Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е, отношения частоты го к основной частоте поперечного резонанса пластины для сдвиговых волн. Как известно, отношение частоты сс к постоянной распространения у равно фазовой скорости монохроматической волны. В данном случае фазовая скорость определяется ссь! из уравнения ( С ) = с', — !ыЫ(' с!)1,. (1Х.6.25) Удобно фазовую скорость с представлять по отношению к скорости с,. Тогда (1Х.6.25) для безразмерной скорости преобразуется к виду ( — ', ~'= — —,'.„ 4 =1 — —,, (1Х 6.26) с' ! (с,'„)а ' ь с я в г с в к откуда 1„(уь) яе(уь) с' =, . (1Х.6.27) Ь' 1 — (!/(с' ) !с Здесь с'= —; с„' = с, ссЬ,'(ып) Таким образом, для данного типа волн существует условие распространения ыЬ/с,(тп.
Наряду с фазовой скоростью эти волны характеризуются также групповой скоростью, которая выражается формулой Ряс. 1Х.6.3 с„с=~ 1 — (1/с„')'с„ (! Х.6.28) или в безразмерном виде с, = гт=1%и*. (1Х.6.29) Формула групповой скорости получается при дифференцировании (!Х.6.24) по параметру у. Продольные и изгибные нормальные волны. Из общего решения задачи следует, что если детерминант Лщ = О, то вектор смешения материала пластины определяется формулами: и„= — (Асс з!и их — у)г з!и рх) его"-т'1; (1Х.6.30) и, = (()р соз рх — !уА соз ах) его"-т'1, т. е.
вектор смещения н антисимметричен относительно плоскости Х = О. Опуская промежуточные преобразования, запишем окончательное уравнение, к которому приводится (!Х.6.30): (а (1Ь 4 (ть)с (()Ь) (аь) (!Х.6.31) (ас ь 1(ть) — (йь)с!с Если Лш = О, то формула смещения для симметричной продольноизгибной волны имеет вид, определяемый (!Х.6.20). В этом случае после преобразования (!Х.б.!6) получаем дисперсионное уравнение (к ()ь Вуь) — (йь) 1~ (каь 4(уь)е(йь) (аь) ' (!Х.6.
32) Поскольку р'+у'=ььь/е,", аз+у'=гвь/е), т. е, и, т, = ( — ~ = 2 (1 — а) , то полученные дисперсионные соотношения между уЬ и 1 — 2в ыЬ/е, рассматривают как уравнения с параметрами о и называют их диепереионными рравнениями Рвлея — Двмбш Для невзаимодействующих волн они имеют вид ег = 1/ —" = )Г2 е,.
Г2и р Среди предельных волн имеется также пластиночная волна. Ее скорость равна пределу скорости первой продольной волны при наинизшей частоте: с„, =с,~ 423 где аЬ= О, и/2, и, ..., ь)п/2; !)Ь=О, и/2, ..., — ', К=с,/с,. Прн мнимых значениях уЬ уравнение для а описывает последовательность окружностей, каждая из которых соответствует своему значению д=О, 1, 2, ..., уравнение для р соответствует эллипсам при Р=О, 1,2, ... При действительных значениях уЬ первое уравнение описывает гиперболы с асимптотами гвь/е,=КуЬ, где К=с,/е, и зависит только от о.
Из этих уравнений получаются также две асимптоты, если положить аЬ=О и ()Ь=О. Если параметр уЬ вЂ” мнимый, то вместо волнового процесса наблюдаются колебания, которые имеют амплитуду, уменьшающуюся с увеличением г по экспоненциальному закону. Если уь =О, то амплитуда смещения не зависит от г. Если рЬ=О и аЬ= О, как это следует из (1Х.6.19) н (1Х.6.20), то колебания не зависят от х. Дисперсионные уравнения описывают все типы нормальных и других волн в изотропной пластине.
В частности, если выделить только первую продольную и первую изгибную составляющие и взять предельное значение фазовой скорости при высокой частоте, то получим скорость рэлеевской волны. В пределе дисперсионное уравнение в этом случае совпадает с дисперсионным уравнением для рэлеевских волн.
Кроме скорости рэлеевских волн, примечательна еще скорость сдвиговых ЯЧ-волн в пластинах. Эту скорость называют скоростью волн Ламе: В !х.т. КОРмАльные ВОлны В сплОшнОм цилиндРе Вывод основного дисперсионного уравнения. При исследовании упругих нормальных волн воспользуемся представлением смещения через векторный и скалярный потенциалы и записью системы дифференциальных уравнений относительно потенциальных функций. Для решения задачи о распространении упругих волн в сплошном круговом цилиндре представим уравнения движения (1Х.6.2) и (1Х.6.3) в цилиндрических координатах г, 9, г. Условимся ось 2 считать совпадающей с осью цилиндра.
Предположим, что решения уравнений выражаются функциями: з)п лВ Ф вЂ” 7(г) ед ~-то соз пВ з(п пВ А й (г) адов-т ) соз пВ з(п пВ Ав = йв (г) елов-то, соз пВ (1Х .7.1) А, = й, (г) ед ~-т'1. з(п лВ соз лВ После подстановки (1Х.7.1) в уравнение движения (! Х.6.2) получим уравнение дг)я функции 1(г): 7 + — 1' + ~а' — —,) 7 = О. (1Х.7.2) После замены переменной х=аг (1Х.7.2) приводится к уравнению Бесселя: 1" + — „'1+(,'1 — — "„*,)Р=О. Если бы рассматривалась задача о распространении упругих нормальных волн вдоль полого стержня, то необходимо было бы к этому решению добавить цилиндрическую функцию Неймана.
Для функции п,(г) дифференциальное уравнение имеет точно такой же вид, как и для функции 7'(г): й;+ —,' й;+~р' — —",,*) й,=о, где р' ) ово/с' — у'. Решением (1Х.7.4) является также функция Бесселя порядка л: л, = Воо „(рг). (1Х.7.5) 424 Решением данного уравнения является )'(г) =А!„(аг)+ВМ„(аг).
Так как 1(г) внутри цилиндра не может неограниченно возрастать, слагаемое с функцией Неймана (ВФ (г) ), о = — оо) должно быть отброшено. Поэтому ~ (г) = Ао „(аг). (1Х.7.3) Для функций й,(8) и йв(8) получается система дифференциальных уравнений 1, ! в)Я й," + — й; + —, ( — п'й, + 2пй, — й,) + —,, й, = О, » !, 1 м» йв + йе+ —, ( — п~йв+ 2пйв+ йв)+ —, йе = О.
Вычтем из второго уравнения (1Х.7.6) первое: —,(й,— йе)+ — й (й„— йе)+(()~ — ( ) ~(й,— йв) = О, (1Х.7.7) Затем произведем сложение этих уравнений: „— —, (й, + йв) + —, ~, (й, + йе) + ~Р~ — ( ) ] (й, + йв) = О. (1Х,7.8) Уравнения (1Х.5.7) и (1Х.5.8) имеют решения в виде цилиндри- ческих функций. Отсюда следуют выражения для функций й„и йв: й,=В, ~»,фг)+В, ~»;дфг), (1Х.7.9) йе=В,ат» т(~г) — Вват„ыфг), Как известно, произвольный вектор смещения определяется тремя константами.
При использовании потенциальных функций имеем для определения вектора смещения четыре константы. Лишнюю константу можно положить равной нулю. Для удобства положим равной нулю постоянную В,. На основании этого допущения получим й,= — йе. (1Х.7.10) Следовательно, поле смещения в цилиндрическом упругом стержне выражается функциями: и, = (7' + пй,/г+ уй,) соз п8 е!!и!-т'!, ие = ( — и!7г+ Ф, — й,') соз п8 ег<и!-т'! (1Х,7,11) и, = ( — 77+ й,' — (и + 1) й,г7г) сов и 8 ег!и!-т'>, Для составления дисперсионного уравнения воспользуемся условием, согласно которому на свободной поверхности цилиндра компоненты тензора напряжения равны нулю: о„= о„= о,в = О.
(! Х.7.12) Компоненты тензора напряжения связаны с компонентами тензора деформации законом Гука. В цилиндрической системе координат закон Г)!ка выражается уравнениями: ! ди ди 1 див ! ди, о,„= » ( ' + — ' + — — ) + 2)в — ', ( иг дг г де ) дг 425 Подставляя в (1Х.7.13) функции и„иш и, из (!Х.7.1!), получаем: о,, = ~ — ). (а'+ у') 7+ 2р ~ Р + 2 ~ Й,' — — Йг) + уй;) соя па, о = Р ~ 27!' — — и, ~Й вЂ” ~ — — р'+ у-'рй,|) — — lг,~ соя пь.
Г» г Г Используя граничные условия (1Х.5.12), получаем при г = а сле- дующую систему уравнений относительно постоянных А, В, и В,;. ац4+а„В,+амВ,=О, а„А+ а„В,+а,,В, = О, амА + аээВ2+ аэзВэ =- О, (1Х.7.14) где А, В, и В,— коэффициенты, входящие в формулы (1Х.7.3), (1Х.7.5) и (1Х.7.9); а;, — девять коэффициентов, определяющих ди- сперсионное уравнение, которые выражаются следующими формулами: ГЛ (а'+ у') (сса)' ац — — ~, + (аа)' — и' еу„(аа) + аачУ„' (аа), а„= п [(аа) ст;, (иа) — ду„(иа)], ага = — и [()а.У;, фа) — су„(ра)1, а„= — [и' — (ра)'! еу„фа) — раг7;, фа), а„= — [2п' — (ра)х! чу, фа) + 2 фа) ч7;, фа), ам = 2и [фа) еУ„' фа) — ч „(ра)1, а„= — (аа) чу„' (аа), (1Х.7.
15) (р т2 а~~ = — 2 фа) еу» фа), ааэ = п.у„фа). Условием существования независимых решений однородных урав- нений (1Х.7.14) является равенство нулю детерминанта: /ам/=О. (! Х.7.16) Выражение (1Х.7.16) представляет собой основное дисперсионное уравнение сплошного цилиндрического стержня, которое справедливо для всех целых и =- О. Уравнение (1Х.7.16) определяет различные семейства нормальных волн. В частности, если и=1, то имеется се- мейство изгибных нормальных волн, аналогичное семейству изгибных волн в пластине.
При и)2 имеется семейство изгибных нормальных волн кругового порядка. Для п = О днсперсионное уравнение сво- дится к произведению двух сомножителей — элемента второй строки третьего столбца и его минора. Первый сомножитель дает диспер- сионное уравнение для крутильных волн, второй — дисперсионное уравнение для семейства продольных нормальных волн в твердом цилиндре. Крутильные и продольные волны. Исследуем семейства крутиль- ных волн. Оно получается из решения (1Х.7.1), когда и = О.
В этом случае отдельные коэффициенты ам (1Х.7.16) упрощаются: а„=~ т,( ) +(аа)'1Ф,(аа)+ааааа;(аа), а„= фа)' 7,(ба) — багУ; фа), а„= фа)' еУ, фа) + 2()а еУ; фа), а„= О, ам = О, а„= — (аа) чт,'(аа), а„= —,т фа) ет,'(ба), з2 272 а„= О, аеа — — О и днсперсионное уравнение (1Х.7.!6) сводится к следующему: а„ а„ О О О а,, а„а„О а„ а„ =а„ = О. ам аза (!Х.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
