Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 74
Текст из файла (страница 74)
3 (1Х, 1. 17) В выражениях (1Х.!.15) и (1Х.!.16) компоненты тензора напряжения являются линейными функцияыи компонент тензора деформации. Иногда удобно польза. ааться обратной зависимостью, т. е. линейныии функциями компонент тензора деформации от компонент тензора напряжений. Чтобы получить эти зависимости, в каждом из уравнений (1Х.1.15) и (1Х.1.!6) найдем тевзор ап.
Например, полохсив в (1Х.!.15) с'=/с 1, получим асс=злисс+2рисс=(за+2р) ип. Следовательно, ап Зь+ 2!с Подставляя выражение для исс в формулу (!Х.1.15) и решая уравнение относи. сельпо исс,, получаем сси=- 2 — '(асс — 2 З) биа с) 1 С а (1Х.1. 18) 2р+Зэ Точно так же можно вывеств аналоги шую формулу: 1, ! С 1 ии= — бины+ — (аса —. — йсэасс).
(!Хдлв) Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Одним из видов деформации является простое растяжение стержня. На основе описания деформации растяжения введены технические модули: модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона а. Допустим, что стержень прочно закреплен одним основанием и подвергнут растягивающему усилию Р. Если сечение стержня (, то средняя внешняя сила, приходящаяся на единицу Р площади, численно равна р = —. При не слишком больших усилиях возникает небольшое удлинение стержня и уменьшение его поперечного сечения. Продольная деформация стержня равна Л(с(, поперечная — Лс(сс( (здесь (†начальная длина стержня; с( — начальный линейный размер поперечного сечения; Л( и Лс( — изменения этих величин при деформации).
Оставаясь в рамках линейного приближения, можно записать два уравнения: а! 1 ас! а! — — — Р— = — а -)- Е ' д (1Х.1. 20) 402 Оба выражения представляют собой закон Гука для однородной деформации растяжения. Формулы (1Х.!.20) удобны для нахождения из опыта модулей упругости материалов. Чтобы использовать в общем законе Гука модули Е и а, необходимо найти выражения модулей и, сч К и 6 через технические модули упругости Е и а.
Для этого запишем отдельно все компоненты тензора деформации (1Х.1.18) при простом растяжении. С этой целью расположим прямоугольную систему координат так, чтобы ось 2 совпадала с осью стержня. Допустим, что сила растяжения направлена в сторону положительных значений г. На основе граничных условий среднее значеппе силы растяжения, отнесенной к площади 1, равно гг-й компоненте тензора напряжения: Р— — =8=а,„. Боковые гран~ стержня свободны, поэтому а,„=а„„=О; внешние моменты сил также равны нулю, поэтому сдвиговые напряжения а„„= == а,,=а,а=О. Подставляя компоненты напряжения в (1Х.1.18), получаем ком. поненты тензора деформаций простого растяжения в виде 1 Г Л 1 1 и,= 2 — (а,,— 2 +ЗЛ (а„а+паз+а,)) — 2 2 +3Л Р, (!Х.1.21) 1 Л 1 Л+и 2И 2И+ЗЛ ' ' м ! 2И+ЗЛ ' ' С учетом (1Х.1.20) и (!Х.!.21) находим, что отношение продольного напряжения р к продольной деформации, называемое модулем Юнга, выражается формулой Е=-! (!+ (! Х.!.22) и+л а отношение поперечной деформации и„-, = и„„к деформации удлинения (коэффициент Пуассона) Л 2 (и+Л) ' Точно так же можно показать, что справедливы следующие формулы: 9КО ! ЗК вЂ” 26 ЗК+О' а 2 ЗК+20 ' (1Х.!.24) где 6 — модуль сдвига.
Поскольку К и б всегда положительны, то коэффициент Пуассона может изменяться от 0(К=О) до '!э(6=0). Полезно иметь в виду, кроме того, следующие соотношения: 21- а Е 2 (1+а) ' (1Х.1.25) Е Еа К=— 3(! — 2а) ' (! — 2а) (1+а) ' где К вЂ” модуль упругости объема, а — коэффициент Пуассона, Е— модуль Юнга. Физический смысл первого коэффициента Ламе Л. Деформация одностороннего сжатия проявляется в случае, когда размеры стержня изменяются только в одном направлении. Допустим, что стержень зажат снизу и с боков неподвижными стенками.
На свободную грань стержня действует сила, которая вызывает деформацию вдоль оси стержня, 403 равную А((1 = и„. Найдем напряжения, возникающие в стержне. В данном случае удобно воспользоваться формулами закона Гука, в которых независимыми переменными являются компоненты тензора деформации (1Х.1.15) или (1Х.1.16).
В эти формулы подставим компоненты тензора деформации: ихх = и„э = О, и„= А(((. В результате получаем выражения компонент напряжения при односторонней деформации: ахх = ) бххцхх + 2рпхх = ) цхх ~ а.„=)б„„и..+2ри,,„=)и„, а„= Хб„и„+ 2ри„=- (1, + 2р) и „, (1 Х. 1. 26) или а,х = а„„=- — Х вЂ” —, а„= — () + 2р)— Ж А1 Знак минус в последних формулах показывает, что напряжения при сжатии направлены внутрь образца. Наоборот, если бы односторонняя деформация была положительной, то напряжения, возникающие при этой деформации, были бы направлены в сторону внешних тел. В данном случае рассматриваем деформации как причину возникающих напряжений. Формулы (1Х.1.26) раскрывают физический смысл первого коэффициента Ламе ).
Очевидно, (1 Х.1.27) Иначе говоря, модуль ). равен отношению поперечного нормального напряжения к удлинению стержня при одностороннем растяжении. э ГХ.2. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ 404 Леформации, рассмотренные в 2 1Х.1, соответствуют изменениям состояния тела при постоянной температуре. Поэтому модули упругости, встречающиеся в тех или иных формулах закона Гука, характеризуют связь между деформациями и напряжениями при изотермических процессах.
Этн модули называют изатермическпми. Однако изотермическое изменение состояния твердого тела является идеализацией. В природе деформации большей частью осуществляются при условиях, когда температура тела по тем или иным причинам не остается постоянной. В таком случае также можно записать закон Гука, но модули упругости в этом законе будут отличаться от изотермических. Особенно интересен случай динамических деформаций, когда процесс деформации осуществляется в условиях теплоизоляции.
Итак, чтобы получить адиабатический закон Гука, воспользуемся механическим уравнением состояния на основе внутренней энергии: а;, = — (ди/дим),. Формально внутреннюю энергию при малых деформациях можно представить в виде ряда (Х.1.13), но для внутренней энергии и(з, им)— в виде ряда, коэффициенты которого будут производными компонент напряжения по переменным им при постоянной энтропии, Тогда получим формулы закона Гука, содержащие адиабатические модули. Все адиабатическне модули отличаются от нзотермическнх.
Связь между ними можно проследить с помощью термодинамического соот- ношения Тя!'И (1Х.2.1) Кр К с, Поскольку при сдвиговых деформациях не происходит изменения объема, адиабатический модуль сдвига равен изотермическому: 6,= 6. (!Х.2.2) Выражения (!Х.2.1) и (1Х.2.2), дополненные формулами связи между различными модулями, позволяют найти соотношения: Е о+ЕТя! ! 7ср 1 — ЕТя!Ю !ср ! — ЕТа~Ю !ср Для оценки порядков величин обратимся к числовым значениям для моду.
лей железа: Е = 21 10'э дин!см'! о=0,287. При температуре Т= — 400 К удельная теплоемкость железа с — 2,1 10' эргЯг град). Однако в формулы (1Х.2.3) входит теплоемкость единицы обьема вещества ср — — рс =1,6 !Оэ эрг1(смз град). Коэффициент объемного расширения железа яме =3 10-э 1!град Величина Еяии ус, входящая в формулы (1Х.2.3) для Т=400 К, имеет числовой значение ~1,6 !О э. Поэтому можно пользоваться приближенными фор. мулами: Тя!и! о, =о+(1+о) Е— ср Ер ~ Е (1+ Е (!Х.2,4) В частности, для железа Е,-Е(1+1,6.!О '); о - "о+(1+о) 1,6 1О-'. Для других металлов аднабатические модули также мало отличаются от изотермических. Уравнения динамического равновесия.
Преобразуем уравнение динамики деформации дзи! дога ди дха +Рн!' (1Х .2.5) где ! / диа диь ! дил дзиа ып= —, пуз= — — +— дха ' 2 (,дха дх! !' дха дхадх,' После несложных преобразований получим (1Х .2.6) 406 используя закон Гука: ом = Хбга+ 2рим. Непосредственное дифференцирование по ха правой части (1Х.2.5) составит: К уравнениям (1Х.2.7) необходимо добавить уравнения, составляющие граничные и начальные условия. Если обозначить через р; компоненту внешней силы, действующей на единицу поверхности тела, а через и, компоненту едишччной внешней нормали, то в качестве граничного условия следует взять о„па= р!.
Например, па свободной поверхности ам=О н поэтому гранич ое условие имеет вид р; = О. Если тело зажато, то в качестве граничного условия используют сн = О. Наконец, в общем случае в качестве граничного условия задают рь/из=с)!ь, т. е. отношение напряжения к деформации. й гх.в. Унньтнк волны в тнкхмквнон снкдк Плоские волны. Как известно из 2 1Х.!, уравнение движения (!Х.2.7) в упругой среде соответствует малым деформациям. Поэтому для периодических процессов это уравнение пригодно лишь для малых амплитуд.
Применим его для выяснения закономерности распространения плоских волн. Представим себе плоскую волну, которая распространяется вдоль направления координаты х= х,. Смещение ц не зависит от у= хв и з=х„ следовательно, зависит только от х„ т. е. компоненты смещения им из и и, являются функциями только координаты х, и времени й Для этого случая' уравнение (1Х.2.7), записанное для компонент смещения и„ из и и„ имеет вид дзиг ., дзи"; .. дзиа рй~ — — (а+2)ь) два ' Рй~ (ь д а Р"и Р д " ' 1 или, введя обозначения )ь/р = с,', )ч+ 2(ь/р = с!, получим волновые уравнения: данг 1 .. опия 1 ..
диа 1 дха с' т' дх' с' в' дх' с (1 Х .5.1) 1 1 'г ! в Первое из трек уравнений (1Х.3.1) является уравнением смещения вдоль распространения волны; оно характеризует продольную волву; вторые два содержат смеюения из и иа, которые перпендикулярны направлению распространения волны и соответствуют поперечным волнам. Постоянные с! и с имеют размерность скорости и представляют собой фазовые скорости распространевия продольной и поперечной (сдвиговой) волн: Х+2р т) Е (1 — о) т/сЗК+46 р )' р (!+о) (! — 2о) 1' Зр „17Г;Г,,Г (1 Х .3.2) (1 х,з.з) 406 Теперь можно записать уравнения динамики деформированного тела в линейном приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
