Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 28
Текст из файла (страница 28)
сигнал в дальней зоне дифференцируется. 5.4.14. Показать, что области сжатия и разрежения нели. нейной дифрагирушей волны искажены неодинаково и профиль исходного гармонического сигнала при распространении становится несимметричным Воспользоваться тем фактом, что разные гармоники из-за дифракцни оказываются сдвннутымн по фазе друг относительно друга. Решение, Для качественного ответа на вопрос представим профиль волны приближенно как сумму только первой н второй гармоник: и гармоники более высокая, дифракционный фазовый сдвиг для нее меньше, чем р (см. 2 задачу 5.4.12). С учетом этих ыт фактов графическое сложение 1 двух синусоид (1) действитель.
но дает несимметричный профиль (см. рисунок). Видно, что об- К задаче 54,14 ласть сжатия укорочена по дли тельиости и заострена, область разрежения растянута и сглажена. Гармоники интерферируют так, что положительное пиковое значение возмущения превышает свое исходное (при к = О) значение. 5.4.15. Пользуясь модельным уравнением (10.1) и методом последовательных приближений, рассчитать амплитуду волны разностной частоты й = ы — ы, возбуждаемой в нелинейной 1 2' среде прн взаимодействии двух затухающих недифрагирующих вы сокочастотных волн с близкими частотами ыг ы,: й ) = ((у г) ехр [- — „"~ ~А(ехр ~- ты (1 — — ~ ~ + Азехр ~- хс ~1 — —" Ц ~ + ко.
затт ЬА +КА =и, К = ()/с . О' (4) Решение этого уравнения 1 !Кг А-(~) = -4йЙ~Ч вЂ”:Дрг )(4 — й!1. (5) (1) Здесь к — характерная длина затухания волн ы, ы; функция зат 1' 2' 1(у,г) описывает поперечную структуру пучка этих волн. Решение Используя (1) в качестве первого приближения, для нахождения второго приближения из (10.1) получаем йи(2) 1 д и с ди 2 (2) 2 (!1 (2) с2 0 (2 сз 012 О О Правая часть (2), описывая нелинейные источники на разностиой частоте Гк с учетом (1) примет вид у(х,у,г) е + к.с,, (3) О зат Отыскивая решение (2) в виде и( 1 = А ехр(-Я(), для амплн- (21 туды А волны разностной частоты получим неоднородное уравнение Гельмгольца Здесь )1 = (х,у,г) — радиус-вектор точки наблюдения, )х = (х,у,г)-радиус-вектор текушей точки объема )с, занятого 1' !' 1 областью пересечения взаимодействующих воли ы1, и .
В даль. ней зоне дифракцин !)т! з ))т ) можно приближенно положить , =,~а'-заага', ° аа-аа,са'| = а-з, тт;**асс. (а) Подставляя (3), (6) в интеграл (5), приведем его к виду (12 1К Я А = — АА е-~ — с9сз. 2„з !2 с!. (7) О Наибольший интерес представляет структура выражений асп ОГ определяюших направленность излучения, которая связана с поперечным м )г12(р!.х1) ех ~- -'у(уу1 гх!)~Ф! (х! (8) ас с и продольным (вдоль оси х) 2х ,01 = )гехр ~-к ' с'К(1-Ь)хтах! (9) о зат распределением первичного поля и( ) (1). Интеграл (8) пред- (1) ставляет собой разложение в угловой спектр функции ( (у,х); он имеет такой же вид, как если бы волна (1 непосредственно излучалась источником высокочастотных волн ыг са .
Интеграл (9) более интересен; он описывает направленность излучения волны зс, возбуждаемой распределенными в пространстве нели. нейнымн источниками. В, = ~'— „-а~( — Ц ', ),0,~ = "'"~1+(Кх )'зсп" Я".' (10) зат 2 Здесь учтено, что 1- х/)т = 1 — соз9 = 2 з(п (9/2); 9 — угол между осью пучка х и направлением на точку наблюдения. Когда Кх в 1 (вдоль области взаимодействия укладывает. зат ся много длин волн разностной частоты), излучение направлено под малыми углами к оси. Характерная угловая ширина днаграм.
мы направленности, как следует нз (10), равна д9 (Кх ) !'2 (Л,сх (11) Ширина диаграммы (11), определяемая продольным распределени. ем поля и 1, как правило, много меньше ширины, определяемой поперечным распрепелением (8). Именно ширина поля (11) определяет узкую направленность низкочастотного излучения. 5.4.16. Оценить угловую ширину диаграммы направленности низкочастотного излучения, определяемую формулой (11) преды- 5.5. Акустические шумы большой ннтенсивностм 5.5.1. Пренебрегая флуктуациями частоты, найти вероятностное распределение и среднее для длины образования разрыва плоской квазнмонохроматической волны, считая известным вероятностное распределение амплитуды )Р' (а). Решение.
Длина образования разрыва х плоской монохрома- 2 тической волны равна х = с /(сыа), где и — частота, а -ампр о литуда волны. Зту же формулу можно применить для квазимонохроматической волны, когда амплитуда н частота мало меняются на периоде. Задача сводится к нелинейному преобразованию к = )(а). (1) Если обратная функция а = 1 (к ) однозначна, то вероятиост- Р ное распределение )р' (к ) связано с )Р' (а) соотношением )<() 1(х ) т,и,~ - т.~г1*,п1 — ,-„ кр Для моментов величины х имеем Рф <х"> = ~1"(а) (р'(а) аа. (3) — м Для вероятностного распределения длины образования разрыва и ее среднего получаем с' с2 2м )1т (к ) = )Р' ~ — ~ — , <х > = — ) Ф' (а) а <(а.
(4) от -1 р а~СЫК ) 2' р СЮ,) в о 5.5.2. В условиях задачи 5.5.1 проанализировать случай, когда входной сигнал гауссов с дисперсией в2. Использовать, (2) 166 ушей задачи. Сигнал разиостиой частоты 100 кГц возбуждается двумя волнами накачки: 1 и 1,1 МГц в воде. Значение коэффициента поглошения приведено в задаче 5.3.3.
Ответ. 50 = 2 10 — угловая ширина около одного градуса. -2 5.4.17. Рассчитать продольный апертурный множитель (см. (15.9)) для области взаимодействия незатухающих (х .+ м) хат волн накачки, которая при х = ! ограничена фильтром, поглошаюшим высокие частоты н пропускаюшим низкую частоту. Ответ.
(О,) = )ыпс(КЫп (0/2)), где ыпсх = (ыпх)/к. Заметим, что в отличие от (15.10), когда область взаимодействия волн высоких частот ограничена их затуханием, в случае ограничения фильтром диаграмма низкочастотной волны содержит боковые лепестки, что вероятностное распределение амплитуды гауссова сигнала имеет рэлеевское распределение )р (а) = — ехр(-— (1) а <72 ~ 2О23 ' Ответ.
Для вероятностного распределения длины образования разрыва и ее среднего из (1.4) имеем Р Р 5.5.3. Найти вероятностное распределение амплитуды разрыва квазнмоиохроматической волны (т) = ! ( с+р), (1) сигнал гауссов. Флуктуациями частоты "=й й считая, что входной пренебречь. Решение. Амплитуда задачу 5.2.11) разрыва определяется из уравнения (см.
и агсз!и — 2 = — ыи х. а 2 р ' (2) о 2 Используя формулу (1.2) и учитывая, что при а ~ с /еь7х разрывы не образуются (формально их амплитуда равна нулю), для вероятностного распределения амплитуды разрыва В' (и ) имеем 2 и р ~ /еы» ~.( ) -ч ) '1~.( ° )" ° ~.! — -"+ — — )(т (- — Ъ вЂ” ) и р р а о 'з!п(ес ь7и х) 'з(п(ес ыи х) (3) Для гауссова входного сигнала, когда амплитуда распределена по рэллеевскому закону (2.1), из (3) получаем 4 )р (и ) = 5(и ) (1 — ехр[ 2о' з(п (его ь7и х) 2о' ир з!п(ес, ы~ х) Р о р 5.5.4.
Найти среднее в единицу времени число разрывов и на расстоянии х от входа длн кназнмонохроматнческого гауссова входного сигнала. Использовать результаты задачи 5.5.3. — А! ь7 г Я -! 2х Е 2 Ответ. п = 1!ш )- = 2- ) Ж' (а) х(а = хн — е, х = — ьхгх. т.ьв и 2 " а 2й ' с2 св/еых о 5.5.5. На начальной стадии проявления нелинейных эффектов (расстояния х/х «1) для амплитуд высших гармоник простой Р волны справедливы выражения (1.13.4). Считая, что на входе заданы регулярный монохроматнческнй сигнал амплитуды ао и !67 (4) м ~О Е ~О ЙО(~ (7) ~О(~) "'7 (6) 5.5.7. Найти спектр простой волны на начальной стадии для гауссова входного сигнала для а) широкополосного шума с корреляционной функцией В (р) = Одехр(-Ь р /2), б) узкополосно- 2 2 го шума с функцией ВО(Р) = о ехр(-Ь Р /2) соз(мор) (ыо ъ Ь).
Ответ Используя результаты предыдущей задачи, получаем а) 5 (» ы) = 2 1»2'(ехр[- — 2~ ' 4 ехр~- — 211 о — нелинейное взаимодействие приводит к уширению спектра; гауссов квазимонохроматический сигнал с дисперсией 4г2 такие, что интенсивность у них одинакова (О2 = а /2), сравнить ин- 2 тенсивности высших гармоник шумовою (4'~ ) и регулярного и (/( )) сигналов. в Ответ. 7( )/2( ) = и! в в 5.5.6. Найти корреляционную функцию и спектр простой волны на начальной стадии, ограничиваясь первым приближением в решении уравнения простой волны методом возмущений Считать, что входной сигнал стационарен, гауссов, с нулевым средним, с корреляционной функцией ВО(р) и спектром Во(ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
