилиндре данного радиуса фазовая и групповая скорости продольной волны стремятся к общему пределу — фазовой скорости стержневых волн: с ='ггЕ~р. 2, При некотором значении коэффициента Пуассона (0,2833) для цилиндра частоты сдвигового и радиального продольного резонансов совпадают. 3. При изменении частоты фазовая скорость нормальной волны изменяется и с увеличением частоты приближается к фазовой скорости рэлеевской волны.
Смещение продольной волны состоит из смещений растяжения и сдвига. Отношение амплитуд этих смещений является функцией частоты. ЛИТЕРАТУРА [Ц. Ландзу Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., 1954. [2), Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., 1973 — Т. 1. [3]. Международный злектротехнический словарь.
Гр. 08. Электроакустика. М., !963. [4). М о р с Ф., Ф е ш б а х Г. Методы математической физики. М., 1960.— Т. П. [5]. Свешников А. Г., Тихонов В. А. Теория функций комплексного переменного. М., 1967. [6). Я н к е Э., Э и де Ф., Лещ Ф. Специальные функции, формулы, графики, таблицы. М., 1967. [7). Бр е х ов с ки х Л. М.
Волны в слоистых средах. М., 197!. [8]. Чер нов Л. А. Волны в случайных неоднородных средах. М., 1975. [9). Т юл и н В. Н. Введение в теорию излучения и рассеяния звука. М., 1976. [10[. С к у ч е к Е. Основы акустики. М., 1976 — Т. 1, Н. [1Ц. Ржевки н С. Н. Курс лекций по теории звука. М., 1960. [12). Р им с к и й-Корсаков А. В. Электроакустика. М., 1973. [13).
Бабуркин В. Н., Гензель Г. С., Павлов Н. Н. Электроакустика и радиовещание. Акустические вопросы вещания. М., 1967. [14). Ноздрев В. Ф., Федор ищенко Н. В. Молекулярная акустика, М., 1974. [15]. Михайлов И. Г., Соловьев В. А., Сырников Ю. П. Основы молекулярной акустики, М,, 1964, [16). Пригожин Н. Введение в термодинамику необратимых процессов. М., 1960 [17]. Физическая акустика. Методы и приборы ультразвуковых исследований.
Ч. А.7Под ред. М э з о н а У. М., 1966 — Т. !. [18). Дрей вен И. Г. Электроакустика и звуковое вещание. М., 1961. [19). Исаковн ч М. А. Общая ахустика. М., 1973. [20). Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. М., 1966. [2Ц. Алексеев В. К., Л е пе нди н Л. Ф. Акустическое поле пульсирую. щего кольца на цилиндре,— Акуст. исурнал, 1967, 14, вып. 4 [126).
[22]. Алексеев В. К., Лепендин Л. Ф. Акустическое поле системы пульсирующих колец на цилиндре.— Акуст. журнал, 1967, 14, вып. 1, 37. '[23[. К о л м а к о в а Н. А., Л е п е н д и н Л. Ф. Об условной границе дзльнего поля излучателей. — В сбл Прикладная акустика. Таганрог, ТРТИ, !973, вып. У, 24. [24).
Ле не яд и н Л. Ф., Пере варюха А. П. К расчету полей излучения сферических и кольцевых преобразователей. — В сбл Прикладная акустика. Таганрог, ТРТИ, 1969, вып. П. [25). Колм акое а Н. А., Лепеидин Л. Ф. К вопросу об оценке дифракционных постоянных преобразователей. — В сб.: Прикладная акустика. Таганрог, ТРТИ, 1975, вып. 1, 3. [26). Гитис М. Б., Химунин А. С. О поправках на дифракцию при измерении коэффициента поглощения и скорости звука.— Акуст. журнал, 1968, !4, вып. 3, 363 — 370. [27).
М о д е л у н г. Матыйатический аппарат теоретической физики. М., 1961. [28). Иоффе В. К., Ямпольский А. А, Расчетные графики и таблицы по злектроакустике. М., 1954. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Дифференциальное уравнение (1 — г') ы' — 2гы'+т(т+1) ы=О удовлетворяет функциям ы (г), однозначным и аналитичным для действительных значений г=х ~ы ( — 1, 1). Указанные функции имеют вид степенных рядов и называются полиномоми Лежандра лого порядка Рт (х) (т — наивысшая степень многочлена). Они удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки; +1 0 при т =я= п, Р„(х) Р, (х) г/х= ~ 2 при т= и.
Для полиномов Рт(х) имеются следующие рекуррентные формулы; х' — ! Р, (х)=хР,„(х)+ Рл1 (х), т+! игл Р = — — (хе — 1)т. 2глт1 бхм Приведем первые пять полиаомов Лежандра: Р, (х) =1; Р, (х) = х = соз 8; Р, (х) = (Зх' — 1)/2 = (3 созе 3+ 1)/2; Ра (х) = (5хз — Зх)/2; Р4 (х) = (Збхе — 30хз+3)/8; Р, (х) = (53хй — 70х+! 5х) /8. Числовые значения полиномов Лежандра приведены в табл. П.П.!. 2. Функции ш(г), удовлетворяющие уравнению пз (1 — гв) ш" — 2гю-!- ~~л (т-(-1) — — 1 ш = О, 1 — гз 1 называют присоединенными полиломогш Лежандра степени т и порядка и. Для целых т и л фуцкции ш(г) однозначны и аналитичны при г=хш ( — 1, 1) (х — действительная переменная). Эти функции удовлетворяют условиям ортого- вальности и нормировки: +1 = -'- (--'.")'- — ! (т,г=0,1,2,...; п=0,1,2,...,гл), ( 0 при тФг, »ь»= [ ! 1 при т=г, ! ['[" ()~ ~ =— а 1 (ш+ п)1 2т+1 (ш — и)! ' о ' [Р" (')!' 1 ( + )1 йх= — — ' 1 — х' 2т (ш — и)! а (»г=О, 1, 2, ...; »=.0, 1, 2, ..., т) и могут быть получены с помощью рекуррентных формул гГ» (1 хе)»Ы г(г»»» Р» =(1 — х )" ге — Р,„(х) = [(ха 1)»г[ = ( 1)м»» ррй ( ( — [==х~ !).
Приведем первые шесть присоединенных функций Лежандра: Р" ,(х) = Р»1 — хе=ми 6; — 3 РР (х) =Зх [' 1 — х'= — яп 2В; 2 Р," (х) = 3 (1 — хе) = — (1 — соа 26); 3 2 Р,'"(х)= — (5ха — 1) [' 1 — хе= - — (ми 6 — соеЗВ); 3, — 3 Р'„" (х) = 15 (1 — хе) = 15,'4 соя 6 (сов 6 — а(п 36); Р," (х) =15 (1 — х ) ) 1 — х'= !5г4(3 а[п 6 — а[в 36), Кроме того, Р1,1(х)=1.3 5 ...
(2т — 1)(1 — х)"'Ы=т[1(а1пВ) (»=О, 1, 2 ...). 3. Цилиндрические функции ы (х) =- Е, (х) порядка ш составляют решение уравнения Бесселя 1, l ше'г ы" + — оз' + ! 1 — — ~ ы = 0 г ' аа) и могут быть получены на основании рекуррентных формул 2ш т Х„,ы (х) = — 2 , (г) — Ем г (х) = — 2 (г) — Уг» (х) = — а'» — [а-»'Х,„ (г)!. Существует несколько видов цилиндрических функций: ( 2) аыа 61Г(т+й+1) ~ 2) ( ! ага ( .с и) — функции Бессели порядка ак 43! У,„(г) = . (еУ,„(г) соэ лгл — е ,„(г)), 1 Нт (г) = ( — 1) Н-т (г) = — еут (г) ()п — + С)— -+()ГХ.,';.,":, (т)" (Х -', т Х -';)- /1 г)™ С! (тл+й — 1)! уг !эа ,и 2,1 э~! й) ') 2) а=о (лг =О, 1, 2, ...; агя г ( и) — функции Неймана порядка ап о )ам! ! Нм (г) =оУ~ (г)+/М~ (г) =/См (г) е = уС (г) (соз б +1' а(п б ), е7,„(г) = — С,„(г) а)п [бм (г)), Нм = С,„соз (бм (г)) т)Н„(г) °, ° .
° )а,'„<г! и'г = ест (г) +/Ум (г) =)См (г) е --функции Ханкеля иервого рода и их производные, где С (г),С '(г) — модули функций и их производных. с.-уа.'.~.'; с.'(э=тю5ггз: б, (г) = — агс1я; б,'„(г) = — асс(я ег м (г), ~Угп (г) Нт (г) Нм (г) — фазы функций Ханкеля и их производные; Нм (г) = еУ,„(г) — ! У,„(г) = — /С,„(г) е С (г) = к еум (г)+У„(г); б, (г) = — агс(я тГ . э, е~,„(г) Фм (г) АН ° °, ° . ° — и 1г) — = еУм (г) — )Нм (г) = — )См (г) е дг Ннм (г) )Р (Н',й'(г), Нт (г)) = Д и) — Н мн (г) 0г Н,г (г) 41 Н' () = пг' л э ог 4. Многие задачи математической физики приводят к цилидрическим функциям полуцелого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
