Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Оценить собственную часто~у и резонансное сечение рассеяния. Ответ. Пользуясь результатами задачи 4 2.5 и (4,6), находим 1 - "1 кГц, а = 0,7 м . Отметим, что а э па = 0,3 см . 2 2 2 о з 4.2.8. В 1 см воды содержится и 10 микропузырьков одинакового радиуса а = 33 мкм. По какому закону убывает с расстоянием интенсивность плоской волны вследствие рассеяния на пузырьках? Оценить расстояния, на которых интенсивность волны с частотой 1 = 300 кГц убывает в е раз. Решение.
Рассмотрим смещение иа расстояние Ьх участка фронта плоской волны, имеющего площадь 5. Мощность, прошедшая через 5, уменьшается иа ЬЯ = Щх+Ьх) — Ж(х) = — а(п5бх)7. Устремлян Ьх к О, с учетом того, что интенсивность l = У/5, получим г(7/г(х = — ла/, 7(х) = з(0) ехр(- пах). Интенсивность согласно (1) убывает по экспоиенциальному закону. Уменьшение в е раз происходит на расстоянии х = (ло) . Радиус а = 33 мкм отвечает частоте ) = 100 кГц. На частоте 300 кГц согласно (4,9) в = 81яа /16. Длина х = (ла) = 6см. 4.2.9. Малый шарик радиусом а (йа к 1) совершает осцилляции в поле плоской звуковой волны.
Сжимаемость шарика такая же, как у окружающей среды, а его плотность р1 существенно отличается от рп. Учитывая смещение шарика относительно окружающей среды, рассчитать сечение рассеяния. Решение. В предыдущих задачах из этого раздела рассматривалось монопольное рассеяние. Учет движения рассеивающего тела относительно среды должен дать дипольную составляющую.
Пусть волна падает в направлении полярной оси г сферических координат. Шарик будет совершать колебания вдоль х. Известно, что прн потенциальном обтекании однородным потокоы, имеющим скорость в, шарик движется со скоростью (/ = о Зр х -1 0 х (р ~2р ) . Здесь ро, р — плотности жидкости и ма териала 1 шарика.
Если р1 ~ ро, шарик отстает от жидкости (47 н и), если р1 н ро, он колеблется с большей амплитудой. С корость шарика относительно жидкости и = (/- в = 2и(р — р )/(р + 2р ), о 1 0 1' 122 Радиальная компонента на поверхности шарика равна исоз8. Теперь воспользуемся результатами задачи 4.1.4 об излучении звука сферой, совершающей заданное поступательно.осциллирующее движение. Полагая в выражениях задачи 4,1.4 йа к 1 и заменяя амплитуду колебаний скорости на поверхности сферы рассчитанным выше значением относительной скорости, найдем сечение дипольного рассеяния о 3па (йа) ~„—;-2 — ~ . (1) О' Р! При р1 = ро, когда шарик неотличим от среды, рассеяния иет.
Лля очень легкого шарика (р! к р ) о = (4/3)па (йа) (2) — в 4 раза больше, чем для очень тяжелого (р 'ъ р ). 1 О' 4.2.10. Определить сечение рассеяния и зависимость от полярного угла амплитуды давления сигнала, сформировавшегося в результате рассеяния плоской волны на шарике малого радиуса, отличающемся от окружающей среды своей плотностью и сжимаемостью. Решение. Рассеянное поле будет содержать одновременно монопольную р и дипольиую р2 составляющие давления.
Они равны 4 32г )3116 р, = — 3па й [! — п1-! — р' (см. (2.2)) и 32 Ор!те р - — 4па й ~ — 2 — ~ — р'соз6 2 О Р1 (2) (см. решение задачи 4.2.9). Полное сечение, как нетрудно показать, есть сумма сечений монопольного и дипольного рассеяний: 2(й )4[[1- 1~ .3~О "Ц (3) Угловая направленность (индикатриса) полного рассеянного поля ()(6), как видно из (!), (2), пропорциональна выражению — 3 [1 — — ~) — ф — 2 — ~ сов 6. (4) Принято нормировать,0(8) так, чтобы максимальное значение равнялось единице. 4.2.11.
Записать и проанализировать выражения для индикатрисы и сечения рассеяния плоской волны тяжелым несжимаемым шариком малого радиуса. Ответ. Пользуясь (10.3), (!0.4), найдем о = ~па (йа) [1+ 4~. 123 Видно, что монопольное и дипольное рассеяния дают сравнимый по величине вклад (1 и 3/4). Индикатрнса имеет вид 0(8) ) Зсо58 — 2 )/5. Как видно, сильнее всего шарик рассеивает в обратном направлении (8 = - и) — навстречу падающей волне.
Небольшой по величине лепесток (1)(8=0) = 0,2) связан с рассеянием вперед. Угловая полуширина этого лепестка находится из соз8 = 2/3. 4.2.12. Ультразвуковой излучатель дельфина на частоте 80 кГц создает мощность излучения Л~ = 0,1 Вт Коэффициент осевой концентрации (см. (1.4.6)) К = 50. Оценить расстояние на котором дельфин способен обнаружить твердый металлический шарик радиусом а = 0,5 см, если амплитуда давления принимаемого сигнала должна быть не менее Р = 2 10 Па, пил Решение. Интенсивность сконцентрированного излучения, падающего на шарик, оценим как ! = МК/(4пЕ ). Рассеянная шари- 2 ком мощность Лг = о(, сечение ц найдено в задаче 4 2 11 Эта мощность выражается через минимальное давление сигнала который способен почувствовать дельфин: Ф = 4п(- р,„/(2свро) 2 2 Приравнивая выражения для йг при заданных числовых значениях, оценим Е - 60 м Возьмем уравнение состояния (1) а форме адиабаты.
Тогда из (2) имеем р = ро (1+дС/дх) У. Подставляя это соотношение в правую часть первого уравнения системы (1), придем к нелинейному уравнению Ирншоу (3) дг (1+де/дх)У~ Здесь со = (ур /ро) — равновесная скорость звука. Уравне- 1/2 ние (3) содержит нелинейность общего вида н формально пригодно для описания сильных возмущений; требуется, однако, чтобы знаменатель в (3) не обращался в нуль (д~/дх и — 1).
В нелинейной акустике имеют дело со слабо нелинейными волнами, для которых (дС/дх) к 1. 5.1.2. Считая нелинейность слабой, упростить уравнение Ирншоу (1,3), сохранив в нем только два главных нелинейных члена. Решение, Воспользуемся приближенным соотношением (1 ч Ц~~ =1 — (2.1) дх. У(2.1) (2+2) [Фх~ .
Подставляя разложение (1) в правую часть уравнения Ирншоу, найдем д ~ — с 2д й (у„1) дед ~ 1(,+1)(у,2) (ддЯ д 1-: дх2 о д12 х дх2 х Левая часть (2) соответствует обычному линейному волновому уравнению. Правая часть, полученная в результате разложения нелинейности общего вида в ряд по степенным нелинейностям, содержит квадратнчно-нелииейный и кубично-нелинейный члены, 5.1.3. Нелинейная среда занимает полупространство х и О, а на ее границе х = О задан гармонический сигнал С = А х х з(п (ыт) с частотой ы Анализируя уравнение (2.2) методом последовательных приближений, определить, какие частоты могут возникать при распространении волны в среде из-за квад.
ратнчной и кубнчиой нелинейностей. Решение, Считая нелинейные эффекты слабыми, в первом приближении пренебрежем в уравнении (2.2) его правой частью. Решением линейного волнового уравнения в виде бегущей в положительном направлении оси х волны будет ~(')(х, т) = Аз(п (ы(1-х/с 6 (1) Чтобы найти решение второго приближения е, ', нужно подста- -(2) вить (1) в правую часть нелинейного уравнения, которая при 126 этом примет вид Р = 2(у+1) А [ — ~ з|п(2ыт) + В(у~1)(у~2) А [Я + [з!п(Зыт)+з|п(ых)), (2) где т = |-х/с — время в "сопровождающей" системе координат, о движущейся равномерно вместе с волной со скоростью звука с . Уравнение второ~о приближения с правой частью (2) будет таким: 52е(з) 1 57 (7) — ь — — — — ~ — = г(г-х/с ). (3) дхэ сэ 517 О ' о Видим, что г' имеет смысл "вынуждающей силы" в неоднородном волновом уравнении (3); она возбуждает новые волны на частотах второй гармоники 2ы (квадратично-нелинейный эффект) и третьей гармоники Зы (кубично-нелинейный эффект).
Кроме того, кубичная нелинейность вносит дополнительныМ вклад в волну основной частоты ы (эффект самовоздействия) 5.1.4. Указать, волны каких частот могут возникать в квадратично-нелинейной среде (в первом приближении), если на ее входе х = 0 задан бигармонический сигнал С = А *|п(ы |) + 1 1 + А з|п(ы Г). Рассмотреть предельный случай ы -~ ы . Ответ.
По аналогии с задачей 5.1.3 нетрудно показать, что в среде генерируются вторые гармоники 2ыг 2ы волн исходных частот, а также возмущения иа суммарной (ы + ы ) и разиостной (ы, — ы ) частотах . При и, -+ ы будет генерироваться только вторая гармоника, так как эффективность возбуждения разиостной частоты стремится к нулю (см. также 5.1.7). 5.1.5. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля, упростить уравнение (2.2).
сохранив в нем только квадратично-нелинейный член. Решение. Метод медленно изменяющегося профиля позволяет существенно упростить нелинейные уравнения в частных производных, описывающие пропесс распространения интенсивных волн. После упрощения уравнения, естественно, и решать их гораздо проще. Идея метода состоит в следующем.
При отсутствии нелинейных членов решением уравнения (2.2) будет сумма двух бегущих волн произвольной формы С = Ф(Г-х/с ) е Ф(7+х/с ). Волна с профилем Ф распространяется в положительном направлении оси х, волна Ф вЂ” в отрипательном направлении. Нас будет интересовать первая из этих волн. Когда имеется слабая нелинейность и правая часть уравнения отлична от нуля, форма 127 волны уже не будет постоянной; она будет деформироваться по мере распространения — с увеличением расстояния х, пройденного волной в нелинейной среде Когда нелинейность слабая, профиль волны должен изменяться медленно, т.е. наряду с "быстрой" зависимостью функции Ф от т = 1-х/с должна появиться О "медленная" зависимость Ф от координаты х: с = Ф(т=г-х/со, х1=)1х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
