Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(1.1)). Уравнение Кристоффеля п Г -рс Г 0 Г, Г,-рс' О 0 0 ри этом имеет вид и и из (4) И 12 1З с с 0 с 0 с 0 0 0 0 0 0 0 0 бб с К такому же виду матрица приводится и в случае, если плоскость симметрии ортогональна ие оси к, а оси у. Следовательно, имеется девять независимых упругих модулей. Матрица 11) характерна для кристаллов ромбической симметрии. По условию задачи число изме)ений скоростей акустических волн также равно девяти.
Поэтому иа первый взгляд задача определения 214 Отсюда находим скорости объемных волн как функции угла (е н, . Г. ~ (Г,+Г)ЛГ /Г,-Г,~,'4 г . [5) Из уравнения (4) следует, что волна, распространяющаяся со скоростью с, является чисто поперечной н поляризована перепендикулярно плоскости симметрии.
Две другие волны поляризованы в плоскости симметрии. Но они не являются чистыми модами в смысле их поляризации. Одна из них при Г и 0 является квазипродольной, а другая -квазипоперечной. 6.4.4. Кристалл, имеющий трн взаимно ортогональные плоскости симметрии, вырезан в форме параллелепипеда с ребрами, параллельными крнсталлографическим осям. Для каждой из трех ортогональных граней образца измерены скорости трех объемных акустических волн, распространяющихся в направлении нормали к грани. Определить общее число независимых упругих модулей кристалла н исследовать возможность их вычисления по известной плотности и данным акустических измерений. Решение.
Вид матрицы упругих модулей в кристалле с плоскостью симметрии, ортогональной оси г, приведен в предыдущей задаче. Наличие плоскости симметрии, ортогональной оси х, означает (см.задачу 6.4.3), что упругие модули, содержащие индекс 1 нечетное число раз, должны обращаться в нуль. Матрица упругих модулей при этом выглядит так: полного иабора упругих модулей может иметь решение.
Для точного ответа на этот вопрос требуется исследование взаимосвязи скоростей объемных. воли с модулями кристалла. Из уравнения (1.7) следует, что для волн, распростраияющихся вдоль кристаллографических осей в кристалле с матрицей (1), тензор Кристоффеля имеет диагональный вид, и его диагоиальиые компоненты равны: (2) для воли, распространяющихся вдоль х; Г! = Сы, Гг — сгг ГЗ = С44 (3) Г-рс О О 1 О Г -рс О 2 2 О О Г-рс 3 И Р "з т.е.
объемные волны, распространяющиеся вдоль кристаллографических осей в ромбическом кристалле, являются чистыми модами (поперечными или продольными). Их скорость с (Г /р) 122 ! Обозначим через с . скорости объемных волн, распростраы ияющихся в иаправленни оси х (!' = 1, 2, 3). Аналогичные обозначения с , с . будем использовать и для волн в двух у!' г! других направлениях. В соответствии с (2)-(4) часть этих скоростей должна совпадать. Обозначим совпадающие скорости так, чтобы между иими выполнялись равенства Сг — С1, Сз- С1, Сз= Сг2' (6) В этих обозначениях между модулями и измеренными скоростями существует связь: сг с' г1 г2 сг сг у1 у2 2 2 с, с 2 гз 2 суз сг гз с с с С55 Сгг С44 55 44 ЗЗ (7) Таким образом, возможность определения модулей по измерениям скоростей чистых акустических мод в рассматриваемой задаче имеется, но не полного набора модулей, а только их части, иаходящейся иа главной диагоиали матрицы (1).
215 для волн, распространяющихся вдоль уз Г! = с55, Гг — с44, ГЗ вЂ” сзз (4) для воли, распространяющихся вдоль х. Уравнеиие Кристоффеля для всех этих трех случаев имеет вид При решении конкретной задачи с числовыми данными соотюшения (6) могут выполняться лишь приближенно. Тогда точиопь их выполнения будет служить критерием точности ориентац!и граней образца относительно кристаллографических плоскостей.
6.4.5. Определить вид матрицы упругих модулей поперечюизотропного твердого тела и рассчитать анизотропию скороои распространения в неч объемных акустических волн. Решение. Будем считать, что осью симметрии явлиется аь г. Поворот системы координат вокруг оси г на 180 можш рассматривать как инверсию всех осей с последующей ннверси.й оси г. Поскольку прн инверсии всех осей тензор упругих мотулей как тензор четного (четвертого) ранга не изменяется, го плоскость, перпендикулярная оси поперечной изотропнн, эвляется для тензора с плоскостью симметрии.
Это означает, что часть упругих модулей в матрице (1.Ь) равна нуэю (см. (3.2)). Рассмотрим теперь поворот иа угол + 90 вокруг оси г. П>и этом одна из двух осей (х и у) займет место другой. Так!я операция с учетом поперечной изотропии эквивалентна инверсги одной нз этих осей. Следовательно, оси х и у являются норкалямн к плоскостям симметрии. Это требует равенства нулю ех!е ряда элементов матрицы упругих модулей, которая в результате принимает вид (4.1). Поскольку направления к и у эквнвалегтиы, матрица с. должна быть также симметричной относнтель- ОН но перестановкй индексов 1 +-э 2. С учетом этого матрица г запишется в виде с 0 О 0 о о о о о о с„О О с 0 66 11 !з И Такая матрица соответствует кристаллам тетрагональной сингонии.
Для поперечно-изотропных по линейным упругим свойствам кристаллов требуется еще одно условие на упругие модули. Для его нахождения воспользуемся результатами задачи 6.4.3. Скорости объемных волн, распространяющихся в плоскости симметрии, перпендикулярной осн г, определяются компонентами Гр Г, Г, Г, которые для матрицы (1) имеют вид Г = с соз 41+ сббз)п ф, Г2 сбб сов р+ с11 зги 44, (2) Гз с44, Гб = (с12+сбб) созр я пт. Подставляя (2) в (3.5), получаем 2 рс =с (3) 2 11 бб+ П 2 2 2 11/2 Рсзз = — и — + ~4(с11-сбб) + (с12+с11)(с12-с11+2сбб) соз Фып Ю) Из (3) следует, что для изотропии скорости в плоскости, ортогональной осн г, требуется, чтобы сбб = (с11 с12)/2.
(4) Второй возможный вариант (с + с = 0) отброшен как иеудовлетворяющий предельному переходу к изотропной среде. Матрица (1) при выполнении (4) соответствует гексагональным кристаллам. Рассмотрим теперь распространение объемных воли под углом 6 к оси а Поскольку выбор ориентации осей х н у в плоскости поперечной изотропни произволен, рассмотрим случай и О. Компоненты тензора Кристоффеля при этом равны г Г с з1п 6 + с44соз 6 Г с з1п 6 + с соз 6 2 2 . 2 2 (5) Г = с юп 6 + с соз 6, Г = Г = О, Г = (с +с ) соз8 юп8.
2 2 что соответствует уравнению Кристоффеля вида Грс О Г О Г рс О 2 Г О Грс И к И и х (6) 917 Из уравнений (4НО) находим рс21 = с44 э ч (с — с12 — 2с44) з1 п 8, 1 (7) рс = п ~~с +спюп6 с сов 6+ )[(С11-С44)51п 8-(Сзз-С44)соз 61+4(С!зэс44) з(П ОСОБ 6)~ (8) Такие же выражения получаются и в случае, когда плоскость, образованная волновым вектором и осью а, повернута на произ- вольный угол вокруг г относительно осей х и у. Волна со скоростью, определяемой соотношением (7), является попереч- ной н поляризована перпендикулярно указанной плоскости Отметим, что эта задача является единственной, для ко'о- рой при произвольном направлении распространения волн и произвольном соотношении упругих модулей дисперсиониое уравнение факторизуется и удается найти точные явные формулы дпя скоростей объемных акустических волн.
8.4.6. Определить вид матрицы упругих модулей кубичесьих кристаллов, характеризуемой наличием трех взаимно орто-опальных плоскостей симметрии и инвариантностью при переобззначении осей кристаллографического базиса. Показать, ~то сумма квадратов фазовых скоростей трех различных объемных воли, которые могут распространяться в одном и том же заправлении кубического кристалла, для всех направлений одинакова.
Решение. Матрица упругих модулей в кристалле, имеющем "ри взаимно ортогональные плоскости симметрии, имеет вид (41). Инвариантность упэугнх модулей кубического кристалла гри переобозначении осей кристаллографического базиса (взаим1ой перестановке индексов 1, 2, 3), обусловленная ндентичнос ью кристаллографическнх направлений этого кристалла, накладьвает дополнительные ограничения иа упругие модули: с11 = с22 = сзз с12 = с1з сэз с44 = сзз = свь (1) С учетом (1) для кубических кристаллов матрица (4,1) прьнимает внд с, с с 0 0 с11 ст2 0 0 11 с 0 с (2) 44 С1+ С2 'ь сз = (Г1+Г2+Г )/р.
2 2 2 (3) Эта матрица характеризуется минимальным в сравнении с магрицами кристаллов других классов числом независимых упругих модулей, равным трем. Фазовая скорос-ь объемных волн в кристаллах в направлении, задаваемом нзправляющими косинусами пг л, л, определяется из уравнения (1,8), По теореме Виета сумма корней этого уравнения определяется коэффициентом перед Х 2 (Х = с2), т.е.
2 2 2 Гз с 1 1 аз ~ с44( л 1 ~ п2 ) (4) и учитывая, что п1+ л2+ и = 1, получаем 2 2 2 сг+ с2+ сз = (сц+2с44)/р. (5) Из (5) следует, что искомая сумма квадратов фазовых скоростей объемных воли, распространяющихся с разными скоростями, но в одном и том же направлении в кубическом кристалле, от направления не зависит. 6.4.7. Как изменнтси уравнение Кристоффеля при наличии в диэлектрическом кристалле пьезоэффекта? Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
