Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Уравнения эйконала, переноса, луча 3.1.1. Распространение в среде гармонического сигнала (р ехр(-йа1)), скорость звука в которой зависит от координат с = с(г), описывается уравнением Гельмгольца бр э Ц~и (г)Р = б. (1) Здесь и = ы/с, и(г) = с /с(г) — показатель преломления. ЕсО О' ли свойства среды изменяются медленно на расстояниях порядка длины волны, решение (1) должно быть близким к локально плоской волне: р А(г) ехр [1йФ(г)1, (2) (3) и уравнение переноса 2ЧФЧА+ АЬФ = О. (5) Эти два уравнения называются уравнениями геометрической акустики. Решать их гораздо проще, чем исходное уравнение Гельмгольца (1). 3.1.2.
Решение основного уравнения геометрической акустики †уравнен эйконала (1.4) позволяет построить поверхности равной фазы Ф(г) = сонэ!, т.е. поверхности волнового фронта. 78 где А и Ф-амплитуда и эйконал. Вывестн приближенные уравнения геометрической акустики, связывающие А, Ф и и(г). Решение. Подставляя формулу (2) в уравнение (1), получаем — ЬА+ ~е (2ЧФЧА «АЬФ) — А((ЧФ) — и (г)) = О. йО О Характерный масштаб изменения А и ЧФ соответствует размеру неоднородности 1, При рассмотрении коротких волн в уравнении (3) появляется малый параметр )г/Ь к 1. В этом случае в уравнении (3) первым членом ЬА/л можно пренебречь.
Оставшиеся 2 члены образуют уравнение эйконала (ЧФ) = и (г) (4) Поток волновой энергии направ- г лен вдоль лучей †лин, перпендикулярных фронтам. Получить уравнение для траектории луча. Решение. Если решение уравнения эйконала (1.4) известно, то единичный вектор нормали к фронту есть 1 = ЧФ/)ЧФ( = ЧФ/л. (1) Пусть траектория луча описыва- К эахаче 3.!.2 ется функцией Й(з), где Й— радиус-вектор, з-расстояние, отсчитываемое вдоль луча (см. рисунок). Тогда из определения единичного вектора касательной и!1/дз = ! и формулы (1) следует (2) (4) Во многих задачах вместо длины дуги переменную т такую, что ~(т = Жз/и.
При — = Ч,'. 411 п йт з удобно использовать этом (4) примет вид (5) Это уравнение аналогично уравнению движения материальной точки в силовом поле с потенциалом У = — и (г)/2. 2 3.1.3. Решить уравнение для траектории луча для среды с постоянной скоростью звука с = с . 0' Ответ.
Для луча, выходящего нз точки )1 = 11 прн з = О вдоль единичного вектора 1, начальные условия имеют внд )1(в=О) = !йо, ()1(з=О)/г(з = 1,, и в однородной среде (и = 1) решение (2.4) )1 = и + ! з описывает прямую линию. 3.1.4. Получить уравнение для траектории луча в плоско- слоистой среде, скорость звука в которой зависит лишь от вертикальной координаты: с = с(г). и и')1/с(з = ЧФ. (3) Дифференцируя (3) по з, с учетом (1) получаем 67(п л) д — (ЧФ) (1Ч) ЧФ = 1 (Ч ФЧ) ЧФ = 1 Ч ЯФ) Из этого соотношения и уравнения эйкоиала следует уравнение для траектории луча Д Гпнк3 =Ч (3) (5) Решение. Пусть луч составляет угол 6 с вертикалью и угол Х = и/2 — 6 с горизонталью (см, рисунок к задаче 3.1.2). По определению г(х — = 5!пй = созХ, и — = ! = со56 = 5(пХ.
Ыг (1) 05 Лз Л Из (2.4) следует, что 1((п! )/г(5 = О, л! = сопз(, вли к Х л(г) 5(пй(г) лоз(пвю л(г) созХ(г) лесозхо (2) где 90, Х соответствУют УглУ выхода лУча пРи г = г, а л, = п(г ). Равенство (2) есть известный закон Снеллиуса для о плоскослоистой среды. Для получения траектории луча г = г(х) воспользуемся формулой, следующей из (1) и (2): (п (г)-лесов Хо) Нх 2Х и 005Х0 о Продифференцируем (3) еще раз по х: (2 1,2 (4) ,(х2 2п2 с052Х Уг о о Уравнение (4) нужно решать с начальными условиями Ф~х=О.) = (ДХ, Для лучей, распространяющихся под малыми углами к горизон- тальной оси х, уравнение траектории луча (4) не содержит Х, так как со52Х - "1.
3.1.5. Используя закон преломления на плоской границе двух сред со скоростями звука с н с с!созХо = сосозХ!, (1) получить закон Снеллиуса для непрерывной плоскослоистой сре- ды (с = с(г)). Ответ. Чтобы получить закон Снеллиуса (4.2) нли с05Х(г) 005Х с7г) = с (2) 0 нужно разбить среду на тонкие горизонтальные слои, в каждом из которых скорость звука постоянна Применяя последователь- но на каждой границе закон (1), придем к формуле (2). 3.1.5.
Получить закон преломления луча в сферически-сло- истой среде, скорость звука в которой с = с(г) зависит от расстояния г до центра симметрии. Решение. Разобьем среду на достаточно тонкие сферические слои, в каждом из которых скорость можно считать постоянной. Рассмотрим луч 4В, пересекающий две границы одного слоя !Г о К задаче 3.!.б (см.рисунок а). Проведем линию ОС 5 АВ.
Имеем вспомогатель- ное соотношение ОС = Г 5!п9! = Г 5!п92, или' ейп9 = — 5!Л9. (1) Г2 Далее обычный закон преломления запишем последовательно для границ слоев. На первой границе (точка А на рисунке б) 5(п9„с, !г с! На границе второго слоя (точка В) 5! п92! с 5!п6 с или с учетом соотношения (1) Г 5!п9, с, Г2 5! п922 Продолжая цепочку этих выражений, на границе Г-го слоя по- лучин ~5!и . С. ! !'2 1 Перемножая все записанные выражения, находим Г 5!П9 с л. и о Г.5!ПН. С. Л 1 !'2 или Г л(г) 5!п9(Г) = Г, л(Г, ) 5!п9(Г, ) = сопз( (2) (правило Богера).
3.1.7. Найти траекторию луча в плоскослоистой среде. Решение. Для расчета траектории г = 2(х) нужно решить нелинейное дифференциальное уравнение (4.4). Другой путь — ис- кать зависимость х х(г), воспользовавшись (4.3): лесов Хо с(пХ й (1) [л~(г)-л~созгХ ]!22 о о Интегрируя зто уравнение с условием х(г=г ) = О, получаем г х(2) й л созХ ~[л (2) — л~ ~сов Х ] ~Юг. (2) г Точки г = г, для которых л (г ) = л соз Х и анан~ватель 2 3 2 л' л о под интегралом (2) обращается в нуль, являются точками поворота луча. 3.1.3. Рассчитать эйкоиал волны в плоскослоистой ср.'де с вертикальной стратификацией скорости звука с = с(г).
Решение. В плоскослоистой среде уравнение зйконала имеет вид В соответствии с формулой (2.1) имеем дФ л(г)! = л(2) соз Х(2) соп51. Подставляя это соотношение в уравнение (1) и интегрир)я его, получим Ф хло созХо + ~[л (2) — ло соз Хо] ~(г. (2) *о 3.1.9. В приближении геометрической акустики рассчитать поле волны в плоскослоистой среде. Решение. Подставляя в уравнение переноса (1.5) результат (2) предыдущей задачи, приведем уравнение к виду В-[А л(г) 5(пХ(г)] = О. Отсюда находим амплитуду, (лз! пХ) [л (2) — л со5 Х ] 2 Поле в плоскослоистой среде дается выражением х Р(2,2) = [л'(2)-ласо"Хо]-"'(С,ехр ~(йохлосозХо - (йо~(л'-соз'Хо) *о + С ехр~й хл созХ + (й ~(~~-со~ИХ )~~~с(гИ. Фо Решение представляется как сумма двух волн, одна из которых бежит "вверх" вдоль оси, а другая — "вниз". 82 3.1.10.
Получить выражения для кривизны и радиуса кривизны луча в плоскослоистой среде. Решение, Пусть Х(г)-угол между направлениями луча и горизонталью. Кривизна К и радиус Я кривизны по определению (см. рисунок) равны К = дХ - з(охи, )1 - )К(-! (1) х Из закона Снеллиуса (см. ' (5.2)) аз хекх имеем — з(пХ дХз созХ0 р у~-). (2) Подставляя (2) в (1), находим К = — созХ вЂ” З-, 1 Ыс кх 0 со ПЗ ' (3) К валвче 1.3.10 соз Х ~ д7~ Заметим, что знак К характеризует направление искривления луча.
Луч искривляется в сторону меньших значений с(г). В точке входа луча в неоднородную среду (4) где Н вЂ” величина с размерностью длины, обратная относительному градиенту скорости звука. Из (4) следует, что радиус кривизны при заданных свойствах среды минимален для горизонтальных лучей (Х = О).
3.1.11. Исследовать зависимость кривизны К луча от вертикальной координаты в точке з входа в плоскослоистую среду, К вввача 3.1.П скорость звука в которой с(з) = Аз + В, В > О. В какув стог рону искривляется луч в зависимости от знака А? Ответ. К = -2Аз созХ /(Агг . В). При А» 0 (волиоюдный о 0 канал) луч искривляется к оси канала е = О, а при А «) (аитиволноводный канал) луч от оси уходит (см. рисунок).
3.1.12. Найти радиус кривизны и траекторию луча в с~еде с постоянным градиентом скорости звука с(г) = с (1 + з/Н). (1) Решение. В случае постоянного градиента скорости согласно формуле (10.3) (2) Следовательно, радиус кривизны в такой траектории лучей имеют внд окружностей. окружности должен соответствовать точке, обращается в нуль, т.е. он должен лежать среде постояеен, а Очевидно, что центр где скорость звука в плоскости з = — Н К задаче 8,1дг 84 (см. рисунок). Если луч входит в неоднородную среду в точке (х = О, г = 0) под углом скольжения Х, его траектория с радиусом кривизны (2) описывается уравнением (» Н1ОХО) + (е+Н) = Н /соз Хо- (3) 3.1.13.
Рассчитать траекторию луча в плоскослоистой среде с постоянным градиентом скорости (см. (12.1)), используя закон Снеллнуса и выражая пройденное расстояние через начальный Х и конечный Х углы скольжения. Решение. Из уравнения (7.1) для траектории луча получаем з Х х = ~ с(ОХ(2) 4(е .1 з $ и Дх чХ. 0 ХО Используя формулу (10.2), следующую из закона Снеллиуса, для среды с постоянным градиентом скорости получаем 05 1ЯП Хо — 5!и Х(2)1. Н (2) Можно показать, что выражение (2) сводится к уравнению окруж.
ности (12.3); см. также рисунок к задаче 3.1.12. 3.1.14. При распространении звука в океане вертикальное отклонение луча г, как правило, много меньше размера неоднородности Н. Используя это условие, получить из формулы (12.3) явное выражение г = 2(х) для траектории луча. Ответ. 2 = к1пХ вЂ” зг'-/2Н. Луч представляет собой параболу. 3.1.15. Источник находится на глубине 2 в плоскослоистой среде с постоянным отрицательным градиентом скорости с = с х х (1-2/Н).
Найти горизонтальное расстояние ь от источника до границы геометрической тени (см. рисунок). К задаче 3.1.1З Решение. Граница определяется лучом, идущим под углом Х н касающимся верхней границы среды, Пользуясь рисунком, находим радиус кривизны )г и расстояние 1.: Н-2о созХ ' 1. = 2из(пХо = 2(Н-ао) (кХо' (1) Угол Х находится из условия Н = Н: соз Х = 1 — 2 /Н. Подставляя эту формулу в (1), получаем явное выражение для При распространении звука в океане обычно 2 /Н и 1, и тогда (. = 2Я2,Н. (2) 3.1.16. Звук распространяется в приповерхиостном волноводном канале с постоянным градиентом скорости (см. (12.1), Н ь О). Найти длину цикла луча 0 в зависимости от угла скольжения )( на поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
