Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(2) ь=-и Интеграл (12.3) после этого легко те и еем ! г 0,5 К задаче 5.! !3 вычисляется и в результа- м и Си(') = — лг1 'з(лг)б ь = лг'.(л') Определяя действительные коэффициенты А и В разложения в л л ряд Фурье при соз(лагг) и з!п(лыт): 2l (лг) А (г) = С + С = О, В (г) = !(С вЂ” С ) = (звездочка есть знак комплексного сопряжения) найдем известное решение Бесселя-Фубинн: м 2У (лг) — = з! ( +г — 1 = ) " Мгп( ). (3) Зависимости амплитуд В гармоник от расстояния г приведены л на рисунке. Используя первые члены разложения функций Бесселя в ряд Х (х) =(х/2)"л(, получим В (г) = (лг/2)" /л1, л и 1. (4) 5.1.14. Рассмотреть взаимодействие мощного низкочастотного возмущения со слабым высокочастотным сигналом: и(О,!)/ио= = з(п(ьгт) + т з!г!(Мл) (т «1, натуральное число йГ ъ 1).
Как изменяется в пространстве амплитуда слабого сигнала? Решение. 'Из формулы (12.3) с учетом малости т получаем н С„(г) = 2~-й ~э!п(МЕ) етышре мрг(С = -(~~? (>уг). ((1) Отсюда Ам = О, Вм = т> (й(г). Решение (1) справедливо при о г к 1, в области до образования разрыва. Поскольку У » 1, аргумент функции Бесселя в (1) может быть большой величиной; при этом амплитуда слабого сигнала будет осциллировать в пространстве, постепенно затухая. Этот эффект нелинейного подавления высокочастотного сигнала прн наложении интенсивного низкочастотного возмущения (например, шума) представляет интерес для ряда приложений. 5.1.15. Пользуясь методом последовательных приближений, проанализировать вырожденное параметрическое взаимодействие в простых волнах.
Для исходного возмущения и/и =з!п(2ыт) + о + т з!п(ит~р), т «1, определить, при каком сдвиге фаз !> слабый сигнал усиливается, а при каком р он подавляется. Рещение. Важный для практики нелинейный эффект — параметрическое усиление слабых сигналов в поле интенсивной волны накачки. Если частота накачки 2щ а сигнала ю, процесс называется вырожденным, он чувствителен к сдвигу фазы (э между этими двумя волнами. В задаче 5.1.6 выписаны уравнения (1) первого и второго приближения.
Напоминаем: и — это исход(!) ное возмущение, в котором вместо Г стоит т = (-х/с; и (2) о' это решение второго приближения, которое нужно найти Сохраняя в правой части уравнения для и( фурье-компоненту на (2) частоте сигнала щ находим ди~ ~/дк = — (с/2«~~) тыи ып(ыт-гр). Решение на частоте сигнала: — (и )+ и )) - т ып(ыт+гр)-2-гоп(ыт-гр). 1 (! (э т "о Отсюда видим, что амплитуда сигнала при г «1 ведет себя так: 2 ( С (г) ) = т ~(1 — $) сов гр + (1 + ~~) ы п~гр~ ~~~ = т [1 — г сов(24>) ~ ~~~. Если сдвиг фаз гр изменяется от О до и, то усиление происходит в области и/4 м (в и Зп/4, причем наиболее эффективно сигнал усиливается при р = и/2.
В областях Π— гр ~ и/4 Зп/4 и р я и сигнал псдавляется, наиболее эффективно — при Ф = О и и = н. Полезно решить эту задачу другим способом, используя не метод последовательных приближений, а спект- ральное представление (2.2) решения уравнения простых волн. 5.1.16.
Найти фурье-образ простой волны и(х,т) С(х,ы) = 2й ) и(х,т) ехр(- йет) т(т, 1 считая, что возмущение исчезает при т и +м. Решение. Используя решение (8.1), для фурье-образа прос- той волны получим (5) а С(х,ы) = — ~Ф~~т+ — их ~ехр(- (ыт) с(т. 1 Г с (2) Как и для задачи 5.1.12, в которой рассмотрен периодический сигнал, здесь нужно перейти к переменной С = т е (с/с ) их.
2 2 0 Тогда т = Ч вЂ” (с/с )х Ф(С) и для (2) имеем явное выражение С = 2й 1ГФ(ч) ~1 — — 2х — Яехр~- !ы~~ — — 2хФ(0~~~2ч (3] -ОО 0 са Более удобную форму записи можно получить, интегрируя (3) дважды по частям и учитывая, что Ф(+и) = О: и С(х.ы) = Яехр~!с ыхФ(С)1-1~е 'ы ~)С. (4) 2п((с/со)ых „со При х -э О из (4) следует, что С(х,ы) = Г1 ~Ф(0 е-'"~ (~ = Со(ы) — это фурье-образ исходного возмущения.
5.1.17. Исходя из решения (4) предыдущей задачи, найти универсальное поведение фурье-образа в области низких частот. Показать, что если при ы -~ О С (ы) ы" н л и 1, то О из-за нелинейных взаимодействий между спектральными компонентами в области низким частот (ы -~ О) формируется универсальная аснмптотнка спектра. Решение. В области низких частот экспоненту в решении можно разложить в ряд.
Ограничившись членами, квадратичными по ц придем к выражению С 2й !Ф(Ю ™"(ч 4и 2ы )Ф Е ™Ж (1) -и О -и 155 Учитывая свойство преобразования Фурье и и 2й )гФ (г,) е 'сс пг. = ~С (й) С (ы-й) пй, приведем выражение (1) к виду С(х,ы) Со(ы) + ~2 ~— ых ) С (й) С (ю-й) пй со Отсюда следует, что для исходных спектров вида С (и) ыв (л ь 1) спектр волны иа низких частотах в нелинейной среде описывается универсальным выражением (С(х,ы)( = — Гы, Г = 2п-1Ф (ч) ич ) (Со(й)) ий.
(2) 2со -и -Ш 5.1.18. Найти составляющие спектра С (х,ы), возникающие вз за счет взаимодействия интенсивной волны накачки и,(г) и слабого сигнала и (Г): и(х=О, 1) = Ф(1) и1+и2' и1 поз|о(ыОГ)' и2 Решение. Пренебрегая самовоздействием слабого сигнала, экспоненту в формуле (6.4) разложим в ряд по и и ограничим. ся линейным членом: С(х,ы) = 2 ых 1 )ехр[! — 2ыхи1(ч)) — 1) е ' с(ч . 2п((с/с ) с„ + 1- ) и (0ехр[( —,мхи,(С)1 е ' в(С. (2) и со Здесь первое слагаемое описывает фурье-образ волны накачки, в~орое — спектр С (х,ы), рождающийся в результате нелинейновз го взаимодействия сигнала и накачки. Используя соотношение (13.1) для бесселевых функций и фильтруюшие свойства 5-функ- ции, из (2) получим С (х,ы) — в2 ) ~l ~ — (йы-й)и х~ 5(ы-йьйы )— — I [ — (йы+й)и «~ д(ьнй+М,)~.
(3) 0 5.1.19. Используя результат предыдущей задачи, рассмот- реть случай низкочастотной накачки (данная задача есть обоб- щение задачи 5.1.14). Описать спектр сигнала на разных ста- диях взаимодействия и оценить ширину спектра сигнала. Решение. При ы < й нелинейное взаимодействие приводит к модуляции высокочастотного сигнала н появлению составляющих на частотах ы = +й + йы (й = О, +1, +2, ...) вблизи частоты 0 136 сигнала.
Для фурье-образа (18.3) при Ьь> е Й получим С (г,ы) = ~'2 ~ ~у„~~ а~ б(ь>-Й.Ьы)-у ~~ г) д(а»Й>дым (1) где г = (е/со) ы,и„х = х/х . Легко видеть, что (1) описывая Р' ет спектр сигнала с гармонической фазовой модуляцией: и (х,т) = Ь з)п~Йт - — Йхио з)п(ь>от)~. (2) 'о Следовательно, при Й» ы взаимодействие можно интерпретировать как низкочастотную фазовую модуляцию сигнала, производимую мощной волной накачки. По мере распространения волн глубина модуляции возрастает. При (Й/ы )г е 1 в спектре преобладают две гармоники: ы = Йе ы. При (Й/ыо) х» 1 спектр существенно уширяется.
Используя аснмптотикн функций Бесселя при больших значениях аргумента, можно оценить эффективное число гармоник в спектре (1): я и (Й/ь> ) х. Соответствующая ширина спектра йы Йг >> шо. 5.2. Плоские нелинейные волны с разрывами (2) 5.2.1. Найти максимальное расстояние — гранину области, в которой справедливо решение (1.8.1) уравнения простых волн. Решение.
В задаче 5.1.8 вычислена производная (1) 1-(с/с',) хФ Максимальное расстояние х, как видно из (1), следует нахов дить из условия 1 — (е/со) «Ф' = О. Обращение в нуль знаменателя (2) в формуле (1) отвечает тому, что в некоторой точке профиля иа расстоянии х произ- Р водная (1) обращается в бесконечность — касательная в этой точке становится вертикальной; иными словами, начинается процесс образовании разрыва в профиле простой волны.
Искомая точка профиля соответствует максимальному значению функции Ф', т.е. находится из условия Ф" = О. Таким образом, условие Ф" = О и условие (2) позволяют решить поставленную задачу. На практике удобно воспользоваться тем, что решение уравнения простых волн может быть записано в явном виде (см. (1.10.1)) относительно т(х,и): т = Ф (и) — (е/с ) их. (3) Тогда указанные условия: а) на расстоянии х = х возникает Р вертикальная касательная к кривой и(х,т); б) разрыв образу- Р' ется в точке перегиба кривой и(х,т) — приводят к уравнениям; 2 (4) и ' Ои2 из которых находится расстояние х . Р 5.2.2. Решая уравнение простой волны (1.5.3) методом характеристик, дать наглядную иллюстрацию полученному в задаче 5.2.1 условию однозначности решения.
Определить, какой участок профиля исходного возмущения и(х=б,т) = Ф(т) "опрокинется" первым и на каком расстоянии от входа это произойдет. К задаче 6.22 Решение. Система характеристических уравнений для уравнения в' частных производных (1.5.3) имеет вид Ит с г(и — — — и — = О г(х 2 (т(х=О) = т, и(х=б,то) = Ф(то)). Здесь то(и) — точка в сопровождающей системе координат, из которой выходит характе- 1за (3) т -1 1п(и /и) — еих/с .
2 О О О. Здесь перед корнем взят знак минус, поскольку разрыв образуется всегда на переднем фронте (в данном случае прн т и 0). Требуем выполнения условий (1.4) дт 'О г иоз '"' с 3- 2 — 1п — - — х О, (1) О дзт (О ио -1Х2 (О ио -ЗХ2 — — — — ~(п — ~ + — [1п — ] — О. (2) ди 2и 4и и Из (2) накоднм точку ярофиля, в которой образуется разрыв; и = и /~е . Подставляя зто значение в (1), находим 2 е О О /е р сио С п о с о б 2. Следуя схеме, описанной в задаче 5.2.2, вычнслнм производную от формы исходного возмущения: 2то тв Ф'(т ) = — — и ехр(- — ) . О (2 О 1 (21 О О (3) ристнка для возмушення и (см.
рисунок). Решение системы (!) т т — с— Ф(т )х (2) со описывает семейство прямых на плоскости тх с различным наклоном, зависящим от и = Ф(т ). Заметим, что выражение (2) О аналогично выражению (1.3), записанному в других обозначениях. Временной интервал между соседними характеристиками согласно (2) изменяется так: дт = с(т 11 — ~— Ф'(т )х~.
со Следовательно, опрокидывание волны пронзойдет тогда, когда характеристики в первый раз пересекутся (см. рисунок) и с(т обратится в нуль. Это произойдет на расстоянии 2 со * = еетл'тгт (4) Окрестность точки профиля, где достигается максимум пронзводной Ф', "опрокинется" первой. 5.2.3. Найти расстояние, на котором образуется разрыв в простой волне, заданной на входе в нелинейную среду в виде однополярного импульса и(х=0,1) = и ехр(-( /Г ).
2 2 Решение. С п о с о б 1. Запишем решение уравнения простых волн для данного однополярного импульса как явную функпню т(х,и). 139 Максимум функции (3) достигается при т =- 1 /т2 и равен гни /(~/е ( ). Из формулы (2.4) прн этом значении щах Ф'(т ) сразу получаем результат для «, совпадающий с выражением, Р' полученным первым способом. 5.2.4. Найти координату образования разрывов в гармонической исходной волне и(«=0,1) = и з(п(Ш). Определить, в ка- О кнх точках профиля образуется разрыв. Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
