Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Для этого в уравнение (1Х.2.5) подставим дога(дха из (1Х.2.6). В результате получим + ():+1 ) + (тй' = р дзгя д диь деи! (1 Х .2.7) дхь ' дх! дхь др Между фазовыми скоростями продольной и сдвиговой волн существует связь. су -! ! — а ст !' ! — 2а (1 Х .3.4) Эго отношение для различных ыеталлов изменяется в больших пределах.
Например, для цинка (а — 0,25) и свинца (а.=0,44) отношения скоростей, вычис. ленные по (1Х.3.4), определяются числами 1,74 и З,З. Волновые уравнения (!Х.3.1) имеют решения в виде функций: их = 1, (сг( — х,) + 1„' (ст(+ х,), из = (а (с„( — хт) + !а' (с,(+ хт), из =(г (с,( — хт)+('з (ст(+ха) Каждая из этих функций описывает распространение плоских волн в противоположных направлениях. Первая функция дает представление о распространении продольной волны, вторые два описывают распространение поперечных волн. Следовательно, произвольная плоская волна в изотропной упругой среде состоит из продольной и поперечных волн, причем фазовая скорость продольной болыпе фазовой скорости поперечной волны. Для продольной волны дивергенция смещения, т.
е. относительное изменение объема, не равна нулю; Йу и, ~ О. В поперечной волне изменений объема пе происходит: дЬ и, = О. В связи с этим продольные волны иногда называют объемныжи; поперечные — сдвссговылси. Частным случаем плоской волны является сннусоидальная плоская волна, распространяющаяся вдоль оси Х: и, =А, сон (ш( — й,хз), из=А, сох (ш( — йтхь)г из =А, сон (ш( — й„х,), где й,=ш(сб й,=-ш!с,. Рассмотрим распространение упругой волны произвольной формы. Известно, что любую малую деформацию можно представить как сумму деформации растяжения и сдвига: (1 Х .3.5) ц=ц,+п„ где н, и п, имеют следующие свойства: го! ц, = !Чпт! =- О, гйу и, = (Чц,) =- О. (! Х.3.6) й = с,' Лц + (с, '— ст) ага г) сВ и и. (! Х.3.7) 407 Поэтому разделение волны произвольной формы на объемную и сдвиговую не зависит от формы волнового фронта: опо существует не только для плоских волн, но и для сферических, цилиндрических и других волн.
Покажем, что уравнение динамики для волн произвольной формы распадается на два волновых уравнения; одно для продольных, другое для поперечных волн. Для этого в уравнении движения выразим постоянные р и й через скорости с, и с,: р= ос,'-, Х= о(с,' — 2с!). Тогд.а При подстановке в (!Х.3.7) суммы (!Х.3.5) с учетом (1Х.З.6) получаем и,— сс" Ацс — (сс — с()атас)с((чис=с бис — и,. (1Х 38) Из известной формулы векторного анализа игас( СВч ис = го1 (го1 ис) + Лис = Лис с учетом (1Х.3,6) находим ягас( ГВч и, = Лип В результате уравнение (1Х.1.8) преобразуется к следующему виду: и, — сс Лис = — (ц, — с,' Лис). (1Х .3.9) Выше было отмечено, что смещение ц, подчиняется свойству (Чи,) = О.
Следовательно, вектор и, можно представить как ротор некоторого вектора А: и, = го1 А = [ЧА1. С другой стороны, поскольку го(и,=О, вектор и, может быть выражен как градиент ср: и,=атас(ср= Чср. Отсюда следует, что векторы и, и и, взаимно перпендикулярны, на основании чего уравнение (1Х.З.9) может быть удовлетворено при условии, что левая и правая части равны нулю. Тогда для волны с произвольным волновым фронтом получаем: 1 1 Лис = — „и„йи, = —, и„ (1Х.3.10) где и,— соленондальный вектор (сйчц,=О); ис — потенциальный вектор (го1ис= О); с;. и с,' — квадраты фазовых скоростей объемных и сдвиговых волн.
$1Х.4. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ ЖИДКОСТЬ вЂ” ТВЕРДОЕ ТЕЛО В 9 Ч11.1 ч. ! приведено решение задачи об отражении и преломлении плоской волны на плоской границе между различными жидкостями, Рассмотрим задачу об отражении и преломлении плоской волны па плоской границе между жидкостью и изотропным твердым телом. Известно, что в жидкости могут распространяться только продольные волны. В твердом изотропном теле существуют лишь продольные и поперечные волны.
Поэтому явления отражения и преломления на границе раздела жидкость-твердое тело сложнее ранее разобранного случая, Если плоская волна падает на границу жидкость — твердое тело, то в результате взаимодействия падающей волны с неоднородностью, 408 ф ДОЛМŠ— И(хмпв — ксозв) фз Язсгзо)Š— М(»цпв схсозв) образуют звуковое поле в жидкости с по- тенциалом (р ф 1 ф' В)зз) (4Š— И(кнп — ксозв) 1 А е — ы( ыв -В ° .О)) (1Х 4 1) Потенциал продольной волны в твердом теле Рис. 1Х.4.! ф =А Е)оВŠ— )1,(кппв,— Вв (1Х 4 Х) 1= 1 Кроме того, в твердом теле появляется сдвиговая волна, определяемая векторным потенциалом А.
Векторный потенциал сдвиговой волны и вектор сдвиговой деформации взаимно перпендикулярны. Вектор сдвиговой деформации лежит в плоскости падения, поэтому из трех компонент векторного потенциала в твердом теле отличается от нуля только компонента по оси )" А В и! — )Ф (кмпв — ксозВк) (1Х.4.3) х Комплексные амплитуды А'„А„В и углы О', О, определим из граничных условий. При г = 0 норв(альные составляющие деформации в жидкости и твердом теле равны друг другу: д(р д(в) дА — = — + —" дг дг дг Учитывая (1Х.4.1) — (1Х.4.3), получаем , А' )г(СОВ ОЕ )К )пи СОЗ О' — ЕИ Ыв) А А В 1 А, 1 — )1 к з)п О + й ° Π— )и х з)ззв — г )П (1 Х .4.4) Уравнение (1Х.4.4) может иметь решения для- всех значений х, если экспоненциальные множители равны друг другу: Š— Ихип Π— ' Еыкз)п В' Е )11» з)п В1 = Е )осз(пик или й В!и О = — lг В1п О' = й, В(п О, = йс В1п Ос.
(!Х.4.5) Таким образом, при прохождении плоской волны через границу жидкость — твердое тело возникает трансформация продольной волны: обусловленной границей, могут возникнуть следующие дополнительные волны; продольная в жидкости, продольная в твердом теле и поперечная в твердом теле. Расположим систему декартовых координат так, чтобы нормаль и, к фронту )))Л) падающей волны составляла с нормалью п, к поверхности угол 180 — О (рис. !Х.4.1).
Потенциалы падающей и отраженной волн з в твердом теле появляются продольная и сдвиговая волны. Для углов преломления этих волн выполняются следующие равенства: з!и 0, = -'- з)п 0, з!и 0, = —" з)п 0,. с с Так как с, ~ с,„то угол преломления продольной волны больше угла преломления волны сдвига и является функцией коэффициента Пуассона: Используя закон преломления (1Х.4.5), получаем из (!Х.4.4) первое уравнение для нахождения амплитуд А'1А„А2!А и В)А: й соя 0 (1 — — ) =йг сох 0,— 0+йхз!и 0, — „'. (1Х.4.6) Для составления недостающих уравнений воспользуемся граничными условиями при а = 0: осс + о22 = оип + 0222 О = сгиы + о 222 Заменив в уравнениях (1Х.4.7) Асс = — ссг<01сг, Лсрг = — о22ср„'с,', получаем (1Х.4.8) Хгмг ( дг~р д24, сг ~рс 92( дг' + дхдг)' '1' д2022 дглс д'Аи + — —— дх дг дхг дгг мг — ).— сс =— с2 (1Х.4.9) Представляя упругие постоянные в виде м2 , 222 <22 ), = рсг = р —, ),2+ 292 = рг — 2, р, = рг —, 22 и2' Хх и воспользовавшись (!Х.4.1) — (1Х.4.3), из (!Х.4.9) найдем: — ~1+ — ) = ~! — 2 — ', з)п 0 ) — ' — эбп 202— (1Х.4.10) (г22 — 2 з)п 20г+кгг — !! з(п 202 = О, 2 А 4!О где ам=)и226ы+212иси — напряжения, определяемые законом Гука.
! ди„дсм ~ ди дих . В частности, ахх = 2ри„ = р(-~;"- + †'); о„ = (), + 2р) де+), -й-'-, оих= О. Для жидкости модуль сдвига равен нулю: р=О. Поэтому граничные условия записываем в виде системы уравнений (' д2022 д'Ад х б2р = Х, Ь022+ 2!2 ~ д, + д дг~рг дгА, дгАи 0=2 — + — — —. дх дг дх' дг. Выразив в (!Х.4.5) и ([Х.4.10) амплитуды А', А, и В, через коэффициенты отражения и прохождения (г=А'!А, 1т=А„'А, 1, =— = В!)А), получим систему уравнений относительно г, !г и !т: й соз 0(1 — г) = (й, соз 0,) !г+(гст 6[и бт) 1„ — (1+и)=) 1 — 2 —,' 6[п'0,',1, =(з!п20,) бы ([Х,4,!!) 1 )г[ з М а О = ()г[з з! и 20 ) 1! + (йте с о 6 20,) !т.
Ее решением являются следуюшие зависимости для искомых коэффициентов: еаэ+ етсгз — 1 (! Х.4.12) егйэ + етгхэ + 1 ' р 2ег[) ([Х.4. 13) (1Х.4.14) рг егйз+ етаз+ 1 егй'+в х'+ 1 гДе ете иг1г) ете атгг; гт=Ргст/соз0,; се=Ртст/соз0„; г=Рс1соз01 В = соз 20,; сс = ейп 20,. Если в формулах (1Х.4.12) — (1Х.4.14) обозначить ег([з+етаз=ее, то коэффициент отражения будет иметь вид ее — ' ее+1 Рассмотрим некоторые случаи прохождения звуковых волн через плоскую границу раздела жидкость †тверд тело. При нормальном падении плоской волны 0=0; 0,=бе=0. Отсюда следует, что п=цп20т=п, а=сов 20т=1.
Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения при 0=0 в — 1 р 2в г= —, 1г= — —, 1т=б, в+1' р, в+1' мп 01 с с;' с 8ог=агсвп —. с, ' Угол 0„называют первым углом полного внутреннего отражения. При условии 0) 0ш угол преломления для продольной волны удовлетворяет неравенству з[и 0, ) (с„'с) зш 0- 1, откуда следует, что соз 0, = =[' 3/ [с,1(с ейп О)!з — 1 и поэтому угол мнимый, В этом случае амплитуда 411 где в =р,с!Яре).
Следовательно, при нормальном падении коэффициент отражения г определяется только отношением удельных волновых сопротивлений твердого тела и' жидкости, коэффициент прохождения 1г лля продольных волн, кроме того, зависит от отношения плотности, коэффициент прохождения 1 сдвиговых волн равен нулю. Дальнейший анализ требует уточнения соотношения между с, сг и ст. Обычно с<от<от.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
