Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(1Х.5. 16) $ тх.в. КОРмАльные ВОлны В нлАстннАх Нормальные волны распространяются в протяженных упругих телах, ограниченных свободными поверхностями, причем направление волнового вектора этих волн перпендикулярно нормали свободной поверхности. Рассмотрим общую схему решения задачи о распространении нормальных волн. 418 Вектор деформации может быть представлен в виде суммы двух векторов — потенциального и, и соленоидального ц„: и =ц,+и,. Выражая вектор продольной деформации п, через скалярный потенциал <р, а вектор деформации сдвига и, через векторный потенциал А, найдем и =%р+ [2рА!.
(1Х .6.1) Подставив смещение и в виде суммы (!Х.6.1) в уравнение динамики (1Х.3.1), найдем уравнения для функций»р и А: с)У»р= —,, 22 Ч~ д»2 (1Х.6.3) (1 Х .6.2) где с[= Р+, с,'= 1 2 й Р Р Кроме того, с((ч А = О. (1Х.6.4) 14 Л, Ф. Лееенднн 417 Система уравнений (1Х.б;2) и (1Х.6.3) содержит четыре уравнения относительно четырех функций»р, А„А„, А,. Уравнение (!Х.6.4) дает зависимость между тремя функциями А„Аь, А„поэтому из четырех функций линейно независимыми остаются три. Из множества решений уравнений (1Х.6.2) и (!Х.б.3) реализуются только функции, которые удовлетворяют граничным условиям и условию затухания на бесконечности.
Если изотропное упругое тело ограничено свободной поверхностью, то в качестве граничных условий используют равенство нулю нормальных компонент тензора напряжения: омп„= О. В зависимости от формы свободной поверхности в качестве решений выступают те или иные волновые функции, характеризующие различные виды волн, поэтому дальнейшее изучение вопроса должно быть связано с конкретным видом граничной поверхности.
Рассмотрим случай распространения нормальных волн прн условии, что ограничивающая поверхность состоит из совокупности двух безграничных плоскостей. Пусть пластина ограничена плоскостями х = - Ь и в направлениях г' н Л безгранична. Условия исчезновения напряжений на границе сводят к шести уравнениям (трем уравнениям для поверхности х = Ь н трем для поверхности х= — Ь): (1Х .6.5) к = ж Ь к = жЬ к =- аЬ В качестве решений (!Х.6.2) и (1Х.6.3) рассмотрим следующие функции: ~р = (А соз ах + В з! и ах) е71""-»21, А, = (С сов [)х + Р з (п рх) е71нь-»21, А„=(Е сов ()х+Ез(п бх) е»1"'"»21, (1Х .6.6) А, = (б соз ()х + Н 2!и ()х) е»1Ф'-»21. Непосредственная подстановка этих решений в волновые уравнения (1Х.6.2) и (1Х.6.3) дает следующие соотношения между величинами а, р, у, частотой га и скоростями с, н с„: (!Х .6.7) сг ' иг уг (1 Х .6.8) сг ' Найдем формулы для компонент смещения и.
Учитывая, что потенциальные функции не зависят от координаты у, из (1Х.6.1) получаем: д<р дАг дА» дАх дх дг ' ' дх дг д<р дА„ иг =- — + —. дг дх Компоненты тензора напряжения связаны с компонентами смещения законом Гука: дих диг ди, охх=(Р+2Р) д +й д, пах=и (1Х.6.10) Заменяя по формулам (1Х.6.9) компоненты смещения, получаем: о„х = р (с! — 2с,') ( " — —" — й)гр1 — 2рсг1 ( дхг дхдг 1 1, дхдг дхг ( ' ! дглр дглг ') о „=рсг1 — —,"— гх ~ дх. дх др /', , ( дгА„дгАг дг<р 1 о = рс,'( —" -1- —" — 2 — 1.
гх '( дх' дрдг дхдг!' (1Х.6.11) с соз иЬА + с з)п иЬ — ! яп ()ЬЕ+ ! соз ~ЬР = О, с сов ссЬА — с з)п иЬВ+! з!и (1ЬЕ+~ соз ~)ЬР= О, — й яп ()ЬС+ й соз рЬ0+ рг соз 1)ЬС+ рг 81п ()ЬН = О, йяпрЬС+йсоз(3Ь1г+()гсозрЬΠ— ргяп!)ЬН==О, (1Х,6,12) — ИяпаЬА+с(созиЬВ+асов рЬЕ+дяп()ЬР=О, г( яп аЬА + с( соз иЬВ + д соз рЬŠ— сг яп рЬР = О, — Р з1п ()ЬС+ () соз (!ЬΠ— !у соз ()Ьс — !у Б1п (1ЬН = О, р яп !1ЬС+ р соз ()ЬР— !у соз рйб+ !у з!и рЬН = О, где с = рс!иг + р (с1г — 2с) уг; с( = = 12иу; ! = — ! 29 у(); д = уг — () г; й = — !у'1. 418 После подстановки в уравнения (1Х.6.5) и (1Х.ОА) потенциальных функций (!Х.6.6), положив х=+ Ь, получим систему из восьми однородных линейных уравнений относительно восьми коэффициентов(А, В, С, О, Е, Р, 6, Н): Однородные линейные уравнения имеют независимые решения, если главный определитель системы равен нулю. В данном случае, приравнивая к нулю определитель системы (1Х.6.12), находим условия существования отдельных независимых решений для искомых коэффициентов.
Главный определитель системы уравнений (1 Х.6.12) легко представить в виде произведения четырех определителей второго порядка: Лц Лц, = Лш = Таким образом, условие существования независимых решений системы (!Х.6.12) таково: Л~ Лц Л,ц Л1т=О, Оно выполняется при равенстве нулю одного из четырех детерми- нантов. При этом получакпся следующие соотношения между компо- нентами смещения: А =В=С=Е=-Р=Н=О, и„=О, и„= (рб — /уй) з(п рхед' т' и,=О при Л~ =01 А=В=В=Е=Р=6=0, и„=О и, = ( — рН вЂ” !уС) соз ()хед '-т' и,=О (1Х 6.18) при йц =-0; В = С = 0 =- Е = б = Н = О, и„= — (аА йп ах+ !уР яп рх) ед"'-т', и„=О, и,=(рРсоз()х — )уА соз ух)ег'""-тм (1Х.6.
19) при Лги =0; А=С=О=Р=С=Н=О, и = (аВ соз ах+ (уЕ соз (3х) ед""-т'1, и„=О, и,=( — рЕ йп 6х — )уВ йп ах) Ф""-т'> (1Х.6.20) при А~к=О. 14* 419 — !усозрЬ ()'соз рЬ вЂ” р 51п рЬ вЂ” Ь яп ()Ь сйпаЬ вЂ” г(япаЬ д сох !)Ь !йп 6Ь (1 соз рЬ Ь соз 11Ь вЂ” !уйп рЬ ~'яп6Ь ' ! сох рЬ дзш рЬ асозаЬ сяпаЬ (! Х.6.13) (!Х.6. 14) (1Х.6.15) (! Х.6.16) Первые два случая характерны тем, что смещение и направлено по оси г', т.
е. перпендикулярно направлению волны и расположено параллельно граничным плоскостям. Поэтому эти волны называют горизонтальными. С другой стороны, это сдвиговые волны. Их обозначают ЯН, что значит «сдвиговая горизонтальная> (термин заимствован из сейсмологии, где граничная поверхность горизонтальна). Волны ЯН, для которых смещение частиц пропорционально з)п рх, называют антисимметричными; их обычно обозначают 8НА (сдвиговая горизонтальная антисимметричная). Смещение, соответствующее Лн =О, пропорционально соз Рх, поэтому такие волны называют симметричными. Их обозначают 8Н8 (сдвиговая горизонтальная симметричная); наглядное представление о волнах ЗНА и ЯН8 дает рис.
1Х.6.1. и, ((т) Рис. 1Х.б,1 Рис. 1Х.6.2 Здесь изображены векторы сдвиговой деформации для верхней части (+к) и нижней части ( — х) пластины; направление распространения волны совпадает с осью Е. Волны, для которых выполняются дисперсионные уравнения Л,и =0 и Л~т = О, имеют две компоненты смещения: сдвиговую и и объемную и, (рис.
!Х.6.2). Волны, выражаемые (1Х.б.!9), имеют амплитуду сдвиговой компоненты смещения, пропорциональную з)п ()х. Зти волны антисимметричны, поскольку знак смешения при замене знака координаты х изменяется. Волны, соответствующие (!Х.6.20), содержат сдвиговую компоненту смещения, но ее амплитуда пропорциональна соз Рх, поэтому их называют симметричными. Антиснмметричгые н симметричные волны, содержащие объемную составляющую деформации, обозначают символами Я!.А и 81.8. В плоскости симметрии может распространяться только поперечная (Я(,А) или только продольная (Я!.8) волна.
Дисперсионные уравнения Горизонтальные нормальные волны. Смещения частиц среды при распространении горизонтальных волн в пластинах определяются формулами (1Х.6.17) и (1Х.6.18); и,=О, и,=О, и„= (рΠ— !711) з)п рхеп"'-т'1 420 для антисимметричной волны; и„=О, и,=О, и„( — !Н вЂ” !ТС) сов рхед "~-т'1 для симметричной волны. Эти волны содержат только сдвиговую компоненту смещения. Для антисимметричной волны условием независимости коэффициентов б и 0 является равенство нулю детерминанта — !у сов рЬ р сов рЬ (Р сов рЬ !ур сов !)Ь или р (у'+ (Р) сова р Ь = О. (1Х.6.21) Нетривиальными решениями полученного уравнения являются (!в=(Р 2)п ь (Р=1, 2, 3, ...), 11 1 Таким образом, сдвиговая горизонтальная аитисимметричпая волна определяется формулой и, =(т--б — !Т1)) в!и — хед '-т '! ь (1Х.6.
23) (т = р — 1/2; р = 1, 2, 3, „.). Например, возможны следующие ЯНА-волны: и„1» = Ь (йь б) + (У) 1)' в!и — ь сов (е!! — У,г — а,), Ггв. 1в в В и„1м —— ~~ ( вь б) +(у!))'в!и вь сов(~! — у~а — ив), / гвя Р . вях ижв1 ~ ~в б) + (7~ ~) в1п вь сов (~! Уза ив) !' ~2ь ижю= р' ~ — ьпб) +(70)'в!п~ в пх)сов(гь! — у~в — а ). ~2т,0ь 1 ! Здесь а =агс1д~ Для симметричных поперечных сдвиговых волн получаются формулы, отличающиеся от (1Х.6.23) и (! Х.6.24) только значениями числа т. Из Лп = О получаем для ЯНВ-волн р (у'+ 'р') в!пв РЬ = О. Его решения () =т 'ь (т=О, 1, 2, ...), Между р и т для всех сдвиговых волн существует связь (1Х.6.7).
В данном случае зависимость у от частоты представлена в виде (у Ь)в + (тп)в ( ШЬ )2 (1Х.6.24) 42! Зависимость между значениями у Ь н частотой со для некоторых волн типа ЗН дана на рис. 1Х.6.3. На графиках по оси Х вправо от нуля отложены реальная 1!е(у„Ь) волнового размера пластины (уЬ), а влево от нуля — мнимая часть [1гп (у Ь)]; по оси г' — безразмерная частота огЫс„, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
