Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Аналитические выражения удается получить, если ш и л (л к 1). В этом случае Р м 1, (г' = 2 и корреляционная функция отраженной волны совпадает с корреляционной функцией падающей. Корреляционная функция отраженной волны описывается (2.3) и (2.4), где Р равно учетверенному значению спектральной плотности на нулевой частоте у падающей волны.
7.2.5. Плоская монохроматическая волна ехр(йг) падает иа случайный фазовый экран, и поле в плоскости к = 0 зв экраном равно р (г ) ехр(15(г )1. Флуктуации фазы 5(г ) статисти- чески однородны, гауссовы со структурной функцией 0,(Р,) - фо(гх4,) — Ро(гЯ'), 5> - О. Найти среднее и корреляционную функцию поля Р (г ), считая, что дисперсия флуктуаций фазы о2 ограничена и В (Р ) = о2 х х (1 — р /2! < ...], где ! -масштаб корреляции 5.
Найти 2 2 корреляционную функцию Г (р ) в предельных случаях: о' к 1 и о' э 1. Выяснить, прн каких условиях флуктуации поля р(гь,г) можно считать крупномасштабными, Найти в этих случаях поперечный ! и продольный !й радиусы корреляции. Ответ. о !),(Р) <р, ехр(-~~~, Г (р ) ехр[- — ~и — ~ = ехр[-(В (О)-В~р Д). При о' к 1 функция Го(р ) м (1-о2)+ В (Р„), ! = ! 2 ! и (условие крупномасштабности й! э 1); при о' ъ 1 функциа Го(Р,) и ехР(- о~Р~/2(з), 1„- 1,/о,. 1~! = 1~й/оз (Условие крупномасштабности л! /о ъ 1).
7.2.6. Если точка наблюдения находится на расстоянии г от фазового экрана, то плошадь первой зоны Френеля равна (п>гйг ) = 2п~г/й. Отношение этой плошади к "плошади" одной неоднородности (порядка и! ) нзывается волновым параметром 2 !7 = йг/л! и характеризует, сколько неоднородностей умещает- 2 5 ся в одной зоне Френеля. Найти вероятностное распределение интенсивности волны ! = рр* и значение индекса мерцаний В = о- /<)> в зоне Фраунгофера Р ъ 1. Считать флуктуации фа- 2 зы сильными и крупномасштабными. Решение. В силу центральной предельной теоремы поле в точке при 0 ъ 1 формируется большим количеством независимых областей фазового экрана, и поэтому р(г,г) будет иметь нормальное распределение.
Для сильных флуктуаций фазы среднее поле равно нулю. Учитывая, что средняя интенсивность волны за фазовым экраном сохраняется (<7> = Г (О,г) = 1), для интенсивности имеем экспонеициальное распределение (см.(1.8.2)) %'(!) = --~--ехР(---Г-) . (1) Для индекса мерцаний получаем В = (<! >-<7> )/<7> 1. 2 2 2 7.2.7. Случайное поле в плоскости х = О представляет собой статистически однородное поле с масштабом корреляции р, модулированное по интенсивности с характерным масштабом а, При а ъ р поле статистически квазиоднородно в масштабах 243 р к а, и при этом корреляционная функция входного поля записывается в виде Го(М) = Ро(й+Ь2) Ро(й-Й2) = Уо(й) Во(А, (1) где го(й) — интенсивность волны, В (р) — нормированная корреляционная функция статистически однородного шума (В (0) о = 1). Найти, как меняются корреляционная функция, масштабы корреляции рг(г) и модуляции а(г) в случае крупномасштабных неоднородностей (йро » 1).
Решение. В случае крупномасштабных неоднородностей поле в сечении г связано с полем на входе р соотношением Й(гг-гг) к ч ми *Фа )(м р *г тг — ~ '. (2! Характерная угловая расходимость поля определяется наименьшим масштабом р, и 1/про к 1. При г к йроа поперечный пространственный масштаб расходнмости г/еро много меньше масштаба модуляции а, и корреляционная функция поля в сечении г повторяет входную корреляцконную функцию. Пусть входное поле представляет собой пучок шириной а и радиусом корреляции ро < а.
Тогда, умножая соотношение (2) на комплексно сопряженную величину н переходя прн интегрировании к разностной ~ и средней 4 координатам при г >> йрпа, имеем Г(й,д,г) = 7(й гх,г) В®г). (з) Интенсивность пучка ) и коэффициент корреляции В имеют вид )(йр>,г) = (~ — -~ Вехр' ~Во(с) ехр~ — ~~)а~, В = ~7о(4) гй, (4) В(ьчг) = 5))о(ч) ехр(-1г~~ Й (5) Экспоненциальный сомножнтель перед интегралом в (4) отражает сферическую расходнмость пучка. Из (5) следует, что коэффициент корреляции В связан фурье-преобразованием с распределением интенсивности г падающей волны. Прн этом рост поперечного радиуса корреляции определяется "диаметром" пучка: рг(г) и г/(йа). Соотношение (5) известно как теорема Ваи11иттерта-Цернике. Из (4) видно, что огибающая пучка I связана фурье-преобразованием с корреляционной функцией В, и для ширины пучка имеем а(г) и г/(йр ).
Таким образом, поле остап' ется статистически квазиоднородным: а (г)» рг(г). )(г') )(г) = В(г) б(г-г'), (2) где 3(г) — пространственное распределение яркости. Как правило, при анализе корреляционной функции можно пренебречь изменением амплитудного множителя для разных точек наблюдения, предполагая, что измерения проводятся в области У, удаленной от области источников )г (см. рисунок). Для корреляционной функции Г(у',у") = р (у')Р (у") нз (1), (2) имеем Г(у',уи) = (4п) ~ 3(г) г х и х ехр(й((у-у'(-(г-у" ))) пг.
(3) Считая, что (г( = г ъ (у( и г э У, э д(у(, в экспоненте интеграла 2 К задаче 7.2.Я можно ограничиться линейными членами по малому параметру (у)/г. (г-у) " гу/г. Будем считать, что источники расположены в узком сферическом слое, располо- женном на расстоянии г от области измерения, т.е. 3(г) = о = 6(г-г ) Р(п), где и = г/г — единичный вектор, Р(п) — угло- вое распределение яркости источников. Тогда из (3) получаем Г(уа-у') - (4п) 2)Р(п) ехр~йп(уи-у')~ ап, (4) 245 7.2.8. Пусть корреляционная функция случайного поля при з = О имеет вид Г ()(,Р) = ехр(- Р /2а ) ехр(- р /2Р ), при- 2 2 2 2 чем а ъ ро и )зро ъ 1.
Найти интенсивность )(((,О,г) и корреляционную функцию продифрагированного поля при г э дар . 52)(2 2 2 22 Ответ. Т(К,О,г) = ехр ( — ~ ), Во(рз, г) = ехр (- —  — 2 — 1. 7.2.9. Найти связь корреляционной функции поля некогерентных удаленных источников с угловым распределением яркости этих источников (одна из форм теоремы Ван-Циттерта-Цернике). Решение. Если 1(г) — пространственное распределение источников, то поле р(у), являюшееся решением неоднородного уравнения Гельмгольца, записывается как е(2(г-у! Р(У) = — 4й ~ — Г-„— — ( — )(г) Иг. (1) Корреляционная функция некогерентных источников имеет вид где интегрирование ведется по поверхности единичной сферы. Соотношение (4) носит также название теоремы Ван-ЦиттертаЦернике н показывает, что корреляционная функция поля Г зависит только от разности координат точек наблюдения и связана с угловым распределением Е фурье-преобразованием.
7.2.10. Найти корреляционную функцию изотропного (сферически-симметричного) шума. Решение. Для сферически-симметричного шума яркость не зависит от угла: Е = Е = сонь!. Переходя при интегрировании о в (9.4) к сферической системе координат 9, у и выбирая ось совпадающей с направлением вектора Р = у — у, имеем 2Л и Г(Р) = — ~ Иу )ып8 ехр(- йрсоь8) Й8 = 4л -(йь(-мх. (1) (4л) ю о л р Таким образом, при Е = сопз( корреляционная функция шума изотропна, а радиус корреляции, определенный по первому нулю Г(р), равен ! = л/й л/2, где л — длина волны излучения.
7,2.11. Приемник расположен на осн подводного звукового канала. Угловая яркость шума равномерно распределена по азнмутальному углу у. По углу скольжения т (угол относитель- | но горизонта) шум равномерно г ~- распределен в диапазоне малых ар/2 углов ( — а /2, а /2) и отсутствует при больших абсолютных значениях угла (см. рисунок). Найти корреляционную функцию шума Г(р!!,~ ) (р(! и ф — вертикальное и горизонтальное разнесения точек наблюдения корреляционной функции), вертикальный 1й и горизонтальный 1 масштабы корреляции.
Решение. При интегрировании в (9.4) используем сферическую систему координат у, 8 с вертикальной осью и перейдем от угла 8 к углу скольжения у = л/2- 8. Вводя компоненты р соьф и р з!п(2 вектора р для корреляционной функции, имеем 2Л Г(р!(3 ) = 2 ) ехр~йр~ соьХ(сову соьФ+ з!пр ь(пЯ)йрх о аО 2 х ) созХехр(йр!! з!пх) НХ. (1) -а 2 О Проинтегрировав (1) по азимутальному углу р и переходя к новой переменной г = з!и т, получаем р ы (ао/2) Г(рй,р ) = Бй- ~ Зо(йр (1-(2) ) ехр((йр((1) Ж, (2) (а /з) Здесь 7 (х) — функция Бесселя. Таким образом, шум изотропен в Р горизонтальной плоскости. Учитывая, что а к 1, получаем, что корреляционная функция Г распадается на произведение "вертикальной" и "горизонтальной" функций корреляции: аппо з( (ДР((по/2) гь,,р ~ = ).„2 — тгт+ — грр ~.
!! о (з) Горизонтальный масштаб функции корреляции при этом порядке длины волны ! = 2,4/й = 0,61 А, а вертикальный масштаб 1(( существенно больше длины волны (((( = 2п/йа = А/а ). о о. 7.2.12. Приемная аппаратура, находящаяся на оси подводного звукового канала, подвергается воздействию шума равномерного по азимутальному углу. Каков вид пространственной корреляции функции шума в случае: а) равномерного, но не симметричного распределения источников по углу т и (тгт ), т, малы и ао = ~ — ~; б) симметричного, но не равномерного распределения источников по углу скольжения т, описываемого приближенно узкой гауссоидой Г(Х) = Г ехр(- т /2о.
). 2 Ответ. Функция корреляции по-прежнему распадается на произведение вертикальной и горизонтальной функций корреляции. При этом Г(р ) остается такой же, как и в задаче 7.2.10. Для вертикальной функции корреляции Г(Р(() в случае а) появляется множитель ехр [(- Игр(((Х +у )/21; в случае б) имеем Г(рй) = г" (2п) пехр( — Р~~одд /2). 7.2.13. Антенна расположена на абсолютно поглошающем дне. Шум воздействует на антенну равномерно со всех направлений верхнего полупространства. Найти корреляционную функцию акустического поля в плоскости дна Г(Р ) и вертикальном направлении Г(р(). Факторизуется ли при этом функция Г(Р(~,ф )? го з(пИРх 1 г яРэзз(п(яР((/2) о .гО,)-ъ,) г)-р — '.
па~~) и'"~~--г1 — т — л— х 3 Г(Р„,Р,) и Г(Р ) Г(Ф,). 7.2.14. Дождь создает на поверхности океана шумовое пятно радиусом г( (см. рисунок а), Вычислить среднюю энергию шумового поля <р > = Г(0) под центром шумового круга, считая 2 247 К задаче 7.2.14 источники шума некогерентными с равномерной поверхностной яркостью внутри круга. Решение. Если Г -поверхностная яркость источников, то из О выражения (9.3) для средней энергии шумового поля имеем 2~ О (1) (4п) где интегрирование ведется по кругу шумового пятна радиусом )7 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
