Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 19
Текст из файла (страница 19)
о Как изменится мощность, если колебания присходят в воде? Решение. Условия задачи соответствуют низким (йа к 1) частотам, для которых (1.7) имеет вид М = (32/3)п (аг) ~~(р/с ), 7 б 2 3 Для воздуха р/с и 3,3 10 кг/(м с), А' = 10 Вт. Для воды р/с = 3 10 кг/(и .с), поэтому излучаемая мощность пример- -7 но в 10 раз выше. 4.1.6. Массивный плоский поршень массой М и площадью 5, закрепленный на пружинке с жесткостью В, совершает свободные квазигармоиические колебания на входе в газонаполненную трубу того же сечения.
При этом поршень излучает плоскую звуковую волну, бегущую вдоль оси х трубы и испытывает вязкое трение, сила которого пропорциональна скорости. Как процесс излучения влияет на собственную частоту и затухание колебаний? Решение. Уравнение колебаний поршня имеет вид Мч е ич+ йс = — р5, где г,— смешение поршня из равновесного положения х давление на поверхность поршня (х = 0) излучаемой ской волны.
Поскольку для бегущей плоской волны и = 1(г-х/с), Р= рс)(г-х/с) = рсо = рс~, уравнение (1) примет вид Мг.+(а+рс5)Р+ рг, = О. О, р— акустиче- (2) (3) Как видно из (5), присоединенная масса М' = р 4па, что согласуется с (1.9) при йа .э О. Для гармонических во времени колебаний можно ввести понятие механического импедаиса 2 = = 5(р/и) . Полагая в (3) и и ехр(-(ыО, г = а, найдем г=а о 2 и - Р ° -ь'т ° '". ~ - ~е""-'="- (6) Результат (6) совпадает с (1.7).
4.1.8. В условии предыдущей задачи считать, что сила изменяется во времени по гармоническому закону, а оболочка испытывает вязкое трение. Рассчитать КПД этой излучающей системы: ц = М/ГЕ, где й( — излучаемая мощность, й( -мощность $ е источника, создающего силу Р. Решение. Уравнение движения имеет вид Ми+ аи = Е е — р5. -(ыг о Подставим. сюда выражение (7 6) для давления Р. Отыскивая решение в виде и = и ехр(- (ыг), найдем о = Р (га- ( М -РС5 — Г(йа)2-гйа)~ ' 1~(еа) Мощность источника ".
= Рре(Ри) = Ура~а'Рс5 2) х 1~(еа) ~[ .Р 5-(~— ') —,~ ° 2[М+ — Р58 — Ц . (3) 1 -(еа) 1 -(йа) Излучаемая мощность йа йг — 1 ое(р и) = 1 Р2рс5 Ыа [ 1 1 (4) 1~(еа) Выражения в квадратных скобках формул (3), (4) совпадает.' На основании (3), (4) рассчитать КПД излучателя: а+де, 1 -( да)2 (5) Результат (5) показывает, что на низких частотах (Аа ~ 0) э) -э Π— пропесс излучения мало эффективен. На высоких частотах (йа э и) приходим к выражению т( = рс5/(а+ рс5), справедливому для плоского поршневого излучателя площади 5. Когда нет потерь на трение (а = 0), э) = 1. 4.1.9.
Монополем называют точечный источник, создающий сферическую расходящуюся волну. Переходя в результатах задачи 4.1 1 для пульсирующей сферы к пределу йа э О, получить соответствующие выражения для монопольного источника. 112 Ответ. Воспользуемся обозначением О = 4па п для обьемной 2 о скорости (производительности источника).
Тогда и = г — (йг — =$- юг йз „з ехр(-ЫГтйг), 1 = — м — рс —, й( = $- рею~. З2п' г' = и пз 4.1.10. Акустическим диполем называют источник, состоящий из двух одинаковых, близко расположенных монополей, колеблющихся в противофазе. Рассчитать характеристики акустического поля дипольного источника. Убедиться в том, что осциллирую. щая сфера (см. задачу 4 1.4) есть излучатель дипольного типа Решение. Пусть монополи расположены на полярной осн г сферической системы координат на расстояниях + Ьг/2 и — Ьг/2 от центра. Потенциал поля в точке (г, 0) (зависимость от азнмутального угла р отсутствует из-за симметрии задачи) равен [1 '"'1 1 '"'з) — тм Поскольку значения г и г различаются мало (г = [х + ц +(г+Лг/2) 1 = г+(г/2г) йа), то (р = ~~~ — -х-(г е' )Йге . Учитывая, что Ьг = (г/г)йа = = соз8 Ьг, и обозначая "момент диполя" как 0 = ОЛз, получим р = т — соз6~~Й вЂ” -~ — ехр(- йМ+ гйг).
и ( г)г (1) Формула (1) с точностью до обозначений совпадает с формулой (4.2). Следовательно, осциллнрующая сфера является излучателем дипольного типа, момент которого 0 = 2яа и, а Ьг = а/2. з 0' Все необходимые формулы для диполя получаются из результатов задачи 4 1.4 в пределе йа -~ О. Укажем, что простейшиМ излучатель такого типа получается прн помещении монополя в воздухе на высоте Ьг/2 над поверхностью воды. При этом диполь образуется монополем и его мнимым изображением в воде на глубине йг/2, колеблющимся в противофазе. 4.1.11. Рассмотреть группу монопольных излучателей, расположенных вблизи начала координат. Положение монополя с номером 1 задается вектором г) = (хг, хг, х)). Получить выра- 1' 2' 3' жение для потенциала акустического поля в произвольной точке с координатами 11 = (Хг Х, Х ), расположенной вдали от области локализации источников ()г = )1(~ э гпах )г~().
Решение. В силу линейности задачи справедлив принцип суперпознции. Поэтому потенциал результирующего поля равен сум- Теизор ме потенциалов полей отдельных монополей (см. задачу 4.1.9): е - -р'м-'~. г - '-"~-'-пь — '' о~ ( 4и~й-г)( В задаче рассматриваются гармонические возмущения и множитель ехр(- (ьх) всюду опущен. Поскольку (г)( «)Щ разложим функцию ( в степенной ряд: 1()4-г)) = 1(11) - (г)р) уц -1(г)р) ( ~р) )()1).„,- ~1 — к) Ву- ~ 2 х) х~й В~-В)(-+ ... ~ (()(), (2) а ц а По дважды повторяющимся индексам а, Р' (принимающим значения 1, 2, 3) подразумевается суммирование.
Подставляя (2) в (1), получим разложение поля по мультипольным компонентам: р = = (г ь р + р +... Как видно из разложения, чем выше номер л компоненты (э, тем быстрее убывает акустическое поле при и' М -ь и. Поэтому обычно главным является член (р = (- Я Я() ехр(ИР)/(4ц)г). (3) а Однако если суммарная производительность всех монополей Я ).9~ равна нулю, то р = О и главным становится член а ср = (07) ехр(й)г)/(4пг(), 0 — Я Я)г(, (4) 1 l описывающий днпольное излучение. Здесь 0-вектор дипольного момента системы.
Наконец, при 9 О и 0 О дальнее поле создается источником квадрупольного типа (б) (6) ! характеризует квадрупольный момент системы. 4.1.!2. Рассчитать поле на осн круглого поршня радиусом а, помещенного в бесконечном плоском неподвижном экране и совершающего гармонические колебания с амплитудой о, . Решение. Колебательное движение поршня можно заменить суммой колебаний элементарных монополей, непрерывно распределенных по сечению поршня. Заменяя в формуле (11.1) производительность )сто монополя сг' = о 5 на ЬЯ о(г) йз (где а йз — площадь элементарного участка поверхности, колеблющегося со скоростью сч г-его координаты) и переходя от суммы к интегралу, получим ~р -2--~и(г) е' ~й (1) 5 П4 Здесь учтено, что монополя излучают в обе стороны и результат уменьшен в 2 раза.
Введем цилиндрические координаты, как показано на рисунке. Положим на поверхности поршня и о = сопз|. Для тоо чек, лежащих на осн, К задаче 4.1.12 )Й-г( = (г +г ) Прн атом выражение (1) для потенциала результирующего поля примет внд ) ь) шцьс .л ~,~, о О /гьг Интеграл (2) легко считается: ~р = -7~~ехр(((гчг +а ) - ехр(йг)~. Отсюда, учитывая гармоническую зависимость от времени, = Йрср, находим акустическое давление р = — рспп 2(ехрр(гг а + г)~ з!п|с2(г~ -а — г)), Модуль зтого выражения (2) (4) /р( 2рсо, !з|п(~2(~4~ ьа — г)~ / (5) описывает осевое распределение амплитуды давления.
Зависимость (5) носит осциллируюшнй характер. С увеличением г величина ) р) проходит через нули и максимумы, значение 2рсоо которых в 2 раза больше, чем в плоской волне. Заметим, что стремление радиуса поршня к бесконечности не дает перехода к неограниченной колеблющейся плоскости, излучающей плоскую волну ((р( = рсо = сопз1). Пространственные осцилляцни вблизи поршня прн ла -э м не сглаживаются, напротив, частота нх растет.
Это объясняется влиянием резкого края поршня, где скорость уменьшается скачком от о до О. В реальных условиях осцилляцин сглаживаются благодаря присутствию затухания нли конечной переходной области у края поршня. 4.1.13. Используя результат задачи 4.1.12 (см. (12.5)), определить положение нулей н максимумов давления на оси поршня, координату наиболее удаленного максимума н поведение амплитуды на больших расстояниях. Решение. Расстояния, на которых [р( обращается в нуль, определяются из условия (а+а )! — г = 2пт/й = 2тЛ/2, гл !. 2, 3, ...
(1) Физический смысл (1): разность хода двух лучей, идущих в точку наблюдения от края поршня и от его центра, равна чет- 1Л)фс о ному числу полуволн. Это означает, что на излучателе укладывается 2ш зон Френеля. Поло- 2 жение максимумов (см. рисунок) определяется аналогично: (г +а )! 2- г = (2гл+1)Л/2 (2) Лл Они формируются в точках на оси, для которых иа излучателе К калаче 4113 укладывается нечетное число зон Френеля.
Наиболее удаленный максимум (гл = 0) лежит на расстоянии г = а /Л вЂ” Л/4 = а /Л. В дальней зоне (зоне Фра- 2 2 унгофера, г ъ а /Л) положим в (12.5) (г еа ) и ге а /2г 2 2 1/2 2 и получим [р( - рево(йа /2г). (3) Амплитуда (3) убывает с расстоянием без осцилляций по закону г, соответствующему расходящейся сферической волне. 4.1.14. Для поршневого излучателя рассчитать диаграмму направленности — зависимость амплитуды акустического давления от угла между осью пучка и направлением на точку наблюдения в дальней зоне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
