Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При этом полезно напомнить табличные значения тех интегралов, которые исполь- зуются в процессе вычислений: д(~ пк ~1 О Зе ' — = 2пд — е, г 1г(. «2-«2 -(ь ОЭ ы 2 О !. ~«.«.е "— = - ! д — д — )е' ' — - — 2и21, — —, жг (3« д жг Ж д е ( ! «2 «2 ! х. х «2 «2 ! х. х.
г -(в О ! -((( О ! Результат вычислений таков (и = 13,.!.): ( (!1' 2 ! 1 6.1.6. Записать решение уравнения Ламе (7.1) для прост- ранственно.распределенного силового источника, воспользовав- шись тензорной функцией Грина для точечного источника. Решение. Из предыдущей задачи следует, что решение урав- нения Ламе с д-источником, локализованным в точке г = г'. л (., и'.(г-г') = -/.6(г-г'), (1 ! ! выражается через теизорную функцию Грина: и'.(г-г') = ),6..()г-г' ().
(2) л ! '! Здесь Е. -дифференциальный оператор, соответствующий урав- 6 нению Ламе, а координаты г' выступают в роли, произвольных (6) 181 Умножая (3) на й, найдем выражение для скалярного произведения й(3 = Гй((Л- 2р)А — рьР3 . (4) внешних параметров. Будем считать, что вектор (. зависит от 1 координат г' так, что он описывает пространственное распределение силы для распределенного источника, т.е. функция ((г') при замене г' на г соответствует уравнению ! л й и.(г) = — ((г), (3) где и. †иском решение задачи для распределенного источни- 1 ка.
Интегрируя (1) по штрихованным координатам, приходим к уравнению л (. )и'(г-г') Иг' = — ))(г') 6(г-г') 0г' — г(г). Подставляя в интеграл левой части (4) выражение (2), получим л (.. ~6..(!г-г' /) ((г') г(г' = — )(г). (5) Из (3) и (5) видно, что искомое решение для пространственно- распределенного источника имеет внд и.
(г) = ~ 6..((г-г' )) )(г') г(г'. (6) (4) 6.2. Волны в твердых телах с плоской границей 6.2.1. Найти решение уравнения Ламе, описывающее рас. пространение плоских гармонических волн вдоль границы полу- бесконечного твердого тела с вакуумом (волн Рэлея и объемных сдвиговых волн, поляризованных перпендикулярно направлению распространения и нормали к поверхности).
Решение. Ищем решение задачи в виде плоских гармонических волн, бегущих вдоль осн х в упругом полупространстве, занимающем область г я О: и. = и. ехр(гй х — йМ), (1) и ехр (гй г), где й для поверхностных волн в отличие от й должно быть г М чисто мнимой (либо комплексной) величиной. Подстановка (1) и (2) в векторное уравнение Ламе приводит к следующей системе 182 где и для поверхностных волн зависит от глубины х, а для объемных равна константе.
Подстановка (1) в векторное уравнение Ламе приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для компонент ихг в которую входят производные только по координате а Решение этой системы уравнений можно искать в виде алгебраических уравнений; )гй +(Л~2р)й -Рыэ О О (э(й,+й )-ры О (Л+(х)л й О О. (3) и (Л+2)г)й +)гй -рыз (Л+)г) й,й Для существования нетривиального решения системы уравнений (3) требуется равенство нулю ее определителя. Из этого условия находим возможные значения й: й = й(ц, дячИ~-И, й -+1з, я и.~-Д .
Здесь и далее через й обозначается й . Решение, соответствующее какому-либо из этих значений й, называют обычно е' парциальной волной. Соотношение компонент и и и для парциальных волн, как следует из (3), не может быть произвольным, а определяется выражением и, = М(л,) и„, (5) (4) где цй~+(Л+2и)й~-Р Р (Л+и)й 1г ( а) 2 2 з' (Л+и)л 'я (Л+2и)я +цй -аы Общее решение системы дифференциальных уравнений для компонент ио для полуограниченной среды с учетом соотношений ~0 (4)-(6) можно записать в виде и = Аехр(йа)+ Вехр(зг), и = С ехр(за), (7) и, = А М(- д) ехр(7г) + В М(- з) ехр(зх), где М(- д) = — 1д/л, М(- з) — 1л/з; А, В, С-амплитуды парциальных волн.
Из условия ограниченности решения на бесконечности амплитуды парциальных волн, нарастающих прн удалении от границы, положены в решении (7) равными нулю. Обратимся теперь к вопросу о выполнении граничных условий. Из теории упругости известно, что сила /,, действующая на элемент поверхности площадью НВ, связана с тензором упругих напряжений соотношением 1г = Тг л., (8) где л.-компоненты единичной внешней нормали к поверхности. На границе с вакуумом внешние силы отсутствуют, и поэтому из условия непрерывности сил на границе выражение (8) должно обращаться в нуль.
Для полупространства с нормалью вдоль оси г это условие сводится к виду Т = О, нли м Яи ди ди Тхг )г'(В г + В» ~ О, Т г )г Вгд = О, Т, - й "„-" . (й.2ц) д; — * = О при г = О. Подстановка сюда решения в форме (7) приводит к системе уравнений относительно констант А, В, С: 22з й2ез2 2дА+з[1. — )В = О, зС = О, А — +2В = О. (10) 2! ' ' й2 Последнее из уравнений (10) получено с учетом выражения (11) )хй2 й2 Из уравнений (10) следует, что С и 0 лишь прн з = О. Такое решение соответствует однородной объемной сдвиговой волне, поляризованной в трансверсальном направлении (перпендикуляр- ном направлению распространения и нормали к поверхности); (12) и = Секр((йх — (ы!), и = и = О, Ц к х где С-произвольная амплитудная постоянная — определяется условиями возбуждения волны. Вслед за сейсмологами эту волну часто называют 5Н-волной, т.е.
сдвиговой волной горизонтальной поляризации (5Н вЂ” зпеаг пог1хоп(а)). Такая объемная волна не создает нормальных компонент напряжений на границе твердого тела, но она является неустойчивой в том отношении, что небольшие отклонения в начальной постановке задачи (например, нагрузка поверхности слоем (см. задачу 6.3.2) или наличие в среде пьезоэффекта (см. задачу 6.4.8)) могут сделать эту волну поверхностной.
Второй тнп решения системы (10), для которого А й 0 и В и О, соответствует поверхностной волне Рэлея. Для существования этой волны требуется, чтобы определитель матрицы коэффициентов при А и В системы (10) был равен нулю, т.е. (й +з ) — 4й дз = О. (13) Из этого условия находится скорость волн Рэлея. Решение для смешений в волне Рэлея находится нз (7) и (10) и имеет внд и„1 А (еч — — 2~=2 — е'*~, и — А йй~евв — 2 2 е'*1, (14) (Ф+з ) (я +5) где А — произвольная амплитудная постоянная.
Как следует из (14), волна Рэлея поляризована в сагиттальной плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и направление распространения. 6.2.2. доказать, что волна Рэлея существует во всех реальных изотропных твердых телах. Решение. Возводя дисперсионное уравнение для волн Радея (1.13) в квадрат и исключая из него тривиальный корень, соответствующий равенству скорости поверхностных волн нулю. приводим его к виду 0(т)) и т) — 8т) + 8(3-2~ ) з! — 16(1-~ ) = О, (1) где т! = с ус, г, = с,/с, с -скорость распространения рэс' леевских воли. Из выражений для компонент смещений в волнах Рэлея следует, что эти волны существуют, если их скорость не превышает скорости наиболее медленной обьемной волны, т.е, в (1) н «1.
Подставляя в (1) значения и = О и т! = 1, получаем О(!)=О) = -16(1-г, ) О, (2) поскольку г. = с,/с, всегда меньше 1 (см. задачу 6.1.2), и 0(т~!) = 1 О. (3) возведение уравнения (1) в квадрат и учет только линейных по 6 слагаемым приводит к выражению 4(й2 ~2) 86~ ' ' -1~=1. (2) д2 Используя для коэффициента Пуассона и формулу А "=2РЙ)' преобразуем поправку 6 к виду (3) Из (2) и (3) следует наличие корня в области О « з) « 1, а следовательно, и существование волн Рэлея вне зависимости от конкретных значений упругих модулей 6,2.3. Нанти приближенное выражение для скорости волны Рэлея в изотропных средах, используя в дисперсионном уравнении (1.13) в качестве начального приближения значение й = и с и учитывая лишь линейные по отклонению й от й, слагаемые.
Решение. Представим й в виде й = я (1+8). Подстановка г этого выражения в дисперсионное уравнение (й + з ) = 4я дз, (1) Учитывая далее, что малые возмущения скорости и волнового числа связа- сд/с„ йзз чвб а уравнения (1). (7) т)б 84)4.84)2 6.2.4. По известным скоростям рэлеевской и продольной волн (с = 3,00.10 мГс и с = 5,85.10 м/с) рассчитать ско- 3 3 И рость поперечной волны и коэффициент Пуассона материала, используя малость различия скоростей поперечной и рэлеевской волн. С помощью таблицы к задаче 6.1.4 определить материал. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
