Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При 6» 9' отраженная продольная волна становится неодпородной, локализованной вблизи поверхности, и этот случай требует дополнительных исследований. Зля этого выражение (9.3) удобно преобразовать, заменив углы В, и В, на проекции волновых векторов падающей и отраженной волн на оси х и г. скоростью движения фазового фронта падающей н отраженных волн вдоль поверхности. Условие обращения коэффициентов )7, н Яп в бесконечность, как следует нз (3), совпадает с дисперснонным уравнением для волн Рэлея.
Это совпадение объясняется тем, что (2) формально задачу о распространении поверхностных волн можно рассматривать как частный случай задачи об отражении объемных волн при условии, что падающая волна отсутствует, а углы скольжения отраженных волн могут принимать мнимые значения. 6.2.11. Найти коэффициент Пуассона твердого тела, занимающего полупространство со свободной поверхностью, если известно, что угол Брюстера для сдвиговых объемных волн в этой среде равен 30 . Решение.
Брюстеровскне углы для объемных продольных и поперечных .волн связаны с решениями дисперснонного уравнения для волн Рэлея (2.1) соотношениями сс (1) Прн 6, 30' т) = 2. По значению с) из (2.1) можно найти ф в'ы'-Вз' Вс 16(1-э) ) Для т) = 2 г~ = 1/3. По формуле (4.1) находим и = 0,25. Согласно теореме Внета корни уравнения (2.1) связаны 4 его коэффициентами прн г, = 1/3 соотношениями 2 т)~~ ' »г ' тсз 8, '), сс~ 'цз = 32/3. (3) Используя один известный корень з) = 2, для двух других из 1 (3) получаем квадратное уравнение, решение которого имеет внд тсг з 2+ 2/'с3 (4) Меньший из этих корней определяет скорость воли Рэлея с сс ь 0,92с, а больший — второй угол Брюстера для сдвиговых воли О, = агсзбп (2 е 2/с$) схг м 34 . (5) Этому углу соответствует угол Брюстера для продольных волн о а О 6 = 77, а углу 0 = 30 соответствует угол 6 = 60 . 1 6.2.12.
Сдвиговая волна 5сс-поляризации падает под углом 6 на плоскую границу раздела двух нзотропных твердых тел. Найти выражения для коэффициентов отражения н прохождения н сравнить с соответствующими формулами для границы раздела двух идеальных жидкостей. !92 Решение Будем обозначать индексом 1 величины, относящиеся к среде, из которой падает волна, а индексом 2 величины, относящиеся к смежной среде.
Как и прежде, ось г направим по нормали к границе так, чтобы среда 1 занимала полупространство х — О, а ось х направим вдоль поверхности в плоскости падения. Поля смещений в обеих средах можно записать в виде и! = ио (ехр(("з15) " гс ехр( (йз1гН, и2 — — Тио ехр((й~тг). (1) Общий множитель ехр (Й х — ЙМ) для краткости опускаем. к Подстановка (1) в граничные условия непрерывности смещений и нормальных компонент упругих напряжений при г = О; и, = и, (51аи1/Ог = (х аи /Оз, (2) приводит к системе уравнений (ц1й 1(1-)Т) = р й Т Отсюда получаем Р— (Я вЂ” 2 )/(2+2 ), где импедансы Л, = р с, соз 1 г1 и О связаны соотношением (3) т = 2гт/(3,.2,), Ог 32 = р2с~со 02 (4) а углы О, 2 со50 = 1 — — 51ПО, 2 Р1(~2 . 2 (5) Р2(х! вытекающим из условия совпадения тангенциальных компонент волновых векторов Коэффициенты отражения и прохождения акустических волн на границе двух идеальных жидкостей имеют такой же вид (4), но при несколько ином определении импедансов.
Для жидкостей Л = рс/со50 . (6) Это различие связано с иными граничными условиями. Для твер- 6.3 Волны в пластинах, слоях и стержнях 6.3.1. Гармонические волны 577-поляризации распространяются вдоль изотропной плоскопараллельной пластины со свободными поверхностями Найти решение, описывающее структуру поля, а также фазовую и групповую скорости этих волн 7 Акустика в задачах дых тел на границе непрерывно смещение, для идеальных жидкостей — нормальная компонента вектора смещения (напомним, что акустические волны в жидкости являются продольными). Различаются также и выражения лля непрерывных на границе нормальной компоненты напряжений в 5Н-волнах и давления для продольных волн в жидкости, если они записываются через смещения. Решение.
В данной задаче волны 5Н-поляризации не связаны с волнами других типов и поэтому они полностью описываются скалярным волновым уравнением (1.2.8). Его решение для гармонических волн, распространяющихся вдоль осн х в пластине с плоскостью симметрии г О, удобно представить в виде и (А соз(Ь а)+ Выл(Ь г)1 ехр(гйх- гьх), (1) где Ь = Ь вЂ” Ь, А и  — произвольные постоянные. Подставляя 2 2 г г (1) в граничные условия Т = )гди /дг 0 при а = + Ь/2, кг где Л-толщина пластины, получаем ЬЬ ЬЬ г г А ып+- + В соз-~- = О, — А з!и+- г В сов+- - О. (2) Уравнения (2) допускают два решения. Одно описывает волны, поля которых симметричны относительно плоскости симметрии пластины Ь Ь А а О, В О, ып+-=О, ЬЬ= 2пл, а=012,...
Второе решение описывает антисимметричные волны: г А О, В и О, сох+- О, Ь Ь п(2л+1), л 0,1,2,... г Фазовые скорости (3) (4) с= [с, -фЦ где щ = О, 2, 4,, для симметричных мод и гл 1, 3, 4,... для антисимметричиых. Групповая скорость пы х~ гй [и~л)~1 (б) Симметричная мода с гл = О представляет собой однородную по глубине объемную волну, скользящую вдоль поверхности пластины. Для такой волны нормальные компоненты упругих напряжений равны нулю во всем объеме пластины. Поэтому такие волны существуют в пластине произвольной толщины, причем они являются бездисперсиснными. В плоскости симметрии пластины для симметричных волн с гл г 0 амплитуда смешений достигает максимума, а нормальные напряжения обращаются в нуль. Все наоборот для антисимметричных волн -амплитуда смещений обращается в нуль, а нормальные напряжения в средней плоскости пластины максимальны.
0.3.2. Волны ВН-поляризации распространяются в изотропном плоскопараллельном слое, верхняя поверхность которого свободна, а нижняя находится в контакте с изотропным полупространством. Найти решение для поперечной структуры этих волн и' = и,' (соз(й' г) + А з(п(й' ?)) ехр((йх-йаГ) (1) а в подложке-в виде и = и ехр(зг) ехр((йх-из(), у г (2) где з = й — й, . Подет«вляя (1) в граничное условие обра- 2 2 2 щения нормальной компоненты упругих напряжений Т' = )?'ди'/дг у? у в нуль на верхней свободной поверхности слоя при г = О, по. лучаем А = О.
Используя далее граничные условия непрерывности смещения и иормальчой компоненты тензора упругих напряжений на границе слоя с подложкой при г = — Ь, получаем систему уравнений: и'соз(й'Ь) — и ехР(-зй) = О, и')г'й'з)п(й' И) — и е (- И) = О, (3) Из равенства детерминанта системы уравнений (3) нулю, необ- ходимого для сушествов«ння нетривиального ее решения, полу- чаем дисперсионное уравнение (а(1;И) = )г /(И'й',).
(4) Решение для поперечной .труктуры волнового поля имеет вид и = (и соз(й ?)) еху(«йх — гьх), у о ? — И~?<О, и (носов(й' И)1 ех1[з(? -ЬЦ ехр((йх-да(), г я — Ь, В предельном случае И + 0 результат (б) переходит в для объемных БН-волн, скользящих вдоль свободной полупространства. При канечных, но малых Ь тангенс в нии (4) можно заменить его аргументом, после чего с близости значений скоро.тей волн Лава с и объемных вых волн несложно получить явное выражение для с: й' , ~1 ф И'~'(й И) ~ 6.3.3.
Используя операцию преобразования векторов воров при инверсии осе( координат, вывести условия, решение границы уравнеучетом сдвнго- (6) и тен- которым 195 (волн Лява) и получить дисперсионное уравнение, Иайти приближенное выражение для скорости волн Лява в случае, когда толщина слоя стремится к нулю. Решение. Вудем считать, что подложка занимает полупространство г я — Ь, а слой — область — Ь вЂ” г и 0 Материальные параметры и другие величины, относящиеся к слою, будем отмечать штрихом.
Смешения в слое могут быть представлены в виде выражения типа (1.1): должны удовлетворять смешения и нормальные компоненты тензора упругих напряжений, создаваемые симметричными и аитисимметричными волнами в средней плоскости пластины при условии, что зта плоскость совпадает с плоскостью симметрии задачи. Рассмотреть задачу о распространении симметричных 5Н-волн в слое между двумя одинаковыми полупространствамн. Решение.
При повороте и инверсии осей системы координат вектор смещения и тензор упругих напряжений преобразуются по формулам и' = а,и., Т'.. = а а.Т (1) б)' П м бы' где штрихом обозначены поля в новой системе координат, а а..— матрица преобразования. Так, при повороте системы коор- О динат на угол р вокруг оси г и при инверсии направления оси г эта матрица равна соответственно совр заир О) )1 О 0) а = -з(пр соз(р О, а'..
= О 1 О и' 1 О О 11' г) 1О О -1! (2) Пусть плоскостью симметрии пластины является плоскость г = О. Тогда для симметричных волн выполняются соотношения и (г) = и (-г), и (г) = и (-г), и — и (-г), к к к д к (3) а для антисимметричных и (г) = — и (-г), и (г) = — и (-г), и, = и,(-г). (4) Соотношения (3) эквивалентны преобразованию типа инверсии направления оси г с матрицей преобразования а', (2).
ИспольП зование этой матрицы в (1) показывает, что иа средней плос- кости меняют знак те компоненты смещения и тензора напряжений, которые имеют один индекс г, т.е. и, Т и Т . С 2 к кк другой стороны, в любой плоскости пластины должны быть непрерывны смещения и нормальные компоненты тензора упругих напряжений. Отсюда следует, что для симметричных волн в средней плоскости пластины должны выполняться условия и =Т =Т =О при г=О. (5) Соотношения (4) для антнсимметричных волн можно рассматривать как преобразование типа инверсии направления оси г с последующей инверсией всех компонент вектора смешения. При таких преобразованиях происходит смена знака непрерывных на границе компонент поля и, и и Т, что означает к' к кг' и =и =Т,=О при г=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
