Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть площадь сечения рупора изменяется по закону д5/Г(х = В5, т.е. 5 = 5 ехр(дх), В-коэффициент расширения экспоненциального рупора. Так как давление р' пропорционально потенциалу скорости (э, из уравнения Вебстера (см. за- дачу 2.1.21) получаем дх дх с д! Учтем временную зависимость потенциала скорости (з «11 (х) х 0 х ехр ((ы!), где ф удовлетворяет уравнению 2 Го ГО 2 — +Р -+й р — О.
(1) Ищем решение уравнения (1) в виде (э ехр(ах). Подставляя функцию р в (1), находим характеристическое уравнение а' ° Ва ° ь2 = О, из которого получаем а = -В/2+(((3/2) -й ! Звук распространяется в рупоре, если р (х) является периодической функцией. Для этого необходимо, чтобы й — 8/2, т.е. частота звука ы н (Зс/2 ы . Критическая частота ы опрекр кр деляет нижнюю границу полосы пропускания рупора. 2.2.
Сложные звукопроводы, акустические фильтры 2.2.1. Найти коэффициент отражения при переходе плоской волны из трубы одного сечения в трубу другого сечения, причем сечения труб не сильно различаются. Решение. Предположим, что при переходе волны из одной трубы в другую плоский характер волны не меняется (перестройка волны происходит на коротком отрезке Ы к )Н см.
рисунок). Пусть давление и скорость в падающей и отраженной волнах в трубе равны соответственно р = А,ехр(1ы(-йх), и = (А/рс) ехр((ьн-йх) о Ре. р А ехр(йхейх), 1 2 о — (А,/рс) ехр(кд(ейх). К задаче 2.2Л а Давление и скорость во второй трубе при переходе из первой трубы (х = 0): р (0) и о (0).
Граничные условия в отверстии: 1) непрерывность давления; рз(0) = Р,(0) Р,(0) = Рп(0) = = А ехр((ы(); 2) непрерывность объемной скорости: 5(о(0)+о (О)) = ао (0). Механический импеданс в сечении и: Л = ар /о . Из гранич- ных условий н (1) имеем ор, оА А. + А = А, — (А.-А) = ч- ~ = -т —. 5 (2) ! е о'' Рс г г и до ег Отсюда находим коэффициент отражения А г — «г2/5) гп(5/о) -5 )г е А.
2 ерс(<г2/5) У (5/о') +5рс Если вторая трубка достаточно длинная, то Л = прс; отсюда 5-ег 5+о. Сравним формулу (3) с формулой для коэффициента отражения, которая следует нз выражения (1.7.1): 2.-5рс ! Р У.+ЬРс (3) Сопоставляя зти формулы, делаем вывод, что импеданс 2 в отверстии плошадью о, расположенным в конце трубы с площагью 5, равноценен нагрузке 2 в конце трубы постоянного сечения 5, если 2 = (5/п)~2 = 2 /и, где и = а/5 — коэффициент трансо. формации. Отсюда 2~г и 21.
(4) 2.2.2. Определить коэффициент прохождения звука (по энергии) прн переходе из трубы сечением 10 см в трубу сезен нем 2 7см . Ответ. При переходе звука из длинной трубы в другую коэффициент прохождения 2 1 )р, 1- ( 2 5'~ = (),27. 2.2.3. Найти коэффициент отражения плоской волны при переходе из одной трубы в другую, сечение которой сильнс отличается от первой (см, рисунок).
Решение. В этом случае при переходе из одной трубы в другую плоское движение нарушается, появляется сдвиг фазы между давлением и скоростью, импеданс в переходной области комплексный. Учтем это, представив граничное условие для давления в форме Р!( ) Рд( ) Р2( )' Из соображений размерности следует, что Р2( ) 2( )' где М-"присоединенная масса", которая появляется при искажении плоской волны в переходной области.
Ей соответствует инерционное сопротивление йвМ. Второе граничное условие-равенство объемных скоростей; 5и,(() = оъ (!). Входной импеданс при переходе во вторую трубу 5Р1(() 5Р1 52 Р2(()~г(ыМ/и)"2(() 52 грз(() (2) Если вторая труба достаточно длинная, то р /о рс, 2, (5/о) (орсныМ). Коэффициент отраженна от переходного сечения равен 2 -5рс 2 ~7рс с' (3) К задаче 2.2.3 К задаче 2.2.4 2.2.4. Выразить присоединенную массу отверстия через его проводимость. Реоаемие. Кинетическая энергия жидкости, колеблющейся в трубе длиной ! и сечением 5 со скоростью о, равна Т = ~ 5(ро~ = 2 5~ (5о) = 2 ~ Х . (1) Величина К = 5/! называется проводимостью трубы н имеет раз- мерность длины, Х=5о — объемная скорость. Кинетическая энергия жидкости, проходящей через отверстие плошадью о; по аналогии с (1) представима в виде Т 2~Х = 2(й~~-1 о = 2Мо, М Щ-, (2) где о — средний квадрат скорости в отверстии, М вЂ” прнсоеди- 2 ненная масса, К вЂ” проводимость отверстия.
Согласно выводу Радея проводимость круглого отверстия в бесконечно тонкой н протяженной перегородке (см. рисунок а) равна его диаметру: К = е(. Общая задача, когда перегородка с круглым отверстием, имеющим диаметр й, стоит поперек круглой трубы диаметром 0 ('см. рисунок б), решена Фоком. Проводимость отверстия К = = д(Р(Н/дг), где Р(Н/г)) — функция Фока. Присоединенная масса отверстия М = рог/[ЫР(д(/())1. Функция Фока возрастающая: Р = 1 при Н/г) = 0; Р = 2,27 при «(/О = 0,5; Р .+ м при д(/й м 1.
2. 2.5. Труба с плошадью сечения 5 и)7 скачкообразно г О переходит в бесконечную трубу сечения 5 = 5 /т = нгг, где т и 1. Определить, учитывая присоединенную массу, на сколько децибел отраженный от переходного сечения звук в воздухе будет слабее падающего. В этом случае на переходном сечении присоединенная масса М р5 /[4г Р(г/Я)), где Р-функция Фо- 2 ка. Считать, что ог = 4, а частота звука такова, что лг = 4/и; Р(г/)7) = Р(0,5) и 2,27.
К задаче 2,2.7 3 5з2 = 52 Решение. Коэффициент отражения от переходного слоя равен 'т' = (с -5 рс)/(с ч5 рс), где импедаис переходного сечения о равен 2 = (5 /5 )/(5рсч!ыМ). После преобразования находим ((лг-1) ч ! Р(тт-ет -3 — 1 ((из+1) + ! )с(т) — К)- -4 — ) При йг 4/и модуль коэффициента о 2 Р2 122 1т1 г — "' 'зт''-"~-~~1 0.66. ЬВ 201а)Г) = -3.6 Б а(лач1) +(гп/Р) з 2.2.6. Найти коэффициент отражения звука частотой 100 Гц при переходе из круглой трубы диаметром г! 1О см в трубу диаметром Н = 1 см.
Принять, что при д э с( проводимость К круглого отверстия равна удвоенному диаметру. Трубы заполнены воздухом. Указание: входной нмпеданс в узкую трубу определяется выражением (3.3), где М вЂ” присоединенная масса, связанная с проводимостью формулой (4.2). Ответ. Р = ((т) ехр(иг,), )(7) = 0,98. ав = 1,5 1О ~. 2.2.7. Вычислить коэффициент передачи энергии нз одной трубы в другую при наличии промежуточной трубы (см. рисунок). Решение. Коэффициент отражения при переходе из трубы 2 в трубу 3 = (2,-5,рс)/(2,.52рс), П) О 1 где входной импеданс в трубу 3 (см. задачу 2.2.3) ~! = (52/53) (5зрс+ (ыМ). (2) 2 Предположим, что 5 не сильно отличается от 5 . Тогда присоединенная масса М = 0 и 2, = (5 /5 )рс. (3) Импеданс на входе в трубу 2 найдем по аналогии с входным импедансом в плоский слой толгдииы ! между двумя полупространствами: (723 вин г = рс5 а О 2 -Са!„, сы' е 223 е Подставим сюда из (1) выражение для Р .
После преобразования, учитывая (3), получим соз( !) (532з! п(й!) Е рс5 Соответствующий акустический импеданс с соз(й!) г53231п(й!) 2 =Ы а аа э соз -~чп Коэффициент отражения от трубы 2 находится по входному импедансу в эту трубу: -Рс/51 соз(я!)(1-53!)з(з1п(й!)(521-532) а аз — з- т — 'З ~'з; где 5 = 5 /5, 5 = 5 /5 . Коэффициент передачи энергии из трубы 2 в трубу 3 равен Ж = 1 — )(7( = 453!((1 531) соэ (И) а(52 ч53 ) з!л (И)] . (4) 2.2.8. Показать, что труба, соединяющая две одинаковые трубы, служит фильтром (последовательный фильтр).
Решение. В задаче 2 2.7 была получена формула для коэффициента передачи энергии звука из трубы 1 в трубу 3 с помощью трубы 2. Пусть сечение труб 1 н 3 одинаково (5 = 5 ). Тогда 531 = 1' 532 512 1/52г коэффициент передачи Ф вЂ” ~1 е ч.(5 -2+5 ) юп (й!)] Находим экстремумы функции ((я!); — +х1 = 4(5!2-2) з(п(2х) = О, х = й!. Следовательно, Ж' имеет максимумы при И = ти, минимумы при ! й! = (и ч 1/2)ц, гп = О, 1, 2, ... 2.2.9. В качестве последовательного звукового фильтра используются две трубы постоянного сечения 5 = 10 см, соеди- 2 2 ! ненные трубой сечением 5 = 1 см и длиной ! = 30 см. Иссле- 2 довать свойства фильтра в воздухе (с = 340 м/с).
Решение. Коэффициент передачи звуковой энергии по системе труб выражается формулой (см, задачу 2.2.8) В! = [! а (1/4) (5!2-2) гйп (л!)] где 5 = 5/5, причем 5 >> 1, Рассмотрим функцию 2 «(х) = (1 ч(1/4) (5 -2) з!п х), где х = И. 12! Тогда г(а/г(х = О, если х = И = тп или (т-1/2)п, гп = 1,2,3,... При й! = лги « = 1 и происходит полная передача энергии. Это условие соответствует частоте ! = гл г/2!. Подставляя числовые значения, получаем коэффициент передачи в зависимости от частоты при ! = 30 см: Ж (! + 24,5 ейп (1,765н 10 !)) Условие для полной передачи звука (И~ = 1): ! и 5,67 1О (Гц1.
3 Акустика а задачах 2.2.10. Вывести формулу для коэффициента отражения от поперечного отростка в длинной трубе, закрытого абсолютно твердой стенкой (параллельный фильтр с отростком; см, рисунок). При какой частоте звук полностью отражается от этого места, если сечения трубы н отростка одинаковы? Решить задачу при ! = 10 см. Труба заполнена воздухом (скорость звука с 340 м/с), Поглощением звука пренебречь. Решение. Акустическим импедансом трубы называется ог ношение механического импе- а данса к квадрату площади сечения трубы: ак О ,я Акустический импеданс в точке 2 разветвления по аналогии с электрической цепью при параллельном соединении равен Если труба достаточно длинная, то ее акустический нмпеданс 2 рс/5 . (2) Считаем, что отросток ограничен жесткой перегородкой.
Тогда его акустический нмпеданс (в отсутствие поглощения в среде) согласно (1.4.2) равен — ' [рс5! с(а(л!)/5!! = !(рс/5!) с(в(й!) (3) где 1-длина отростка. Из (1) и (2) найдем 2 . Пусть 5 ак' 2 5 = 5, тогда 2 = [(рс/5) соь (А!) — ! ь(п(А!) соь(А!)) 25 . Коэффициент отражения от места разветвления (к = О) а-5 с ак соь л! -1-!ь|п !г! соь л! )(г) ю' (4) — рс/5 2 соь (и!) -1-(ьъп(А!)соь(А!) Коэффициент прохождения по энергии )(г~2 4 соь А! 2 2 . (5) [1 а соь (Й!)) +[з! п (А!) соь ((г!)] Звук не проходит через сечение, если соь (!г!) О, ! Х/4, т.е, на частоте !' = с/(4!) = 850 Гц. 2.2.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
